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专题 19.5 二次根式的加减
1. 掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练地进行二次根式的合并。
教学目标 2. 掌握二次根式的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。
3. 掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。
1. 重点
（1）能合并的二次根式；
（2）二次根式的加减运算及混合运算。
教学重难点
2. 难点
（1）根据同类二次根式求值；
（2）二次根式的混合运算及其化简求值。知识点01 能合并的二次根式（同类二次根式）
1. 同类二次根式的概念：
一般地，把几个二次根式化为 后，如果它们的被开方数 ，就把这几个二
次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：
只合并 的因式，即 相加减， 和 不变。
即 。
【即学即练1】
1．下列二次根式与❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√2 B．❑√6 C．❑√9 D．❑√12
【即学即练2】
2．最简二次根式❑√2b+1与❑√7−b是同类二次根式，则b＝（ ）
A．2 B．3 C．0 D．4
【即学即练3】
3．若❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点02 二次根式的加减
1. 二次根式的加减运算法则：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把 相同的二次根式进行合
并。
2. 具体步骤：
①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。
②对二次根式进行化简。
③合并同类二次根式。
【即学即练1】
1 √ 1 √ 1
4．计算：（1） ❑√45+5❑3 −3❑√20； （2）a❑√8a−2a2❑ +3❑√2a3．
3 5 8a
知识点03 二次根式的混合运算1. 二次根式的混合运算法则：
同有理数的混合运算法则相同，先去 ，再算 ，最后算 。有括号的先算
括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。
【即学即练1】
5．计算：
√1
（1）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24； （2）(3❑√2+❑√3)(3❑√2−❑√3)−(1−❑√5) 2．
2
【即学即练2】
6．求当x=6+❑√3，y=6−❑√3时，下列代数式的值．
√ x √ y
①x2﹣y2； ②❑ +❑ ．
y x
【即学即练3】
8．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：
√h
m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑ （不考虑风速
5
的影响）．
（1）从270m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？
（2）从高空抛出的物体，经过3❑√2s落地，所抛物体下落的高度是多少？
题型01 判断同类二次根式【典例1】下列二次根式中与❑√2是同类二次根式的是（ ）
A．❑√50 B．❑√12 C．❑√10 D．❑√4
【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（ ）
A．❑√3和❑√9 B．❑√a和❑√2a
√1
C．❑√12和❑ D．❑√a2b和❑√ab2
3
【变式2】下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
1
A．❑√0.7与❑√7 B．❑√a+b与 （其中a＞b＞0）
❑√a−b
√1
C．❑√24与❑ D．❑√x3y与❑√x y2（其中x＞0，y＞0）
6
题型02 根据同类二次根式求值
【典例1】若最简二次根式❑√8−3k与❑√8能合并，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】若最简二次根式❑√1+a与❑√4−2a能进行合并，则a的值为（ ）
3 4
A．a=− B．a= C．a＝1 D．a＝﹣1
4 3
【变式2】若最简二次根式❑√2a−1与❑√3+a是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．4 B．1 C．﹣4 D．0
题型03 二次根式的加减运算
【典例1】计算：
√1
（1）2❑√12−6❑ +3❑√48； （2）（❑√12+❑√20）+（❑√3−❑√5）．
3
【变式1】计算：
（1）❑√80−❑√20+❑√5 （2）❑√18+(❑√98−❑√27)
√1 2 √x √1
（3）(❑√24+❑√0.5)−(❑ −❑√6) （4） ❑√9x+6❑ −2x❑
8 3 4 x【变式2】计算下列各式：
√2 √9 √1 √1
（1）❑√5−❑√6−❑√20+❑ +❑ （2）❑√12−❑√0.5−2❑ −❑ +❑√18
3 5 3 8
√3 √a 1 2 √ y √ x √1
（3）❑√27a−a❑ +3❑ + ❑√75a3 （4） x❑√9x+6x❑ + y❑ −x2❑ ．
a 3 2a 3 x y x
题型04 二次根式的混合运算
【典例1】计算．
√1 √4 2 ❑√8
（1）（6❑√7−4❑ ）﹣（❑√28+4❑ ）； （2）❑√18− − +（❑√5−1）0；
7 7 ❑√2 2
√1 ❑√20+❑√5 √1
（3）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24； （4） −❑ ×❑√12．
2 ❑√5 3
【变式1】计算：
√1 1 ❑√3 1 ❑√2
（1）❑√8+3❑ − + ； （2）❑√50− +2❑√20−❑√45+
3 ❑√2 2 ❑√5 2（3）(2❑√5+3❑√2)(2❑√5−3❑√2) （4）(2−❑√5) 2011 (2+❑√5) 2012．
【变式2】计算与化简
2 √1 √ 1 √ 2
（1）❑√50−（❑√8+ ❑ ）+❑√ (❑√2−3) 2； （2）❑2 ÷3❑√28×(−5❑2 )；
5 2 4 7
√x3 √ y2
（3）5x2❑√xy÷12❑ ⋅3❑ （x＞0，y＞0）； （4）(❑√5+❑√2) 2−(❑√5−❑√2) 2．
y x
题型05 二次根式的化简求值
【典例1】已知：a=❑√3−2，b=❑√3+2，分别求下列代数式的值：
（1）a2+2ab+b2； （2）a2b﹣ab2．
【变式1】已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
1 1
（1）x2+2xy+y2； （2） − ．
x y【变式2】已知a=2❑√3+3❑√2，b=2❑√3−3❑√2，求下列各式的值：
1 1
（1）a2b+ab2； （2） − ．
a2 b2
【变式3】先化简，再求值：(❑√a+❑√b) 2 −(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)−2❑√a❑√b．其中a＝3，b＝4．
题型06 二次根式的实际应用
【典例1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高
√h
度h（单位：m）近似满足公式t=❑ （不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为
5
t
2
t ，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t ，则 的值为（ ）
1 2 t
1
❑√2 2❑√5
A．❑√2 B．❑√5 C． D．
2 5
【变式 1】有一块长方形木板 ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长 AD 增加2❑√3cm（即
DE=2❑√3cm），宽AB增加7❑√3cm（即BG=7❑√3cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
❑√6
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为 cm的长方
2
形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．1．下列运算正确的是（ ）
A．❑√3+❑√2=❑√5 B．3❑√2−❑√2=3 C．❑√2×❑√5=❑√10 D．❑√24÷❑√6=4
2．下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．❑√27a3b2和❑√12a B．5❑√2x和5❑√3x
√ 1
C．❑√x y2和❑√x2y D．❑√a和❑
a2
√1 √ a
3．某同学做了以下四道习题，①❑√16a4=4a2；②❑√5a⋅❑√10a=5❑√2a；③a❑ =a❑ =❑√a；④
a a2
❑√3a−❑√2a=❑√a．其中做错的题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若❑√12与最简二次根式❑√2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A．6.5 B．3 C．2 D．4
5．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）
A．78cm2 B．(4❑√3+❑√30)cm2
C．12❑√10cm2 D．24❑√10cm2
6．若x是整数，且❑√x−1+❑√3−x有意义，则❑√x−1+❑√3−x的值是（ ）
A．1或3 B．0或1 C．2或❑√2 D．0或❑√2
1 1
7．已知❑√a− =2，则❑√a+ 值为（ ）
❑√a ❑√a
A．2❑√2 B．±2❑√2 C．2❑√3 D．±2❑√3
8．若5−❑√11的整数部分为x，小数部分为y，则(x+❑√11)(y−3)的值是（ ）
A．−13−3❑√11 B．13+3❑√11 C．10 D．﹣10
√ y √ x
9．已知x+y＝﹣9，xy＝9，则x❑ + y❑ 值是（ ）
x y
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积 公 式 ， 即 如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 该 三 角 形 的 面 积 为 S
√1 a2+b2−c2 2
=❑ [a2b2−( ) ]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，❑√5，则△ABC的面积为（ ）
4 2
A．1 B．2 C．1.5 D．0.511．若最简二次根式❑√2x−7与3❑√x−2是同类二次根式，则x＝ ．
12．已知实数m，n满足❑√m−2+(n−18) 2=0，则❑√m−❑√n= ．
13．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2❑√a+❑√b，则18*32＝ ．
14．设a=❑√7+❑√6，b=❑√7−❑√6，则a2025b2026的值是 ．
2025
15．若m= ，则m3﹣m2﹣2027m+2025＝ ．
❑√2026−1
16．计算：
1 √1 √1
（1）❑√75− +10❑ ； （2）(3❑√12−2❑ +❑√48)÷2❑√3．
❑√3−❑√2 2 3
17．如图，小华家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为❑√72m，宽BC为❑√32m，小华准备在空地中
划出一块长为(❑√10+1)m，宽为(❑√10−1)m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种
植青菜．
（1）求出长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
3 √2 2
18．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到 ，❑ ， 这样的式子，还需做进一步的化简，化去
❑√5 3 ❑√3+1
分母中的根号．
3 3×❑√5 3❑√5
= =
①
❑√5 ❑√5×❑√5 5
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ②
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
③
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
1 1
以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x= ，y=
❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2（1）求x+y，xy的值；
（2）求x2+y2﹣xy的值．
19．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间 t（s）和高度h（m）
√h
近似满足公式t=❑ （不考虑阻力的影响）．
5
（1）求物体从80m的高空落到地面的时间；
（2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明
理由；
（3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg
的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无
防护人体只需要65J的能量）1
20．小星在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
2+❑√3
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴a−2=−❑√3．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小星的分析过程，解决如下问题：
1 1
（1）填空： = ； = ；
❑√11+❑√10 ❑√n−❑√n−1
1 1 1 1
（2）计算：( + + +⋯+ )⋅(❑√2025+1)；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
（3）若a= ，求2a2﹣12a﹣5的值．
❑√10−3
