文档内容
专题19.6 二次根式（压轴题型训练）
【原卷版】
题型一 求二次根式的值
题型十一 同类二次根式
题型二 求二次根式中的参数
题型十二 二次根式的加减运算
题型三 二次根式有意义的条件
题型十三 二次根式的混合运算
题型四 利用二次根式的性质化筍
题型十四 分母有理化
题型五 二次根式的乘法
题型十五 已知字母的值，化简求值
二次根式
题型六 二次根式的除法
题型十六 已知条件式，化简求值
题型七 二次根式的乘除混合运算
题型十七 比较二次根式的大小
题型八 最简二次根式的判断
题型十八 二次根式的应用
题型九 化为最简二次根式
题型十九 复合二次根式的化简
题型十 已知最简二次根式求参数
题型一 求二次根式的值
1．已知x，y均为实数，y=❑√x−2+❑√4−2x+3，则xy的值为 ．
2．计算：
（1）(1) −1
+(π−2019) 0+(−3) −2−❑√4
2
（2） （结果用正整数指数幂表示）
(−a−3b−2) −2 ⋅(ab3) −3题型二 求二次根式中的参数
3．若❑√60n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．15 B．5 C．4 D．3
4．已知❑√12n是正整数，则满足条件的最小整数n为 ．
题型三 二次根式有意义的条件
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知❑√m−10+3❑√10−m=n−6，求m，n的值及m2−n2的平方
根．
√ 1
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子❑− 有意义，则点(x,❑√−x)的坐标在（ ）
x
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型四 利用二次根式的性质化筍
7．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：
√ 3 √1 √ (1) 2 1；
❑1− =❑ =❑ =
4 4 2 2
√ 5 √4 √ (2) 2 2；
❑1− =❑ =❑ =
9 9 3 3
√ 7 √ 9 √ (3) 2 3；
❑1− =❑ =❑ =
16 16 4 4
…
√ 9 √ 15
(1)❑1− =__________，❑1− =__________．
25 64
√ 3 √ 5 √ 7 √ 99
(2)利用这一规律计算：❑1− ×❑1− ×❑1− ×⋅⋅⋅×❑1− ．
4 9 16 2500
(3)观察上面的解题过程，计算：√ 2n+1 （ 为正整数）．
❑1− n
(n+1) 28．（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，m，13，化简
的结果是 ．
❑√(8−m) 2−❑√(m−18) 2
题型五 二次根式的乘法
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知m，n满足等式n=❑√4m−20⋅❑√15−3m+4，求：
(1)m，n的值．
(2)❑√m⋅❑√5n的值．
10．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写
出正确的解答过程．
√ 1
已知a为实数，化简❑√−a3 ⋅a❑− ．
a
解： ❑√−a3 ⋅a❑ √ − 1 =a❑ √ −a3 ⋅ ( − 1) =a❑√a2=a2 ．
a a
题型六 二次根式的除法
11．（2026八年级下·全国·专题练习）若 与 互为相反数，则❑√b2的值为 ．
❑√a−2 ❑√b+4
❑√a
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列各式：①√a √b ；②√a ❑√a；③
❑ ⋅❑ =1 ❑ =
b a b ❑√b
√a
❑√ab÷❑ =−b．如果ab>0，a+b<0，那么等式成立的是（ ）
b
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③题型七 二次根式的乘除混合运算
1
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：(2❑√3+4)÷(❑√3+1)×
．
2(❑√3+1)
14．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式❑√x⋅❑√y=❑√x⋅y(x≥0,y≥0)成立
的方法．
证明过程如下：
设❑√x=m，❑√y=n(m≥0,n≥0)，则x=m2，y=n2．
等号左边 ，等号右边 ；
=mn =❑√m2 ⋅n2=❑√(mn) 2
∵m≥0，n≥0，
∴mn≥0，
∴等号右边=mn，
∴等号左边=等号右边，
∴等式❑√x:❑√y=❑√x⋅y(x≥0,y≥0)成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程 的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个
❑√25−x2+❑√17−x2=4
整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过
程．
解：设 ， ，则 ________， ________．将原无理方
❑√25−x2=m ❑√17−x2=n(m≥0,n≥0) 25−x2= 17−x2=
程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程❑√x+6−❑√3x+2=❑√3x+7−❑√x+1的解为________．
题型八 最简二次根式的判断
15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
1 √1
A． B．❑ C．❑√0.3 D．❑√30
❑√3 3
16．（23-24八年级下·山东济宁·月考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1 √12
A．❑ B．❑ C．❑√8 D．❑√13
2 7题型九 化为最简二次根式
17．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形ABCD中无重叠地放入面积分别为16cm2和12cm2的
两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
(8−4❑√3)cm2 (4−2❑√3)cm2
C． D．
(16−8❑√3)cm2 (8❑√3−12)cm2
18．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子： √ 1 √ 92 ， √1 √22 ．
9❑ =❑ =❑√3 −2❑ = −❑ =−❑√2
27 27 2 2
仿照上面的方法解决下列问题：
√2 √3 √ 1
(1)化简：①5❑ ；②−7❑ ；③a❑− ．
5 7 a
√ 1
(2)把(a−1)❑ 中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
1−a
题型十 已知最简二次根式求参数
19．若最简二次根式3a−√b 4a+3b和❑√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
20．（22-23八年级下·安徽·月考）已知A=2❑√2x+1，B=3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中A，B为最
简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
题型十一 同类二次根式
21．（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”．
(1)若3与x是关于1的“平衡数”，5−❑√2与y也是关于1的“平衡数”，求x，y的值．
(2)若m+2n−2❑√3−❑√3m=0，m，n至少有一个是有理数，判断m+❑√3与5n−❑√3是否是关于1的“平
衡数”，并说明理由．22．（24-25八年级下·重庆·期中）若a和b都是正整数且a0、b>0，
∴a，<或者=）
(2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明．34．（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
2 2×(❑√3−1) ，
= =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1)
2 2(❑√5−❑√3) ．
= =❑√5−❑√3
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)
2 2
(1)化简： =_______， =______（n为正整数）
❑√7+❑√5 ❑√n+2+❑√n
(2)比较大小：❑√21−❑√19_______❑√19−❑√17（填“>”，“<”或“=”）
(3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2023+❑√2021
题型十八 二次根式的应用
35．（25-26八年级下·全国·周测）现将一个面积为300cm2的正方形的一组对边缩短8❑√3cm，就成为
一个长方形，这个长方形的面积为 cm2．
36．（23-24九年级上·福建漳州·期中）阅读材料：
已知 为非负实数，∵ ，
a,b a+b−2❑√ab=(❑√a) 2+(❑√b) 2 −2❑√a⋅❑√b=(❑√a−❑√b) 2 ≥0
∴a+b≥2❑√ab，当且仅当“a=b”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
4
例：已知x>0，求函数y=x+ 的最小值．
x
4 4 √ 4
解：令a=x，b= ，则由a+b≥2❑√ab，得y=x+ ≥2❑ x⋅ =4．
x x x
4
当且仅当x= ，即x=2时，函数取到最小值，最小值为4．
x
根据以上材料解答下列问题：
3
(1)已知x>0，则当x=______时，函数y=x+ 取到最小值，最小值为______；
x
(2)用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最
短的篱笆的长度是多少米？
x
(3)已知x>0，则自变量x取何值时，函数y= 取到最大值？最大值为多少？
x2−2x+9
题型十九 复合二次根式的化简
37．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）阅读材料：把根式❑√x±2❑√y进行化简，若能找到两个数m,n，
使 ， ，即把 变成 ，从而可以对根式 进行化简．
m2+n2=x mn=❑√y x±2❑√y m2+n2±2mn=(m±n) 2 ❑√x±2❑√y
例如：化简：❑√5−2❑√6．解： ，
∵5−2❑√6=3−2❑√6+2=(❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=(❑√3−❑√2) 2
．
∴❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2
根据上述材料，解答下列问题．
(1)化简：❑√11+6❑√2．
(2)化简：❑√m+2❑√m−1．
(3)计算：❑√12+6❑√3−❑√16−8❑√3．
38．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简❑√5−2❑√6
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3①
②
=❑√ (❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2③
=❑√ (❑√2−❑√3) 2
=❑√2−❑√3④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简❑√9+2❑√18；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：❑√8+4❑√3．
