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第二十五讲：直线方程、圆的方程
【考点梳理】
1、直线的方程
倾斜角、斜率，五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）
2、两直线关系
平行、垂直
3、圆的方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
4、直线与圆的位置关系
几何法、代数法（相离、相切、相交）
5、两圆的位置关系
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【典型题型讲解】
考点一：直线的方程
【典例例题】
例1.若一次函数 所表示直线的倾斜角为 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
例2.下列四个命题中真命题有_________个．
①经过定点 的直线都可以用方程 表示；②经过任意两点 的直线都可以用方程 表示；
③不经过原点的直线都可以用方程 表示；
④经过定点 的直线都可以用方程 表示．
例3.已知 ， ，则满足 的 的值是（ ）
A． B．0 C． 或0 D． 或0
例4.直线 和直线 垂直，则实数 __________．
【方法技巧与总结】
熟记直线方程的公式
【变式训练】
1.若图中的直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则（ ）
1 2 3 1 2 3
A．k ＜k ＜k B．k ＜k ＜k
1 2 3 3 1 2
C．k ＜k ＜k D．k ＜k ＜k
3 2 1 1 3 2
2.已知集合 ，集合 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 且
C． 且 D． 且 且
3.已知直线 恒过定点A，点A在直线 上，其中m、n均为正数，则 的
最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．4.“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线 ： ．
（1）求 经过的定点坐标 ；
（2）若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
① 的面积为 ，求 的最小值和此时直线 的方程；
②当 取最小值时，求直线 的方程．
考点二：圆的方程
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“ ”是“点 在圆 外”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
例2．（2022·广东清远·高三期末）直线 被圆 截得的最短弦长为
（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·广东·金山中学高三期末）（多选）已知点 ，若过点 的直线 交圆 ：
于 ， 两点， 是圆 上一动点，则（ ）
A． 的最小值为 B． 到 的距离的最大值为C． 的最小值为 D． 的最大值为
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用圆
心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情
形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【变式训练】
1．（2022·广东广州·二模）已知抛物线 ，圆 ，直线 与 交于
A、B两点，与 交于M、N两点，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
2．（2022·广东湛江·二模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东梅州·二模）已知直线 与圆 交于 、 两点，若 为等边三
角形，则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·广东肇庆·二模）在 中， ， ， ，点D是线段AB上的动点﹐以D
为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2022·广东·珠海市第三中学二模）已知圆 与抛物线 的准线相切，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东韶关·二模）已知直线 与圆 交于A、B两点，若
则a=（ ）
A．5 B． C． D．
7．（2022·广东茂名·二模）（多选）已知a>0，圆C： ，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分
8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分必要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．若圆 与圆 有且只有一个公共点，则D．若直线 与曲线 有公共点，则实数b的取值范围是
9．（2022·广东深圳·二模）（多选）P是直线 上的一个动点，过点P作圆 的两条切线，
A，B为切点，则（ ）
A．弦长 的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线 经过一个定点 D．线段 的中点在一个定圆上
10.（2022·广东·二模）若直线 和直线 将圆 的周长四等分，则
__________．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知P是半圆C： 上的点，Q是直线 上的一点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆O： ，已知直线l： 与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆
O截得的弦长最小时， （ ）
A． B． C． D．
3．已知圆 截直线 所得的弦长为 ，则圆C与圆
的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
4．设 ，O为坐标原点，点P满足 ，若直线 上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．点M为直线 上一点，过点M作圆O： 的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四
边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0 B．
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
二、多选题
6．已知圆 的一般方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 的圆心为 B．圆 的半径为5
C．圆 被 轴截得的弦长为6 D．圆 被 轴截得的弦长为6
7.已知圆 被 轴分成两部分的弧长之比为 ，且被 轴截得的弦长为4，当圆心 到直线 的
距离最小时，圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点 是圆 上的任意一点，直线 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．直线 与圆 的位置关系只有相交和相切两种
B．圆 的圆心到直线 距离的最大值为
C．点 到直线 距离的最小值为D．点 可能在圆 上
三、填空题
9．已知直线 与圆O： 相交于A，B两点（O为坐标原点），且 为等腰直角三
角形，则实数a的值为___________.
10．设 与 相交于 两点，则 ________．
11．已知点 ， ，动点 满足 ，则点M到直线 的距离可以是
___________.（写出一个符合题意的整数值）
12．已知 点为圆 与圆 公共点，圆 +1，圆 +1 ，若
，则点 与直线 ： 上任意一点 之间的距离的最小值为_________．
