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专题16.20 二次根式（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2019上·四川成都·八年级校考阶段练习）若 有意义，则字母x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2
2．（2017上·八年级单元测试）化简 的结果为（ ）
A． B．30 C． D．30
3．（2019上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
4．（2017上·八年级单元测试）下列计算不正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）化简 的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2019下·重庆巴南·八年级统考期中）如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式
子 的值是整数，则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．27．（2020上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）若二次根式 有意义，且关于x的分式方程
有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
8．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知 ，则代数式
的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022上·河南周口·九年级校联考阶段练习）若 ， ，
则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定
10．（2019下·八年级单元测试）设S= ，
则不大于S的最大整数[S]等于（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）若 的最大值为 ，最小值为 ，则
的值为 .
12．（2023下·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且 ，则
．
13．（2022上·湖南永州·八年级统考期末）若 ，则 的值为 ．
14．（2020上·四川成都·八年级校考阶段练习）若 ， ， 是实数，且，则 ．
15．（2018下·重庆·八年级阶段练习）把 中根号外的 移入根号内得 ．
16．（2023上·四川内江·九年级校考期中）当 时，多项式 的值为
17．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）化简 ．
18．（2022上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正
整数之间，即满足 （其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为 ．例：
，所以 的“神奇区间”为 ．若某一无理数的“神奇区间”为 ，且满足
，其中 ， 是关于x、y的二元一次方程组 的一组正整数解，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·辽宁铁岭·九年级校联考阶段练习）已知 ． 求 的
值．
20．（8分）（2023下·河南周口·八年级统考期末）计算：
（1） （2）
21．（10分）（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算（1） ； （2） （
）．
22．（10分）（2023下·湖南郴州·八年级校考开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
23．（10分）（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘
法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当 时， 与 的大小关
系”．下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当 时，
特例1：若 ，则 ；
特例2：若 ，则 ；
特例3：若 ，则 ．
②观察、归纳，得出猜想：当 时， ．
③证明猜想：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当且仅当 时， ．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
（1）当 时， 的最小值为
（2）当 时， 的最小值为 ；
（3）当 时，求 的最大值．24．（12分）（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是
只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整
理如下：
对于两个数 ， ，
称为 ， 这两个数的算术平均数，
称为 ， 这两个数的几何平均数，
称为 ， 这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若 ， ，则 ； ________； _______；
（2）小聪发现当 ， 两数异号时，在实数范围内 没有意义，所以决定只研究当 ， 都是正数时
这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问
题：
如图，画出边长为 的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示 ．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为 ， 的图形：
②借助图形可知，当 ， 都是正数时， 的大小关系是： ___________（把 从小到大
排列，并用“ ”或“ ”号连接）；
③若 ．则 的最小值为________．参考答案：
1．D
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
解： 有意义，则x+1≥0且x-2≠0，
解得：x≥-1且x≠2．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
2．C
解：先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得 = = ，
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可
求解，比较简单，但是易出错，是常考题.
3．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简
即可
解：
故选B
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取
值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
4．D解：根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知 ，故正确；
根据二次根式的乘法，可知 ，故正确；
根据二次根式的性质和化简，由分母有理化可得 ，故正确；
根据二次根式的加减，可知 与 不是同类二次根式，故不正确.
故选D.
5．D
【分析】先将根号内整理为 和 ，再化简，并计算即可．
解：原式 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解 是解题的关键．
6．C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为 可得出m≤2，再由式子 的值
是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
解：解不等式 得x＞m，
解不等式 得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子 的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次根式 有意义，可得 ，解出关于 的分式方程 的解为
，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的
所有可能的整数值，求和即可．
解：去分母得， ，
解得， ，
∵关于x的分式方程 有正数解，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是增根，当 时，
，即 ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
因此 且 ，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点拨】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键
是理解正数解，整数m的意义．
8．C
【分析】根据已知，得到 ，整体思想
带入求值即可．解：∵ ，
∴ ，
∴
．
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是
解题的关键．
9．B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法
则是解题的关键．
10．B
【分析】由 ，代入数值，求出S= + + +
…+ =99+1- ，由此能求出不大于S的最大整数为99．
解：∵
=
= ，
∴S= + + + …+
=
=
=100- ，∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道 是解答本题的基础．
11．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根
据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平
方得到 ，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出 的最大
值和最小值，从而求出 的最大值和最小值，即为 ，代入即可．
解：∵
∴ ，
解得： ，
将等式两边平方，得 ，
∴ ，
∴
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴
故答案为： ．
12．2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即 ，且a，b为有理数，求
出 ，进而得到 ．
解：a，b为有理数
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
13．2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵ ，
∴ ，
，
，
即 =2022．
故答案为2022．
【点拨】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题
的关键．
14．21
【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得 ， ， 的值，从而得到答
案．
解：∵
∴
∴∴
∴
∴
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公
式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
15．
【分析】先根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，求出a的取值范围，根据 ，
然后根据二次根式的乘法公式将 移入根号化简即可．
解：根据二次根式有意义的条件可得： 且
解得：
则 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查的是二次根式的变形，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0和二次根式的乘
法公式是解决此题的关键．
16．
【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到 ，进而得到，将多项式转化为 ，再代值计算即可，本题的难
度较大，关键是将已知式子进行变形，转化．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为： .
17．
【分析】将原式变形为 ，再求出 ，继而化简得到 ．
解：设则
，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质．
18．33或127/127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
解： “神奇区间”为 ，
、 为连续正整数，
， ， 是关于x、y的二元一次方程组 的一组正整数解，
符合条件的 ， 有 ， ， ； ， ， ．
， ， 时， ， ，
，
，
， ， 时， ， ，
，
，
故 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
19．
【分析】先得到 ，由 可得 的值，进而即
可求解；
解：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查二次根式的变换求值、完全平方公式，正确进行变换是解题的关键．
20．（1） ；（2）16
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解；
（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答．
（1）解：
；
（2）解：．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，二次根式的化简，是
解决问题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的
运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计
算即可．
（1）解：
＝
＝ － ＋
．
（2）解：
＝ ·．
【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（1）④， ；（2） ；（3）
【分析】（1）第④步出现了错误， ；
（2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
；
（2）
；
（3）．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是
解题的关键．
23．（1）2；（2） ；（3）
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当 时， ，则可由题中规律完成；
（3）原式 变形为 ，由 ，计算出 的最小值，即可求得 的最大
值，则最后可求得原式的最大值．
（1）解：当 时， 均为正数，
由题中规律得： ，
当且仅当 ，即 时， ，
∴当x＞0时， 的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当 时， ，
由题中规律得： ，
当且仅当 ，即 时， ，
∴当x＜0时， 的最小值为 ；
故答案为： ；（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时， 的最大值为 ，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点拨】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注
意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
24．（1） ； ；（2）①见详解② ③
【分析】（1）将 ， 分别代入 求值即可得；
（2）①分别求出 ， ，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据
（2）①中的所画的图形可得 ，由此即可得出结论；③由 ，可知当 时， 取最
小值，此时 ，结合已知条件可得 ，即可确定 的最小值．
（1）解：当 ， 时，，
．
故答案为： ； ；
（2）① ，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为 的图形如下所示：
②由（2）①可知， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ 都是正数，
∴ 都是正数，
∴ ．
故答案为： ；
③∵ ，
∴当 时， 取最小值，此时 ，即 ，
整理，可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
此时 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平
方公式进行变形运算是解题关键．
