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专题16.15 二次根式的化简求值50 题（分层练习）（基础练）
1．（2022下·广东韶关·八年级校考期中）先化简，再求值，已知： ，求 的值．
2．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）已知 ， ．
（1）求 的值． （2）求 的值．
3．（2023上·广东佛山·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其中 ．
4．（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知 ， ，试求下列各式的值：
（1） （2） ．
5．（2019下·四川广安·八年级校考期中）
（1）已知x= +2，y= ﹣2，求x2+2xy+y2的值．
（2） ，求：（x+y）2019的值．
6．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）已知 ， ，求代数式 的值．7．（2019下·山东潍坊·八年级校联考期中）（1）已知x 1 ，求 的值；
（2）已知x﹣2 ，求代数式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的值．
8．（2019下·河北沧州·八年级统考期末）若b2﹣4ac≥0，计算：
9．（2019上·四川成都·八年级成都实外校考阶段练习）已知 ，求 的值．
10．（2019上·甘肃兰州·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
11．（2018上·河南洛阳·九年级偃师市实验中学校考阶段练习）已知 ，
，求 的值．
12．（2020上·四川攀枝花·九年级校考阶段练习）先化简，再求值，已知x＝ ，y＝ ，求x2
﹣2xy﹢y2 的值．
13．（2019上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知m，n满足 ，求 的
值．14．（2020上·四川·八年级校考期中）解答下列问题．
（1）已知 ， ，求 ．
（2）已知实数 ， 满足 ，求 的平方根．
15．（2021下·浙江·八年级期末）完成下列各小题：
（1）已如 ，求 的值；
（2）已知 ，求式子 的值；
16．（2021下·河南商丘·八年级统考期中）已知 ，求
的值．
17．（2023上·四川成都·八年级树德中学校考期中）已知 ， ．
（1）求 的值； （2）求 ．
18．（2021下·湖北·八年级统考期末）（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）化简求值： ，其中x＝ ﹣2．
19．（2021下·山东烟台·八年级统考期末）先化简，再求值：已知y= ，求
的值．
20．（2021下·江西赣州·八年级统考期末）已知x= ，y= ，求下列代数式的值：
（1） ； （2） ．
21．（2021下·辽宁铁岭·八年级校联考期中）已知 ， ，求代数式 的值．
22．（2020上·八年级单元测试）已知 求 的值．
23．（2022下·湖北咸宁·八年级湖北省崇阳县第一中学校考期中）已知 ， ，求
下列各式的值：
（1） ； （2）24．（2022下·湖北孝感·八年级校考期中）（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
25．（2017下·广西玉林·八年级统考期末）已知 ， ，求 的值．
26．（2023上·山西运城·八年级统考期末）若 x，y 为实数，且 ． 求
的值．
27．（2023下·湖北咸宁·八年级咸宁市温泉中学校联考期中）已知 ，求下列式子
的值：
（1） ； （2）
28．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）已知 ， ，求
的值．29．（2020上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知 ，求 的值．
30．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）已知 ，求代数式 的值．
31．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知 ，求代数式 的值．
32．（2023下·山东泰安·八年级统考期中）（1）当 时，求代数式 的值．
（2）当 ， ，求代数式 的值．
33．（2023下·河南商丘·八年级统考期中）已知 ， ，求下列式子的值：
（1） ； （2）
34．（2019上·广东佛山·八年级佛山市南海区石门实验学校校考阶段练习）已知 ，
，求 的值．35．（2023上·湖南永州·八年级统考期末）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
36．（2022上·福建宁德·八年级校考期中）先化简，再求值： ，其中
．
37．（2023下·山东威海·八年级统考期末）
（1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的值．
38．（2023下·广西贺州·八年级统考期中）求代数式 的值，其中 ．
39．（2024下·全国·八年级假期作业）已知 ， .
（1）求 的值； （2）求 的值.
40．（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知 ． 求下列代数式的值：
（1） ； （2） ．41．（2023下·云南昆明·八年级校考阶段练习）已知， ， ，
（1）求 ， 的值； （2）求 的值．
42．（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）已知 ，求代数式
（1） 的值； （2） 的值．
43．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）先化简，再求值： ，
其中 ．
44．（2023上·全国·八年级专题练习）先化简，再求值： ，其中 ．
45．（2022下·河北邯郸·八年级统考期末）计算：已知 ，求代数式 的值．
46．（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．47．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知： ， ，求代数式
值．
48．（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知 ，
（1） ， ；
（2）求 的值．
49．（2022下·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）已知 ， ，求下列各式的值
（1） （2）
50．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数式的值.
（1） ； （2） .参考答案：
1．
【分析】利用完全平方公式把所求式子变形得到 ，再代值计算即可．
解：∵ ，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式把所求式子进行分解因式是解
题的关键．
2．（1） ；（2）
【分析】（1）先分母有理化，然后把a、b值代入 计算即可；
（2）把 化成 ，再把 的值代入计算即可．
（1）解：∵ ， ．∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
．
【点拨】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3． ；
【分析】本题考查了二次根式乘法的化简求值，先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再合并同类
项，最后代入求值即可，熟练利用平方差公式是解题的关键．
解： ，
，
，
当 时，原式 ．
4．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查二次根式化简求值，根据二次根式的混合运算法则求得 ， 和 的值，
（1）利用完全平方公式把原式变形后求解即可；
（2）根据分式的混合运算先通分在利用平方差公式计算即可；
熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）解： ，
，， ，
，
，
（2） ，
5．（1）12；（2）-1.
【分析】（1）首先根据完全平方公式，可将原式转化，然后直接代入，即可得解；
（2）首先判断使二次根式有意义的条件，即可得出x=2，进而得出y=-3，代入即可得解．
解：（1）原式= = =12
（2）∵ 有意义，
∴x=2，y=-3，
∴原式=（2-3）2019=-1．
【点拨】此题主要考查完全平方公式和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
6．
【分析】本题考查了二次根式的乘法和完全平方公式，原式可变形为 ，
再利用 ， ，求代数式的值．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴原式 ．
7．（1） ；（2）（x﹣2）2，2．
【分析】（1）利用完全平方公式 推出 ，然后整体代入即可；
（2）先对原代数式利用完全平方公式 进行化简，然后整体代入求值即可．
解：（1）∵ ，∴
∵x 1 ，
∴原式=
（2）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣2）2，
把x﹣2 ，代入上式可得：原式=（ ）2=2．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
8．
【分析】利用平方差公式化简，然后去括号合并后约分即可；
解：原式=
=
=
= ；
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键.
9．32
【分析】根据x和y的形式，可得xy的值，化简x和y，再将x2+y2变形为（x+y）2-2xy代入即可.
解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴
==
=
=32.
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据x和y值得出x+y和xy的值，再把要求
的分式转化成只含有x+y和xy的形式.
10．5+6
【分析】首先把代数式化为 ，再代入数进行计算即可．
解：∵
∴
=
=
=
=5+4 +4+2 -4
=5+6 ．
【点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是注意观察，找出解决问题的简便方法．
11．
【分析】由已知条件先求解 ，再把代数式变形，整体代入求值即可．
解： ，【点拨】本题考查的是利用完全平方公式变形的代数式的求值，掌握公式的特点是解题的关键．
12．12
【分析】先对x，y进行分母有理化，然后代入求值即可．
解：∵x＝ ，y＝ ，
∴x＝2+ ，y＝2- ，
∴原式＝ ＝ ＝ ＝12．
【点拨】本题主要考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
13．
【分析】由 可得m＜0，n＜0，则原式小于0，可将 平方，再利用完全
平方公式进行变形求解．
解：∵ ∴m＜0，n＜0，
∵
∴ =28， =752
∴ = = =196
∴ =- =-14．
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是把原式平方，再根据完全平分公式进行求解．
14．（1）19；（2） ．
【分析】（1）先把x、y分母有理化，求出x+y与xy，再将原式配方后，整体代入计算即可，（2）利用二次根式被开方数有意义，求出x，y的值，代入求出 值，再求平方根即可．
解：（1） ，
．
，
，
．
（2） ，
， ， ，
，
6的平方根为 ．
【点拨】本题考查二次根式的条件求值问题，掌握二次根式的条件求值方法，会分母有理化，会利用
被开方数有意义求字母的值是解题关键．
15．（1）15；（2）±4
【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案．
（2）根据已知等式可得 ，再利用完全平方公式变形可得结果．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴原式=2（x+y）2-xy=15．
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ =±4．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，一元二次方程的解，掌握二次根式的混合运算法则、完
全平方公式是解题的关键．
16．2020
【分析】根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可．
解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0，
∴b=2020，
∴ ，
∴ = = =2020．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到
a，b的值．
17．（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，先根据分母有理化求出 ，
，即可求出 ， ，即可得出答案，解题的关键是掌握分母有理化．
解：（1） ，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴，
，
，
．
18．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的乘法与加减计算 ，再代入求值；
（2）先化简分式，再将 的值代入求解，注意分母有理化
解：（1）∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴ab＝（3+2 ）（3﹣2 ）＝1，
a﹣b＝（3+2 ）﹣（3﹣2 ）＝4 ，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）=1×4 ＝4 ；
（2）原式＝（ ）×
＝ ×
＝ ，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ＝ ．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法与加减法运算，分式的化简求值，分母有理化，熟悉以上计算是
解题的关键．
19．- ，-
【分析】根据二次根式性质 得到x= ，y= ，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可．
解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0，
∴x= ，y= ，
∵
=2x- +y-（2x+y）
=2x- +y-2x-y
= -
∴当x= ，y= ，原式= - =-2 ．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质： 是解题的关键．
20．（1）24；（2） ．
【分析】（1）先求得x+y=2 ，xy=2，再利用完全平方公式变形 ，将x+y与xy
的值代入计算即可求出值；
（2）直接将x= ，y= 代入计算即可．
解：（1）∵x+y=2 ，xy=2，
∴ ，
（2）∵x= ，y= ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键．21．12
【分析】先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；
解：
当 ， ，
故答案为：12
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
22．
【分析】根据分式的性质将原式化简，然后代入求值即可．
解：原式=
=
∵ ，
∴原式＝ = = ．
【点拨】本题考查了分式加法，二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运用整
体的思想解题是关键．
23．（1） ；（2）10
【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可；
（2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可.
（1）解： ， ，（2） ， ，
【点拨】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与
完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键.
24．（1）8；（2）8
【分析】（1）先计算 与 的值，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）先计算 与 的值，然后根据分式的加法运算化简，再根据完全平方公式变形求值即可求解；
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ＝
；
（2）解：∵ ， ，
∴∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，分式的化简求值，正确的计算是
解题的关键．
25．3
【分析】根据题意，先求得 的值，然后根据分式的加法以及完全平方公式变形为含有
的式子，代入求值即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ， ．
∴
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分式的加法运算，完全平方公式变形，正确的计算是解题
的关键．
26．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
解：依题意得： 且 ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中
的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
27．（1） ；（2）
【分析】（1）根据已知条件式得出 ，然后根据完全平方公式变形求值即可求解；
（2）将 ，代入进行计算即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式与二次根式的运算法则是解题的关
键．
28．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关
键．先求出 ， 的值，然后把 变形后整体代入求解即可．解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
．
29．当 时，原式 ；当 时，原式 ．
【分析】讨论：当 ， ，利用因式分解的方法得到 ，解得 ，
当 ， ，则 ，解得 ，然后把 ， 代入
中进行分式的化简求解．
解： 要有意义，即 ，
且 或 且 ，
当 且 时，
，
或 （舍去），
解得： ，
把 代入 得： ；
当 且 时，，
（舍去）或 ，
解得： ，
把 代入 得： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整式因式分解与二次根式有意义的条件是解题的
关键．
30．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
把 代入，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．
解：∵ ，
∴
．
31．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，
求出 的值，进而得出 的值，再根据二次根式的性质计算即可．掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
解： ，
， ，
解得： 且 ，
，
，32．（1） ；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式去根号，再代入 的值求解即可；
（2）利用完全平方公式变形求值即可．
解：（1） ，
，
故代数式 的值是 ．
（2） ， ，
， ，
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式的运用，灵活运用完全平方公式计算是解题
关键．
33．（1） ；（2）
【分析】（1）根据 ， 的值求出 ， 的值，再代入计算即可；
（2）根据（1）得出的 ， 的值，再根据分式的加减化简，代入计算即可．
解：（1）∵ ， ，
∴ ， ，
∴
（2）由（1）得 ， ，∴
【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是二次根式的性质、分式的加减运算，完全
平方公式，关键是对要求的式子进行化简．
34．17
【分析】根据题意，利用完全平方式将原式进行化简，从而整体代入求解即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
．
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方式的应用是解决本题的关键，同时需要
注意实数的运算法则的熟练运用．
35．（1） ；（2）24
【分析】（1）根据平方差公式即可解答；
（2）根据完全平方公式可得 ，代入x，y即可解答．
（1）解：原式
；
（2）解：原式．
【点拨】此题考查了求代数式的值、利用平方差公式和完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算
等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
36． ，
【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可化简原式，继而将a的值
代入计算即可．
解：
，
当 时，原式 ．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
37．（1）18；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出 ，根据二次根式的乘法法则求出 ，根据提公因式、
完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可．
解：（1） ， ，
， ，
则
；
（2） ，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键．
38． ，
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把 的值代入
计算即可．
解：原式
，
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的
关键．
39．（1）4；（2）
解：（1）
.
（2）∵
，
∴原式 .
40．（1） ；（2）
【分析】（1）由平方差公式因式分解，变形后代入运算化简；（2）由完全平方公式因式分解，变形后代入运算化简．
（1）解： ．
（2）解： ．
【点拨】本题考查公式法因式分解，二次根式的运算，掌握相关公式是解题的关键．
41．（1） ， ；（2）
【分析】（1）利用二次根式的运算以及平方差公式求解即可；
（2）利用完全平方公式的变形进行求解即可．
（1）解： ，
则 ， ；
（2）
【点拨】此题考查了二次根式的运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相
关运算法则．
42．（1）3；（2）
【分析】（1）直接代入计算即可求解；
（2）通分后，代入计算即可求解．
（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
43． ；【分析】根据整式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可．
解：
，
把 代入得：
原式 ．
【点拨】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
44． ，
【分析】直接利用乘法公式化简合并同类项得出即可．
解：原式
，
将 代入得：
原式 ．
【点拨】本题考查了平方差公式、单项式乘以多项式、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题
关键．
45．
【分析】先根据完全平方公式因式分解，然后将 代入，即可求解．
解：∵ ，
∴
．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
46． ，1
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算即可．
解：
；
当 时，
原式 ．
【点拨】本题考查了分式的混合运算和二次根式的运算，熟练掌握分式混合运算的法则、正确计算是
关键．
47．
【分析】先分母有理化，计算求得 的值，进而将代数式根据完全平方公式变形求值，即可求
解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
48．（1）4，1；（2）
【分析】（1）直接代入，利用二次根式的加法和乘法法则计算；
（2）求出 ，将所求式子通分变形，代入计算即可．
（1）解：∵ ， ，
∴ ；
；
故答案为：4，1；
（2） ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则．
49．（1） ；（2）
【分析】（1）把原式分解因式，再代入利用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）把原式分解因式，再代入利用二次根式的混合运算法则计算即可．
解：（1）
；
（2）．
【点拨】本题考查的是平方差公式的应用，二次根式的乘法运算，加减运算，熟记基本的运算法则是
解本题的关键．
50．（1） ；（2）49
【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则．
