跟踪训练05指数与指数函数（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 05 指数与指数函数 一．选择题（共15小题） 1．函数 且 恒过定点 ，则点 的坐标为 A． B． C． D． 【解答】解：当 时， ， 所以 （1） ，所以 ． 故选： ． 2．设 ，那么 A． B． C． D． 【解答】解： 且 在 上是减函数． 指数函数 在 上是减函数 幂函数 在 上是增函数 故选： ． 3．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 【解答】解： ， 而 ，， 故选： ． 4 ． 已 知 ， ， ， 则 代 数 式 的值为 A． B．3 C．6 D．12 【解答】解：因为 ， ， ， 则 ． 故选： ． 5．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， ， 又 ， ， 故选： ． 6．已知 ，将 表示成分数指数幂，其结果是 A． B． C． D． 【解答】解： ．故选： ． 7． ， ，则函数 的图象不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：因为 ，所以函数 是减函数，图象过定点 ，在 轴上方， 过一、二象限， 因为 ，所以函数 的图象由函数 的图象向下平移 个单位得到， 且 ， 所以函数 的图象与 轴交于负半轴， 函数 的图象过二、三、四象限，不经过第一象限． 故选： ． 8．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知， ， 因为 在 上是单调递增，且 ， 所以 ，即 ， 由题意可知， ， 因为 在 上是单调递增，且 ， 所以 ，即 ，所以 ． 故选： ． 9．下列结论中，正确的是 A．函数 是指数函数 B．函数 的值域是 ， C．若 ，则 D．函数 的图像必过定点 【解答】解： ．形如 的函数是指数函数， 不是指数函数， 错误； ． ， ， ， 函数 的值域是 ， ， 正确； 时，由 得出 ， 错误； ． 的图象过定点 ， 错误． 故选： ． 10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知 1克碳14经过 5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克 A．5730 B．11460 C．17190 D．22920 【解答】解：已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克， 则碳14的半衰期为5730年， 则再经过5730年，质量从0.5克经过放射消耗到0.25克，再经过5730年，质量从0.25克 经过放射消耗到0.125克， 即再经过11460年，质量可放射消耗到0.125克， 故选： ．11．已知 是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：构造函数 ， ， 则 ， 当 时， ， 在 内单调递增， 当 时， ， 在 内单调递减， （e） ， （当且仅当 时取等号）， ， ， ， ， ， ， ． 故选： ． 12．函数 的图象必经过点 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，解得： ， 则 时， ， 故函数过 ， 故选： ． 13．函数 且 的图象过定点 A． B． C． D． 【解答】解：依题意，因为 且 ，所以令 ，解得： ， 所以 （1） ， 所以函数 且 的图象过定点 ． 故选： ． 14．化简 ， 为正数）的结果是 A． B． C． D． 【解答】解：原式 ． 故选： ． 15．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是 A． B． ， C． ， ， D． ， 【解答】解：由于底数 ，所以函数 的单调性与 的 单调性相同． 因为函数 在 上是减函数， 所以 在 上是减函数，所以 ，即 ， 从而实数 的取值范围是 ， 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．函数 且 的图象一定不经过的点A． B． C． D． 【解答】解：令 可得 ， 不符合题意， 符合题意； 令 可得 （3） ，则 显然不符合 且 ； 令 得 （2） ， 故 ，即 可能经过 ． 故选： ． 17．下列结论中，正确的是 A．函数 是指数函数 B．函数 的值域是 ， C．若 ，则 D．函数 的图象必过定点 【解答】解：对于 ，根据指数函数的定义是 ，（其中 且 ， 是自变量， 判断函数 不是指数函数，选项 错误； 对于 ，函数 ，当 时，该函数的图象是抛物线，且开口向上，所以 的值域是 ， ，选项 正确； 对于 ， 时，指数函数 单调递减，由 得 ，所以选项 错误； 对于 ，函数 中，令 ， ， （2） ， 的图 象必过定点 ，选项 正确．故选： ． 18．下列各式中一定成立的有 A． B． C． D． 【解答】解：对于 ：原式 ，故 错误； 对于 ：原式 ，故 正确； 对于 ：原式 ，故 错误； 对于 ：原式 ，故 正确； 故选： ． 19．已知实数 满足 ，下列选项中正确的是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ，则 ， 所以 ，即 ， 正确； 由于 与 的大小不确定，故 可正可负， 错误； 因为 ， 故 ， 正确； 因为 ， 错误．故选： ． 20．已知 ， ， ，则 的值可能是 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， ， ，则 且 ， 当 时 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号， 当 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号． 综上， ． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知 ，则 4 ． 【解答】解： ． 故答案为：4． 22．古代科举制度始于隋而成于唐，后不断发展，明清时达到鼎盛．明代会试分南卷、北 卷、中卷，按 的比例录取．若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为 10 ． 【解答】解：因为 ，所以中卷录取人数为 （人 ． 故答案为：10．23． 3 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：3． 24．已知 且 ，若 ， ，则 1 8 ． 【解答】解：若 ， ， 则 ， 故答案为：18． 25．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积 与时间 （月 的关系 ，有以下叙述： ①这个指数函数的底数为2； ②第5个月时，浮萍面积就会超过 ； ③浮萍从 蔓延到 需要经过1、5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等； ⑤若浮萍蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则 ； 其中正确的序号是 ①②⑤ ．【解答】解： 点 在函数图象上， ，故①正确； 函数 在 上是增函数，且当 时， 故②正确， 4对应的 ，经过1.5月后面积是 ，故③不正确； 如图所示， 月增加 ， 月增加 ，故④不正确． 对⑤由于： ， ， ， ， ， ， 又因为 ， 若浮萍蔓延到 、 、 所经过的时间分别为 ， ， ，则 成立． 故答案为：①②⑤． 四．解答题（共3小题） 26．求解下列小题． （1）计算： ； 【解答】解：（1） ． 27．已知函数 ，且 （2） （1） ． （1）求 的值 （2）若 ，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）由题意 （2） （1） ， 则 ，解得 综上所述，结论是： ． （2）由（1）知 ，则 是 上的增函数， 因为 则 ， 解得 综上所述，结论是： 28．已知 ． （1）判断函数的奇偶性； （2）证明 是定义域内的增函数； （3）求 的值域． 【解答】（1） ， 为奇函数 （2） 在 上任取 ， ，且 ， 而 在 上为增函数， ，即 在 上为增函数．（3） ，而 ，即 ， ． 所以 的值域是 ．