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第 03 讲 二次根式的加减
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【题型2 二次根式的加减】
【题型3 二次根式的混合运算】
【题型4 二次根式的化简求值】
【题型5 二次根式的实际应用】
【题型6 分母有理化】
考点1： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合
并的依据式乘法分配律，如
【题型1 同类二次根式的相关概念】
【典例1】（2023春•南宁期中）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、 ＝2 ，故A不符合题意；
B、 ＝2 ，故B不符合题意；
C、 ＝2 ，故C不符合题意；
D、 ＝2 ，故D符合题意．
故选：D．【变式1-1】（2022秋•正定县期末）下列各式中，化简后能与 合并的二次根式是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、 ＝ 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题
意；
B、 ＝ 与 是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意；
C、 ＝3与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D、 与 不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2023秋•南山区校级期中）已知最简二次根式 与 是同类二次根式
则a的值为（ ）
A．16 B．0 C．2 D．不确定
【答案】B
【解答】解：∵ ＝3 ，
而最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a+2＝2，
解得a＝0．
故选：B．
【变式1-3】（2023秋•静安区校级期中）下列各式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解： ＝2 ， ＝2 ， ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ，
∴能和 合并的是 ．故选：C
考点2：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
【题型2 二次根式的加减运算】
【典例2】（2023秋•九台区校级期中）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：
＝
＝ ．
【变式2-1】（2023秋•南安市期中）计算： ．
【答案】 +4．
【解答】解：原式＝3 ﹣2 +4＝ +4．
【变式2-2】（2023秋•朝阳区期中）计算： ．
【答案】 ．
【解答】解：原式＝2 ﹣3 ＝ ．
【变式2-3】（2023春•武平县期末）计算： ．【答案】﹣72 ．
【解答】解：原式＝
＝
＝
考点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【题型3 二次根式的混合运算】
【典例3】（2022秋•玉门市期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝ ．
（2）原式＝2 +3 + ﹣5
＝ ．
【变式3-1】（2022秋•贺兰县校级期末）化简：
（1） ；
（2） ．【答案】（1）2 ；
（2）8 ．
【解答】解：（1）
＝9﹣7+2 ﹣2
＝2 ；
（2）
＝6 ﹣ +3
＝8 ．
【变式3-2】（2023春•宣化区期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）7 ；
（2）﹣2+2 ．
【解答】解：（1）
＝4 +
＝7 ；
（2）
＝18﹣12﹣（5﹣2 +3）
＝18﹣12﹣8+2＝﹣2+2 ．
【变式3-3】（2023秋•南召县期中）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）4+ ；
（2）10﹣6 ．
【解答】解：（1）原式＝ ﹣ +2
＝4﹣ +2
＝4+ ；
（2）原式＝3﹣4+9﹣6 +2
＝10﹣6
【题型4 二次根式的化简求值】
【典例4】（2022秋•新田县期末）已知 ， ，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+3xy+y2．
【答案】（1） ；（2）24．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）
＝
＝
＝ ；
（2）原式＝（x+y）2+xy
＝＝
＝20+4
＝24．
【变式4-1】（2023春•惠阳区期末）已知 ， ，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【答案】（1） ；
（2）15．
【解答】解：（1）由题意得：
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝4×2
＝8 ；
（2）x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy
＝
＝
＝16﹣1
＝15．
【变式4-2】（2023秋•仁寿县期中）已知： ， ．求值：
（1）x+y；
（2）x2y+xy2．
【答案】（1） ；
（2） ．【解答】解：（1） ；
（2）由（1）知 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【变式4-3】（2022秋•祁阳县期末）已知 ， ，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣2ab+b2．
【答案】（1）24 ；
（2）32．
【解答】解：（1）∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴a+b＝（3+2 ）+（3﹣2 ）＝6，a﹣b＝（3+2 ）﹣（3﹣2 ）＝4 ，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×4 ＝24 ；
（2）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（4 ）2＝32．
【题型5 二次根式的实际应用】
【典例5】（2023秋•兴文县期中）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木
板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．
（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 3 dm， 4 dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能
截出 2 个这样的木条．【答案】（1）3 ，4 ；
（2）6dm2；
（3）2．
【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为 ＝3 dm，
＝4 dm，
故答案为：3 ，4 ；
（2）根据题意得：矩形的长为3 （dm），宽为4 dm，
∴剩余木料的面积＝（7 ）﹣18﹣32＝6（dm2）；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为3 dm，宽为4 ＝ （dm），
∵3 ， ，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
故答案为：2．
【变式5-1】（2023秋•陈仓区期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，
c，记 ，那么这个三角形的面积为S＝ ．这个公式叫
“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶
也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦一秦九韶公式”．完
成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．
（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【答案】（1）10 ；（2） ．
【解答】解：（1）∵a＝8，b＝5，c＝7，
∴p＝ ＝10．
∴△ABC的面积S＝ ＝10 ；
（2）如图，∵△ABC的面积＝ BC•AD，
∴ ×8×AD＝10 ，
∴AD＝ ．
【变式5-2】（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示
的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，
得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不
考虑风速的影响，g≈10m/s2， ）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该
物品落地的时间；（结果保留根号）（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝
10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经
过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵小明家住20层，每层的高度近似为3米，
∴h＝20×3＝60（米），
∴t＝ ＝ ＝ （秒），
∴该物品落地的时间为 秒；
（2）该玩具最低的下落高度为h＝ ＝64（米），
∴t＝ ＝ ＝ ≈ ＝3.5776（秒）．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【变式5-3】（2023春•巴彦县期中）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空
地的长BC为 ，宽AB为 ，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴
影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为 ，宽为 ．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，
张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？【答案】（1）长方形ABCD的周长是 ；
（2）张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝ ＝ ＝
．
答：长方形ABCD的周长是 ；
（2）蔬菜地的面积＝
＝48﹣（10﹣1）＝39（m2）．
39×8×15＝4680（元）．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
考点5：分母有理化
分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
【题型6 分母有理化】
【典例6】（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；＝ ＝ ﹣2．
（1）求 的值；
（2）计算： + + +…+ + ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝ ＝ ﹣ ；
（2）原式＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ＝10﹣1＝9．
【变式6-1】（2023春•张店区期中）观察下列等式：
① ＝ ＝ ﹣1；
② ＝ ＝ ﹣ ；
③ ＝ ＝ ﹣ ；
…
回答下列问题：
（1）仿照上列等式，写出第n个等式： ＝ ﹣ ；
（2）利用你观察到的规律，化简： ；
（3）计算： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第n个等式为 ＝ ﹣ ；
（2）原式＝ ＝2 ﹣ ；（3）原式＝ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ ＝ ﹣1＝12 ﹣1．
故答案为：（1） ＝ ﹣
【变式6-2】（2023春•浏阳市期中）像 • ＝2：（ +1）（ ﹣1）＝2：（ +
）（ ﹣ ）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这
两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化
因式化去分母中的根号．
（1） ＝ ＝ ；
（2） ＝ ＝ ＝3+2 ．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简： ﹣ ．
解：设x＝ ﹣ ，易知 ＞ ，∴x＞0．
由：x2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝6﹣2 ＝2．解得x＝ ．
即 ﹣ ＝ ．
请你解决下列问题：
（1）2 ﹣3 的有理化因式是 2 +3 ；
（2）化简： + + ；
（3）化简： ﹣ ．
【答案】（1）2 +3 ；
（2） + ；（3）2．
【解答】解：（1）2 ﹣3 的有理化因式是2 +3 ，
故答案为：2 +3 ；
（2）原式＝ + +
＝ + +2+
＝ + ；
（3）原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ +1﹣ +1
＝2．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵ 与 不是同类二次根式，
∴ 不能与 合并，
故A项不符合题意；
∵ ，
∴ 与 能合并，
故B项符合题意；
∵ ，∴ 不能与 合并，
故C项不符合题意；
∵ 与 不是同类二次根式，
∴ 不能与 合并，
故D项不符合题意；
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．3 ＝1 C． D．3 ＝
【答案】D
【解答】解：A. ＝2，故不符合题意；
B、3 ＝ ，故不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、3 ＝ ，故符合题意；
故选：D．
3．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：
s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝ （不考虑风速的影响），则从100m高空
抛物到落地所需时间为（ ）
A．2 s B． s C． s D．2s
【答案】A【解答】解：当h＝100时，t＝ ＝2 （秒），
答：从100m高空抛物到落地所需时间是2 秒；
故选：A．
4．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝ ．
故选：A．
5．与 计算结果相同的是（ ）
A． B．2 ÷ C． D．
【答案】C
【解答】解： ＝ ＝2 ，
2+ ≠2 ，故选项A不符合题意；
2 ＝2 ，故选项B不符合题意；
2× ＝2 ，故选项C符合题意；
3× ＝3 ≠2 ，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．已知 ﹣ ，则 的解为（ ）A． B． C． D． ．
【答案】D
【解答】解：∵ ﹣ ，
∴（ ﹣ ）2＝3，
∴x+ ﹣2＝3，
∴x+ ＝5，
∴（ + ）2＝x+ +2＝7，
∴ ＝± ，
∵ 是非负数，
∴ ＝ ．
故选：D．
7．已知a＝ ，b＝1﹣ ，则a2+ab+b2的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：把a＝ ，b＝1﹣ 代入a2+ab+b2中得：
（ +1）2+（ +1）（1﹣ ）+（1﹣ ）2，
＝3+2 +1﹣2+3﹣2 ，
＝5．
故选：A．
8．若 ，则代数式x2﹣4x+4的值为（ ）
A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023
【答案】D【解答】解：∵x＝2+ ，
∴x﹣2＝ ，
∴（x﹣2）2＝2023，
∴x2﹣4x+4＝2023，
故选：D．
9．若 ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
故选：A．
10．若a+b＝﹣4，ab＝1，则 的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．4或﹣4
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
∴ ＝ + ＝﹣（ + ）＝﹣ ＝﹣ ＝4，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．将二次根式 化为最简二次根式 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝5 ，
故答案为：512．已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则m的值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解： ＝2 ，
∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴m+1＝2，
解得：m＝1．
故答案为：1．
13．计算： ＝ 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝ ﹣
＝4 ﹣
＝3 ．
故答案为：3 ．
14．计算（ ﹣ ）× ﹣3 ＝ 6 ﹣ 7 ．
【答案】6﹣7 ．
【解答】解：（ ﹣ ）× ﹣3
＝ ﹣ ﹣
＝6﹣6 ﹣
＝6﹣7 ，
故答案为：6﹣7 ．
15．已知x＝ ，y＝ ， + ﹣4＝ 3 0 ．【答案】30．
【解答】解：∵x＝ ＝3+2 ，y＝ ＝3﹣2 ，
∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，
∴ + ﹣4＝ ﹣4＝ ﹣4＝ ﹣4＝34﹣4＝30．
故答案为：30．
三．解答题（共5小题）
16．计算题：
（1）3 +2
（2）2 ﹣
【答案】（1）5 ；
（2） + ．
【解答】解：（1）原式＝5 ；
（2）原式＝2 ﹣（ ﹣ ）
＝2 ﹣ +
＝ + ．
17．计算：（ ）2﹣ ﹣4× +|1﹣ |．
【答案】﹣5+ ．
【解答】解：原式＝2﹣4﹣4× ﹣（1﹣ ）
＝2﹣4﹣2﹣1+＝﹣5+ ．
18．已知x＝ ，y＝ ﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2y+xy2．
【答案】（1）12；
（2）4 ．
【解答】解：（1）x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（ ）2
＝（2 ）2
＝12；
（2）x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝（ ）×[（ ）（ ）]
＝2 ×2
＝4 ．
19．先化简，再求值： ，其中a＝ +1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝a﹣a2+a2﹣3
＝a﹣3，
将a＝ +1代入得：
原式＝a﹣3＝ +1﹣3＝ ﹣2．
20．小明在解决问题：已知 ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝3，
∴a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：
（1）计算 ＝ ；
（2）计算 （写出计算过程）；
（3）如果 ，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）3．
【解答】解：（1） ；
故答案为： ；
（2）由（1）题的结论可得：
＝
＝ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∴（a﹣2）2＝5，
整理可得：a2﹣4a＝1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2+1＝3．
