第16章二次根式（单元测试·基础卷）-（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

第16 章 二次根式（单元测试·基础卷） 【要点回顾】 【知识点一】二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 a(a0) 形如 的式子叫做二次根式， 2.二次根式的性质 （1） （2） ；（3） . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次 根式. 【知识点二】二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) 商的算术平方根化简公式： a a 二次根式的除法 = (a0,b0) a a b b  (a0,b0) b b 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指 数不变，即合并同类二次根式. 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024上·四川眉山·九年级统考期末）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）下列二次根式是最简二 次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023下·四川广安·八年级校考期中）设 ， ，用含a，b的式子表示 ，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2023下·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）下列二次根式能与 合并的是（ ） A． B． C． D． 5．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）已知 ， ，则 （ ） A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8 6．（2024上·四川遂宁·九年级统考期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2024上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）估计 的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 8．（2022下·四川绵阳·八年级四川省绵阳南山中学双语学校校考阶段练习）某直角三 角形的面积为 ，其中一条直角边长为 ，则其中另一直角边长为（ ） A． B． C． D． 9．（2011上·安徽芜湖·九年级统考期中）把 根号外的因式移入根号内的结果是（ ）A． B．﹣ C． D．﹣ 10．（2024上·四川乐山·九年级统考期末）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2020下·福建南平·七年级统考期中）已知 是正整数，则实数n的最小值是 ． 12．（2024上·河南洛阳·九年级统考期末）写一个实数 ，使 运算的结果为有 理数， 可以是 （写出一个即可）． 13．（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）计算 ． 14．（2023下·云南楚雄·八年级统考期中）方程 的解为 ． 15．（2020上·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）化简 ＝ 16．（2023下·上海嘉定·七年级校考阶段练习）比较大小： ． 17．（2024上·江西南昌·八年级南昌市育新学校校联考期末）已知 ，则 ． 18．（2019下·八年级课时练习）已知 ， ，则 的值为 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）计算： ，圆圆的做法是 ． 圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．20．（8分）（2024上·福建三明·八年级统考期末）计算 (1) ； (2) ． 21．（10分）（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）当 ， ， 求代数式 的值． 22．（10分）（2022上·福建宁德·八年级校考期中）根据学习“数与式”积累的经 验，探究下面二次根式的运算规律． ① ；② ；③ ________；④ ________．… （1）将题目中的横线处补充完整； （2）若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并加以证明； （3）计算：23．（10分）（2024上·江西南昌·八年级南昌市育新学校校联考期末）规定用符号 表示一个实数的整数部分，例如 ， ， ，并且规定一个实 数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： （1） ， 的小数部分为 ； （2）若a，b分别是 的整数部分和小数部分，求a，b的值． （3）求 （直接写出结果） 24．（12分）（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）小明在解决问题：已知 ，求 的值，他是这样分析与解答的： ∵ ． ∴ ． ∴ ，即 ． ∴ ，∴ ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ______； （2）计算： ；（3）若 ，求 的值．参考答案： 1．A 【分析】本题考查二次函根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．根据二次根式 的被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：若式子 在实数范围内有意义， 则 的取值范围是： ． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式的 二次根式是最简二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、 ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3．C 【分析】根据二次根式的乘法得到 ，又由 及 即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， 故选：C． 【点拨】此题考查了二次根式的乘法，得到 是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫 同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，将选项依次化简即可确定． 【详解】解：A， ，不能与 合并；B， ，不能与 合并； C， ，能与 合并； D， 不能与 合并； 故选C． 5．A 【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据 计算得出结论即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查二次根式计算．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵ 已是最简不可计算，故A选项不正确； ∵ ，故B选项不正确； ∵ ，故C选项正确； ∵ ，故D选项不正确， 故选：C 7．C 【分析】本题考查的是无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟记运算法则以及估算方法是解本题的关键． 先计算二次根式的乘法再估算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ，∴ 的值应在6和7之间， 故选C 8．B 【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为： ， 故选：B． 【点拨】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 9．C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知： ， ∴ ． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 10．A 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，将 、 的值代入式子 中，转化成完全平方的形式化简根 号，再进行开方即可求得答案． 【详解】解： 故答案选A11． 【分析】根据二次根式的性质进行分析求值． 【详解】解：∵ 是正整数，且最小的正整数是1， ∴当 ，此时 ， ∴ 的最小值为 ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查的是二次根式的定义和二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的基本知识 是解题的关键． 12． （答案不唯一）． 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 可以是 （答案不唯一）． 故答案为： （答案不唯一）． 13． / 【分析】利用二次根式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 【点拨】本题考查二次根式的乘法运算．掌握二次根式运算法则是关键． 14． 【分析】化系数为1，即可求解． 【详解】解：∵ ，∴ ， 故答案为： ． 【点拨】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 15． 【分析】将原式化为 ，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为： ． 【点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16． 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点拨】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式的性质． 17． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将 变形为 ，代入x，y求解即可． 【详解】解： ∵ ，即 ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， 将 ， 代入， ∴ ， 故答案为： ． 18．5. 【分析】将a与b分母有理化后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵a 2，b 2，∴原式 5． 故答案为5． 【点拨】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 19．不正确，过程见解析 【分析】利用二次根式的性质进行化简求值，即可得到答案． 【详解】解：不正确，解题过程如下： ． 【点拨】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．注意如果被开方数是代数式 和的形式，不能直接拆分．20．(1)0 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先进行化简，再进行二次根式的加减即可求解； （2）利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．31 【分析】本题考查了求代数式的值，由已知条件可得 ， ，将代数式化为 ，然 后代入运算即可求解；掌握整体代换法求代数式的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 原式 ． 22．(1) ； (2) ，证明见解析(3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式不难得第 个等式为： ，对等式左边进行整理即可得证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：③ ； ④ ； 故答案为： ； ； （2）规律为： ， 证明：左边 右边， 故等式成立； （3） ． 【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的 规律． 23．(1)3，(2) ， (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确进行无理数的大小的估算是解题的关键． （1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． （3）根据（2）将a、b的值代入求解即可． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的小数部分为 ， 故答案为：3， ； （2） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ． （3） ． 24．(1) (2) (3)【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得 ， 故答案为： ． （2）解： ． （3）解：由题意得 ， ∴ ． ∴ ，即 ． ∴ ， ∴ ． 【点拨】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出 的值和正确变形是解此 题的关键．