文档内容
期中重难点复习之解答题分阶练（三阶75题）
（基础篇、提高篇、压轴篇）
二次根式基础题型
1．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的加减混合运算，负整数指数幂和零指数幂，
（1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）首先化简二次根式，负整数指数幂和零指数幂，然后计算加减．
【详解】（1）
；
（2）
．
2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）计算：(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把各个数化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可作答．
（2）分别运用完全平方公式以及平方差公式进行展开，再进行合并同类二次根式，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） 。【分析】本题考查二次根式的混合运算及分式的化简求值，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
（1）先化最简二次根式，再算括号里的，然后按先算乘除再算加减的顺序进行计算，最后结果化成最简
二次根式或有理数；
（2）先化简分式再代入计算即可．
【详解】解：（1）计算：
．
（2）
，
当 时
原式 ．
4．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如
的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化” ；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化” ；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简 ；
(2)比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查的是分母有理化：
（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以 ，再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ， ，且，
∴ ．
5．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）观察下列等式：
① ；② ；
③ ；④ …
回答下列问题：
(1)利用上面你观察到的规律，化简 ______， _____．
(2)计算： ．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）根据（1）得到规律 ，据此求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ；（2）解： ，
，
，
…
∴可以得到规律 ，
∴
．
勾股定理基础题型
6．（23-24八年级上·宁夏中卫·阶段练习）一架长 13 米的梯子，如图那样斜靠在竖直的墙上，这时梯子
底端离墙5米
(1)此时梯子顶端离地面多少米?
(2)若梯子顶端下滑 1米，那么梯子底端将向左滑动多少米?
【答案】(1)此时梯子顶端离地面12米
(2)梯子底端将向左滑动 米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑1米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股
定理，已知梯子的底端距离墙的距离为5米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】（1）解：如图：
梯子长为13米，梯子底端离墙5米，竖直的墙，
米， 米， ，
米，
此时梯子顶端离地面12米；
（2） 顶端下滑 1米，
米，
米，
又 米，
米，
米，
答：梯子底端将向左滑动 米．
7．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，
为10米，第二条路是从A经过C到达B地， 为8米， 为6米，第三条路是从A经过D地到B
地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证： ；(2)求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定
理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设 米，则 米， 米，在 中，由勾股定理得出方
程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ；
（2）解：设 米，则 米，
∴ 米
在 中，由勾股定理得： ，
解得：
则
答： 的长为9米．
8．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，已知 ， ， ， ，求
的长．
【答案】 的长为 ．
【详解】本题考查了勾股定理．首先由勾股定理可得 ，又由 可得
，代入数值求出 即可．
【分析】解：在 和 中， ， ，则 ，
又 ，
，
即 的长为 ．
9．（23-24八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，四边形 中， ， 为对角线，
于E， ， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法．
（1）由勾股定理求出 的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
【详解】（1）解：在直角 中， ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ．
（2）解：∵ ，
∴ ．10．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
是从点 出发的动点，沿 的轨迹以2 的速度向点 运动，设点 的运动时间为
(1)当 时，求 的面积．
(2)是否存在点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时 的值；若不存在，请
说明理由．
(3)若点 在 的角平分线上 不与点 重合 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)存在， 或
(3)
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质；
（1）根据题意得出 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）勾股定理求得 ，然后根据等腰三角形的定义分 、 两种情况讨论，即可求
解；
（3）过点 作 于点 ，根据角平分线的性质得出 ，依题意 ，进而根据等
面积法求解即可．【详解】（1）
解：依题意， 时， ，
则 ，
∴ 的面积 ；
（2）解：存在， 或 ，理由如下，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
当 时，
当 时，则
∴ 点运动的路程为 ，
∴
（3）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ，
∴
解得： ．
平行四边形基础题型
11．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，四边形 中， ， 与 相交于点O，
，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟
练掌握三角形全等的判定，平行四边形的判定．根据平行线的性质得出 ，根据全等三角形
的判定得出 ，根据全等三角形的性质得出 ，根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
12．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， ，分别交 ， 于点 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)已知 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌
握平行线的判定与性质是解题的关键．
（ ）由平行线四边形 的性质可以得出 ， ，再利用线段和差证明 ，即可
得出结论；
（ ）由（ ）得： ， ，再由平行线的性质得 ，然后证
，则可由 求解；
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
由（ ）得：四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
13．（2022·广西柳州·模拟预测）已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线
上， ．(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角
形的判定和性质，平行四边形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质，可以得到 ， ，然后即可得到 ，再根据
即可证明 ；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到 ，从而可以得到 ，从而
可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：如图，连接 、 ，∵ ，
，
∴四边形 是平行四边形．
14．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在 中， 是 边上的中线，点E是 的中点，
过点A作 交 的延长线于F， 交 于 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，试判断四边形 的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】（1）由“ ”证得 ，即可得出结论；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 是 边上的中线，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、
菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
15．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形 中， ．将四边形
沿直线 折叠，使点D落在 边上的点F处．
(1)求 的长．
(2)求 的长．
【答案】(1)12
(2)6
【分析】本题主要考查了折叠性质，矩形的性质以及勾股定理等知识内容，正确掌握折叠性质是解题的关
键．
（1）由折叠的性质可得： ，再由勾股定理可求出 ；
（2）设 ， ，然后利用勾股定理得到 ，再解方程求出x即可．【详解】（1）解：∵ 是 折叠得到的，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴在 中，
；
（2）解：设 ，则 ，
∵ ，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ．
二次根式提高题型
16．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）先算完全平方公式和平方差公式，再合并同类二次根式即可．【详解】（1）解：原式 ；
（2）原式 ．
17．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）计算．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除
运算，再合并即可．
（1）先利用完全平方公式展开，二次根式的乘法运算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，分母有理化得到原式，再计算除法，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）计算：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算：
（1）先化简二次根式，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，然后去括号，最后计算二次根式乘法即可；
（3）先利用乘法公式去括号，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解；
；
（3）解：．
19．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）问题：判断下面各式是否成立．
（1） ；（2） ；（3）
探究1：你判断完上面各题后，猜想 ________．
探究2：归纳上面各式，得出一个猜想，用含 的式子表达：________（其中 ）．
【答案】三个式子都成立；探究1： ；探究2：
【分析】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．
（1）（2）（3）根据二次根式性质进行化简即可；
探究1：根据式子的规律即可得出结果；
探究2：利用规律写出一般式子，然后利用二次根式的性质即可证明．
【详解】解：三个式子都成立，
（1） ；
（2） ；
（3） ；
探究1：猜想 ；
探究2：
证明： =20．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将 与 称为一对“对偶式”，
因为 ，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将
和 中的“ ”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如
．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做
分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)对偶式 与 之间的关系是____________；
A.互为相反数 B.绝对值相等 C.互为倒数
(2)已知 ， ，化简 ， ；
(3)解方程： ．
［提示：令 ， ］．
(4)求 的值．
【答案】(1)C
(2) ，
(3)
(4)
【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，
（1）计算对偶式 ，可得两数互为倒数；
（2）根据已知分别化简x，y即可；（3）令 ，则两边同乘以 ，得 ，求出t，根据
， ，解得 ，即可求出x值，检验即可；
（4）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴对偶式 与 之间的关系是互为倒数；
故选：C；
（2）解：由题意得
，
；
（3）解：令 ，则两边同乘以 ，
得 ，
解得 ，
∵ ，
，
∴①+②，得
，
两边同时平方得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
（4）解：勾股定理提高题型
21．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，点P是等边 内的一点，分别连接 ，以
为边作 ，且 连接 ．
(1)判断 与 之间的大小关系，并说明理由．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理．
（1）证明 ，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，勾股定理逆定理求出 ，进一步求出 的度数即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：证明：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，且 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
22．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）阅读下列一段文字，回答问题．
[材料阅读]平面内两点 ， ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．例如图1， ， ，则 ＝
[直接应用](1)已知 ， ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中， ， ， 与轴正半轴的夹角是 ．
①求点B的坐标；
②试判断 的形状．
【答案】(1)
(2)① ②直角三角形
【分析】本题考查了求两点间的距离，勾股定理及其逆定理；
（1）将P、Q的坐标代入距离公式是解题的关键；
（2）①设 ，由勾股定理得 ，即可求解；②用两点距离公式，分别求出 、 、
的长，由勾股定理逆定理即可求解；
理解两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
P、Q两点间的距离为 ；
（2）解：①设 ，
与轴正半轴的夹角是 ，
，
，
，
解得： ， （舍去），
；
②
，；
，
；
是直角三角形．
23．（2024·湖南长沙·一模）如图，在 中， ， 是 的平分线，过点 作
于点 ，延长 交 的延长线于点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，
（1）由角平分线的性质证明 ，证明 ，即可得证；
（2）证明 ，得 ， ，根据勾股定理得
，求解即可；
掌握全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的长为 ．
24．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且 ，n
为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)是勾股数，理由见解析
【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答
本题的关键．
（1）根据勾股数的定义得到 ，结合 都为正整数，求出最小b值即可；（2）分别表示出2n， 的平方，得到 即可做出判断．
【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，
，
，
，
， ，
都为正整数，
当 时， ，
最小的b值为5；
（2） ， ， ，
，
2n， 是勾股数．
25．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，将长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，点C落
在点 处，折痕为 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边：
（1）由平行线的性质和折叠的性质证明 ，即可证明 ；
（2）由长方形的性质可得 ， ，再由折叠的性质得到
，设 ，则 ，由勾股定理得
，解方程求出 的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由长方形的性质可得 ， ，
由折叠的性质可得 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
平行四边形提高题型
26．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在等腰直角三角形 中， ，
， 是 的中点， ， 分别是 ， 上的点（点 不与端点 ， 重合），且，连接 并取 的中点 ，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ， ， ， ．
(1)求证：四边形 是正方形；
(2)当点 在什么位置时，四边形 的面积最小？并求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)当点E为线段 的中点时，四边形 的面积最小，最小值为4
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质：
（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得出 ，结合 可证出
，根据全等三角形的性质可得出 ，通过角的计算可得出
，再根据O为 的中点、 ，即可得出 ，且 ，由此即可证
出四边形 是正方形；
（2）过点D作 于 ，根据等腰直角三角形的性质可得出 的长度，从而得出 ，
再根据正方形的面积公式即可得出四边形 的面积的最小值．
【详解】（1）证明：连接 ，如图1所示．
∵ 为等腰直角三角形， ，D是 的中点，
∴ ， ，
在 和 中
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∵O为 的中点， ，
∴ ，且 ，
∴四边形 是正方形；
（2）解：过点D作 于 ，如图2所示．
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴点 为AC的中点， ，
∴ (点E与点 重合时取等号)．
∴
∴当点E为线段 的中点时，四边形 的面积最小，该最小值为4．
27．（2023·吉林长春·二模）完成下列各题
(1)【问题背景】如图①，在 中， ，点D为 的中点， 交直线于点F，连接 ．求证： ．
【分析解决】∵ ，点D为 的中点，
∴ ．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴ ．…
在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系．…
请你延续以上思路，完成本题结论的证明．
(2)【变式探究】如图②，将【问题背景】中的 改为 ，其余条件不变．判断
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由．
(3)【结论应用】在图①中，若 ，则 ______°．
在图②中，若 ，则 ______°．
【答案】(1)证明见解析
(2)仍然成立；证明见解析
(3)① ，②
【分析】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
（1）利用等角对等边证明即可；
（2）仍然成立．证明 ，可得结论；
（3）利用三角形内角和定理求出 ，再求出 ，利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，点D为 的中点，
∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：仍然成立．
，点D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图①中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
如图②中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：46，22．28．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）在平面四边形 中，点E是 上任意一点，延长 交
的延长线于点F．
(1)在图1中，当 时，求证： 是 的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，如图2，若 ，点G是 的中点，请求出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角 ，利用四边形 是平行四边形，可得
，由等量关系可得 即可证明结论；
（2）先说明 是等腰直角三角形可得 ，再证明 可得 ，
，然后证明 是等腰直角三角形即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图1， ，
，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是 的平分线．
（2）如图2，连接 ，∵在平行四边形 中， ，
， ，
，
，
又 ，
∴ 是等腰直角三角形，即： ，
由（1）可得： ，
，
又∵ 是 的中点，
， ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综
合运用相关知识为解题的关键．
29．（2023·山东菏泽·二模）如图1，正方形 与正方形 有公共顶点 ，点 分别在边 和
上，连接 ，点 是 的中点，连接 交 于点 ．
(1)【观察猜想】线段 与 之间的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)将图1中的正方形 绕点 顺时针旋转至图2的位置， 所在直线交 于点 ，其他条件不变，
请尝试探究线段 与 之间的关系是否仍然成立？
【探究思路】
延长 至点 ，使 ，连接 ，可证明 ，从而将线段 转化为线段 ，进
而探究所需结论．
【问题解决】
①请在图2中按要求作出辅助线，并写出 的证明过程；
②线段 与 之间的关系是否仍然成立？说明理由．
【答案】[观察猜想] ；[问题解决]①见解析；②成立，理由见解析
【分析】[观察猜想]证明 ，得出 , ，进而根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半，即可得出 ，根据等角的余角相等，进而得出 ，即可得
出 ；
[问题解决]①根据题意画出图形，延长 至点 ，使得 ，连接 ，证明
，得出 ， ，则 ，根据正方形的性质得出
，进而证明 ；
②根据 得出 ，根据 ，即可得出 ，进而根据
即可得出 ．
【详解】[观察猜想]
四边形 和四边形 是正方形，
， ，
∴
∴ ,
又∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∴∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ；
[问题解决]①如图所示，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
证明： 点 是 的中点，
，
又 ， ，
，
，
，
，
四边形 和四边形 是正方形，
， ，
，
，
②仍然成立．
理由如下： ，，
．
又 ，
，
又 ，
，
，
即 ．
30．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图 ，在等腰 中， ，点 在 上（且
不与点 、 重合），在 的外部作等腰 ，使 ，连接 ，分别以 ， 为邻
边作平行四边形 ，连接 ．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)如图 ，将 绕点 逆时针旋转，当点 在线段 上时，连接 ，求证： ；
(3)如图 ，将 绕点 继续逆时针旋转，当平行四边形 为菱形，且 在 的下方时，
若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】（ ）依据 ， ，即可证明 是等腰直角三角形；
（ ）连接 ， 交 于 ，先证明 ，再证明 是等腰直角三角形即可得出结论；
（ ）当 时，四边形 是菱形，先求得 ， 中，，即可得到 ．
【详解】（1）如图 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（2）如图 ，连接 ， 交BC于K，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
（3）如图 ，
当 时，四边形 是菱形，
设 交 于 ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、
菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．二次根式压轴题型
31．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】
由 得， ；如果两个正数 ， ，即 ， ，则有下面的不等式： ，
当且仅当 时取到等号．
【提出问题】
若 ， ，利用配方能否求出 的最小值呢？
【分析问题】
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最
小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）2＋3______ ；6＋6______ ．（用“＝”“＞”“＜”填空）
（2）当 ，式子 的最小值为______；
【能力提升】
（3）当 ，则当x＝______时，式子 取到最大值；
（4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个
长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
【答案】（1） ， ；（2）2；（3） ；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最
短，最短的篱笆是16米【分析】（1）根据当 时， ，当 时， ，即可求解，
（2）令 ， ，根据“当 ， 时， ”，即可求解，
（3）令 ， ，根据“当且仅当 时， ” ，即可求解，
（4）设一边长为 米，则另一边为 米，根据“面积为32平方米”得 ，求出 得最小值，及
此时的 得值，即可求解，
本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材
料所提供的结论．
【详解】解：（1）∵当 ， 时， ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
（2）当 ，式子 ，当且仅当 时，即： 时，有最小值，最小值为2，
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时，即： 时有最小值，最小
值为24，
（4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为 米，则平行于墙的一边为 米，
则： ，即： ，∴所用篱笆的长为 米，
（米），
当且仅当 时，即 时，取得最小值16，
此时， （米）， （米），
故答案为：（1） ， ；（2）2；（3） ；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆
最短，最短的篱笆是16米．
32．（23-24八年级上·四川乐山·期末）【阅读下列材料】：
若 ， ，则 ， ，∴ ．（注： ）∵
， ，∴ ．“ ”称为“基本不等式”，利用它可求一
些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当 时，取等
号．）
【例】：若 ， ， ，求 的最小值．
解：∵ ， ， ∴ ，
∴ ．
∴ 时， 的最小值为8．
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为 的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆
的长是多少；
(2)用一段长为 的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面
积是多少；
(3)如图，四边形 的对角线 相交于点O， 、 的面积分别为2和3，求四边形
面积的最小值．【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为 米， 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米；
(2)菜园的长为50m，宽为 m时，面积最大为 ；
(3)四边形 面积的最小值为 ．
【分析】
本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米，则 ， ，所以所
用篱笆的长为 米，再根据材料提供的信息求出 的最小值即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性
质求解即可；
（3）设点B到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，又 、 的面积分别是
2和3，则 ， ， ，从而求得 ，然后根据材料提供的信息求
出最小值即可．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米，
则 ，
∴ ，
∴所用篱笆的长为 米，，
∵当且仅当 时， 的值最小，最小值为 ，
∴ 或 （舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为 米， 米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 米；
（2）
解：设一边为xm，则另一边长为 m，
∴菜园的面积 ，
又∵ ，
∴当 时，菜园的面积有最大值为1250，
答：菜园的长为50m，宽为 m时，面积最大为 ；
（3）解：设点B到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
又∵ 、 的面积分别是2和3，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ ．∴当且仅当 时，取等号，即 的最小值为 ，
∴四边形 面积的最小值为 ．
33．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：
已知a，b为非负实数， ，
，当且仅当“ ”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知 ，求代数式 最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ．
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，代数式 到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最
短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知 ，则自变量x取何值时，代数式 取到最大值？最大值为多少？
(4)若x为任意实数，代数式 的值为m，则m范围为______．
【答案】(1) ，
(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
(3)自变量 时，函数 取最大值，最大值为
(4)【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得 ，故当且仅当 时，函数 取到最小值，最小值
为 ，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为 米，篱笆周长为 米，可得函数解析式为 ，根据例题，即可获得答
案；
（3）将原函数变形为 ，由 取最小值，即可确定自变量 取何值时，函数
取到最大值，并求得最大值．
（4）分 ，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
当且仅当 时，取等号，
∴当 时，函数 取到最小值，最小值为 ．
故答案为： ， ；
（2）设这个矩形的长为 米，篱笆周长为 米，
根据题意，用篱笆围一个面积为 的矩形花园，
则矩形的宽为 米，
∴ ，
当且仅当 时，取等号，即当 时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；（3）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值，最小值为6，
∴此时 有最大值，最大值为 ，
∴自变量 时，函数 取最大值，最大值为 ．
（4）① ，
，
又 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值，最小值为 ，
此时m有最大值，最大值为 ，
又 ， 结果分母都为正数，
，
② 时，
③ ， ，
又 ，当且仅当 时，即当 时， 取最大值，最大值为 ，
此时m有最小值，最小值为 ，
又 ， 结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为 ．
34．（22-23八年级上·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式 （ ， ，
）化简呢？如能找到两个数 ， （ ， ），使得 ，即 ，且使
，即 ，那么 ， ，
双重二次根式得以化简．
例如化简： ，
因为 且 ，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到 ， （ ， ），使
得 ，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： = ， = ；
(2)化简： ；(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将 配方成 ， 配方成
，即得答案；
（2）先将 变形为 ，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将 变形为 ，再运用（1）的方法化简 和
，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）因为 且 ，
，
，
故答案为： ；
因为 且 ，
，
，
故答案为： ；（2）
因为 且 ，
，
，
；
（3） ，
， ，
，
，
．
35．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数
，（其中 为满足不等式的最大整数， 为满足不等式的最小整数），则称无理数 的“麓外
区间”为 ，如 ，所以 的麓外区间为 ．(1)无理数 的“麓外区间”是 ；
(2)若 ，求 的“麓外区间”；
(3)实数 满足 ，求 的算术平方根的“麓外区
间”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，
是解题的关键．
（1）夹逼法求出 的取值范围，即可得出结果；
（2）根据二次根式有意义的条件，得到 ，进一步求出 的取值范围即可；
（3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到 ， ，
求出 的值，进而求出 的“麓外区间”即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
即：无理数 的“麓外区间”是 ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的“麓外区间”为 ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
联立： ，
解得： ，
∴ 的算术平方根为 ，
∵ ，
∴ ；
∴ 的算术平方根的“麓外区间”为 ．
勾股定理压轴题型
36．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是 的三边，且 ，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图， 中， ， ，P为 边上一点，将 沿直线 进行折叠，点A
落在点D处，连接 ， ．若 为“方倍三角形”，且 ，求 的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三
角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得 ，根据“方倍三角形”定义可得 为等边三角形，从而证明
为等腰直角三角形，可得 ，延长 交 于点 ，根据勾股定理求出 的长，根据
为等腰直角三角形，可得 ，进而可以求 的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为 ，
则 ，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为： ；
（2）由题意可知：
，
， ，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长 交 于点 ，如图，
，
， ，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
37．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知 中， ，点D为 的中点，
．
(1)如图1，点E，F分别是边 上的点， ，求 的长．
(2)如图2，若点E，F分别为 延长线上的点， 平分 ，交直线 于点P，试确定
之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)10
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）连接 ，证明 ，得到 ，进而求出 的长，勾股定理求出 的长即
可；
（2）连接 ，先证明 ，得到 ，进而证明 ，得到
，根据勾股定理得到 ，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
（2） ，理由如下：
连接 ，
同（1）可得： ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
38．（2024·辽宁沈阳·一模）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角 和 摆在一起，
其中直角顶点A重合， ， ， ．
(1)用数学的眼光观察．
如图1，连接 ， ，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)用数学的思维思考．
如图2，连接 ， ，若F是 中点，判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)用数学的语言表达．
如图3，延长 至点F，满足 ，然后连接 ， ，当 ， ， 绕A点旋转
得到 三点共线时，求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) 或【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用三角形的判定来
判定三角形全等是解题的关键．
（1）利用 证明 ，从而得解；
（2）点 B 作 交 的延长线于点 Q，证明 得到 ，再证明
，得到 ，即得证；
（3）分①当点 在直线 下方时，②当点 在直线 上方时两种情况讨论即可得解．
【详解】（1）
解： ，理由：
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）
，理由：
点B作 交 的延长线于点Q，
∴ ， ，
∵F是 中点，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）
旋转得到 三点共线，
①当点 在直线 下方时，如图所示，过点A作 于M，
∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即 旋转得到 三点共线时， ；
②当点 在直线 上方时，如图所示，过点A作 于N，同理， ，
即 旋转得到 三点共线时， ，
综上所述，线段 的长为： 或 ．
39．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 是等边三角形，点D为平面内一点，连接 、
， ，
(1)如图①，当点D在 下方时，连接 ，延长 到点E，使 ，连接 ．
①求证： ；
②如图②，过点A作 于点F，直接写出线段 、 、 间的数量关系；
(2)若 ， ，直接写出点A到直线 的距离．
【答案】(1)①见解析；②
(2)点A到直线 的距离为 或
【分析】
（1）①由等边三角形的性质可得 ， ，由四边形的内角和定理
可得 ，由“ ”可证 ；②由全等三角形的性质可得 ，
，可证 是等边三角形，可得 ， ，根据含 的直角三角形的性
质可得 ，根据 ，即得；（2）分两种情况讨论，当点D在 下方时，利用 ，可证 ，根据角平分线
性质得到点 A 到直线 的距离等于 ，设 ，则 ， 根据勾股定理得到
，解得 ；当点D在 上方时，过点B作 ，交 延长线于
M，过点 A 作 ，交 延长线于点 N，可得 ， ，设 ，则
， ，根据勾股定理得到 ，推出 ，根据
，得到 ．
【详解】（1）
①∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）
如图1，若点D在 下方时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A到直线 的距离等于点A到直线 的距离 ，
设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
∴点A到直线 的距离为 ；
如图2，若点D在 上方时，
过点B作 ，交 延长线于M，过点A作 ，交 延长线于点N，
则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ， （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故点A到直线 的距离为 或 ．
【点睛】
此题主要考查了三角形综合．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解直角三
角形，含 的直角三角形的性质，角平分线性质，分类讨论，是解决问题的关键．
40．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）【初步发现】
（1）直线 和线段 如图1所示，连接 ，若 ，则___________线段 的垂直平分线；（填“是”或“不是”）
【深入研究】
（2）如图2， 与 都是等边三角形，连接 ，求证： ；
【拓展研究】（3）如图3，某小区有一块形状为等边三角形 的草地， ，现要将这块草地扩
展成四边形 的形状，用来种植不同的花卉，连接 ，根据规划要求，需要满足
，点 在 上， ．为了防止有人踩踏花卉，沿四边形
的四周搭建围栏，求围栏的总长度（即求四边形 的周长）．
【答案】（1）是；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的判定方法可得答案；
（2）根据 证明 即可证明结论成立；
（3）连接 ．根据 证明 得 ，进而可证点B，D，M在 的垂直
平分线上，然后根据勾股定理求出 ， ．根据 证明 得
，然后根据勾股定理求出 即可求解．
【详解】解：（1） ，
∴点C、D分别在线段 的垂直平分线上，
∴ 是线段 的垂直平分线．
故答案为：是；
（2）∵ 与 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）连接 ．∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴
点D、B在 的垂直平分线上．
∵ ，
∴点M在 的垂直平分线上，
∴点B，D，M共线， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长
，
即四边形 的四周搭建围栏长为 ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定雨性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角
形的性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 ．
平行四边形压轴题型
41．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，在矩形 中， ，动点P从B出
发，以每秒1个单位的速度，沿射线 方向移动，将 沿直线 翻折，得到 ，设点P的运动
时间为 ，(1)如图2，当点 落在 上时，显然 是直角三角形，求此时t的值；
(2)是否在异于图2的时刻，使得 是直角三角形？若存在，请写出所有符合题意的t的值？若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或 或
【分析】（1）先利用勾股定理求出 长，再根据折叠的性质得到得出 ，
，设 ，则 ，在 中， ，据此建立方程，解
方程即可求解；
（2）根据题意分三种情况，当 时，此时点 落在 上，当 时，此时点 在
的延长线上，当 时，则四边形 为正方形，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）
解： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质可得 ， ， ，
， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得： ，
∴
∴ ；
（2）解：如图，当 时，此时点 落在 上，
在 中， ，
∴ ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ；
如图，当 时，此时点 在 的延长线上，
在 中， ，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ；当 时，则四边形 为正方形，
，
解得 ；
综上， 或 或 ；
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的判定与性质，勾股定理与折叠问题，正确画出符合题意的
图形，熟练运用相关知识是解题的关键．
42．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 中， 为 边上一点， 为 延长线上一
点，且 ．过 作 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；(2)当 时，判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】（ ）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得 ，又由对顶角的
性质可得 ，即得到 ，利用 即可证明 ；
（ ）连接 ，交 于点 ，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形 是
平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握
平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：四边形AGFE是菱形，理由如下：
连接 ，交 于点 ，
由（ ） 得， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴平行四边形 是菱形．
43 ． （ 23-24 八 年 级 下 · 黑 龙 江 哈 尔 滨 · 阶 段 练 习 ） 已 知 ， 在 四 边 形 中 ，
．
(1)如图1，求 的长．
(2)如图2，点 在 的延长线上，连接 ，若 ，且 的面积为9，求
的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，动点 从点 出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点 匀速运动，动点
从点 出发以每秒3.5个单位长度的速度沿线段 向终点 匀速运动，点 和点 同时出发，当点 到达
终点停止运动时点 也随之停止运动，当运动时间 （秒）为何值时，以 四点为顶点的四边形
是平行四边形？此时取点 为 中点，并求线段 的长．【答案】(1)
(2)
(3) ， 或 ， ；
【分析】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握平行四
边形的性质与判定．
（1）先证明四边形 是平行四边形，再由平行四边形的性质可得结果；
（2）过点D作 ，设 ，称证明 ，可得 ，再由勾股定理列出方
程求解即可得出结论；
（3）分为当点Q在线段 上时及当点Q在线段 上时两种情况进行讨论，再利用平行四边形的判定列
出方程求解即可．
【详解】（1）
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
；
（2）如图，过点D作 ，设 ，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积为9， ，
，
，
中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
（3）如图，当点Q在线段 上时，
由题意得： ，
，
只要使 ，四边形 是平行四边形，解得： ，
此时 ；
如图，当点Q在线段 上时，过点M作 ，
由题意得： ，
，
只要使 ，四边形 是平行四边形，
， ，
解得： ，
，
，
，
；
综上所述： ， 或 ， ．
44．（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）如图（1），已知矩形 ，点 是射线
上一点，将 沿 翻折，点 对应点为 ．(1)当 ，点 落在 上时，在图（2）中作出 并求 的长．
(2)如图（3）当点 落在 的中点时，求 的值．
(3)当 是直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)图见详解，
(2)
(3) 的长为 或
【分析】（1）先由矩形性质，得 ，由勾股定理得 ，设 为 ，根据勾股定理列式
，代入数值进行计算，即可作答．
（2）因为折叠性质，得 因为中点，得 ，再结合勾股定理列式计算，得在
中， ，即可作答．
（3）因为 是直角三角形，要进行分类讨论，分 以及在
线段 上或者 的延长线上，每个情况，作出相应图形，结合折叠性质以及勾股定理列式，进行计算，
即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴设 为
∵折叠性质
∴
∴
则 ，即
解得
∴
（2）解：如图：
∵四边形 是矩形，
∴
设 为
∵折叠性质
∴
∵点 落在 的中点
∴
在 中，
解得 （负值已舍去）；
（3）解：如图：
∵将 沿 翻折，点 对应点为 ，且当 是直角三角形
∴点 无法落在 边上，即
当 时，如图∵折叠性质
∴
∵四边形 是矩形
∴
在直角三角形 中，斜边 小于直角边 ，故舍去；
当 时，且点E在线段 上时，如图
∵四边形 是矩形
∴
∵折叠性质
∴
∴
∴
设
在 中，
即
解得
此时 ；
当 时，且点E在 的延长线上时，如图∵四边形 是矩形
∴
∴
∴
∵折叠性质
∴
∴
∴
∵
∴
∴
则
∵
∴ 三点共线
∵
∴
∴
综上 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，
正确作出辅助线证明全等三角形、熟练运用数形结合思想是解题的关键．
45．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）等边三角形 的边长为8，D是 的中点，动点P从点A
出发，沿折线 （不包括点C）以每秒1个单位长度的速度向点C运动．连接 ．如图1和图2，
当点P在线段 上时，将 沿 折叠；如图3，当点P在线段 上时，将四边形 沿 折
叠，点A的对应点为 ．设点P的运动时间为 ．(1)求 的长；并求当 时， 的度数；
(2)求点 落在 内部（包括边界）的时长；
(3)当点P在线段 上时，求 周长的最小值；（不考虑B，P， 三点共线的情况）
(4)点P在线段 上运动的过程中，当 所在直线垂直于 的一边时，直接写出t的值．
【答案】(1) ， 或
(2)
(3)
(4)12
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和勾股定理求得 的值，再利用折叠的性质求解即可；
（2）分两种情况当 刚好在 上时和当 与C重合时，利用等边三角形的性质求解即可；
（3）当 、B、D三点共线时， 最小，利用等边三角形的性质求解即可；
（4）根据三角形中位线定理和等边三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵等边三角形 的边长为8，且D是 的中点，
∴ ， ，且 ．
在 中， ．
由折叠可知 ．
当点P在线段 上时，
∵ ， ，
∴ ；
当点P在线段 上时，
∵ ， ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
综上所述， 的度数为 或 ；
（2）解：如图1，当点 刚好在 上时，此时 ．
由翻折可知， 为等边三角形，
∴ ．
如图2，当点 与 重合时，点P与点 重合，
∵点 落在 内部时，点P的运动轨迹为 靠近点A的四等分点到 的中点，
∴ ，即点P的运动轨迹为4，
∴时长t为 ；
（3）解：由折叠可知， ，
∴ ，
∴当 最小时， 的周长最小．
如图3，当 ，B，D三点共线时， 最小，由折叠可知 ，
∴ ，∴ 周长的最小值为 ；
（4）解：当P为 中点时， 于点M，
∵ 为 中位线，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
此时，P运动轨迹为 ，
即 时， 所在直线垂直于 的一边．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、折叠的性质、三角形内角和
定理，根据等边三角形的性质和勾股定理进行分类讨论是解题的关键．
