文档文本内容
第16 章 二次根式（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．与 最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若 有意义，则字母x的取值范围是（ )
A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2
3．化简 的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
4．化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
5．化简 的结果为（ ）
A． B．30 C． D．30
6．若 ， ，则a与b的大小关系是
（ ）
A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定
7．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 有正数解，则符合条
件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
8．已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．9．如果关于x的不等式组 的解集为 ，且式子 的值是整数，
则符合条件的所有整数m的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．设a为 的小数部分，b为 的小数部分，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．设 ，则 ．
12．a，b为有理数，且 ，则 ．
13．若 的积是有理数，则无理数m的值为 ．
14．在实数范围内分解因式： .
15．已知 ，则 的值为 ．
16．已知y＝ ＋ ＋18，求代数式 ﹣ 的值为 ．
17．可以用配方法化简二重根式，
例如： ，
请化简式子： ．
18．观察下列等式：
第1个等式： ，
第 个等式： ，第 个等式： ，
第 个等式： ，
…
按上述规律，计算 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1) ； (2)
20．（8分）计算
(1) ；（2) （
）．
21．（10分）（1）已知其中 ，化简求值 ；
（2）已知 ，探究m与n的关系．22．（10分）如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形．
（1）求留下的部分（阴影部分）的面积；
（2）如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，
然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长
方形，高为a，求盒子的底面积；
（3）用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四
周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而
且长与宽的比是 ，求这个盒子的容积．
23．（10分）先观察等式，再解答问题：
① ；② ；
③ ．
（1）请你根据以上三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
（2）请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整
数）．
（3）应用上述结论，请计算 的值．24．（12分）如图1，在 中， ，D，E两点分别在
上，且 ，将 绕点A顺时针旋转，记旋转角为 ．
（1）问题发现 当 时，线段 的数量关系是 ；
（2）拓展探究 当 时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出
证明；
（3）问题解决 设 ， 旋转至A，B，E三点共线时，
直接写出线段 的长．参考答案：
1．B
【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ．
【详解】解：原式= ，
∵49<54<64，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 最接近7，
∴ 最接近7-3即4，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键．
2．D
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．
【详解】 有意义，则x+1≥0且x-2≠0，
解得：x≥-1且x≠2．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
3．D
【分析】先将根号内整理为 和 ，再化简，并计算即可．
【详解】原式 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，理解 是解题的关键．
4．B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】
故选B
【点拨】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范
围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
5．C
【详解】先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得 = = ，
故选C．
点拨：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母有理化即可求解，
比较简单，但是易出错，是常考题.
6．B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
，
∴ ，
故选：B．【点拨】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是
解题的关键．
7．D
【分析】根据二次根式 有意义，可得 ，解出关于 的分式方程 的解为 ，
解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的
整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得， ，
解得， ，
∵关于x的分式方程 有正数解，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是增根，当 时，
，即 ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴ ，
因此 且 ，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点拨】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理
解正数解，整数m的意义．
8．C
【分析】根据已知，得到 ，整体思想带入
求值即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
故选C．
【点拨】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题
的关键．
9．C
【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为 可得出m≤2，再由式子 的值是整
数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m≤2，得m=-3，-2或2．
【详解】解：解不等式 得x＞m，
解不等式 得x＞2，
∵不等式组解集为x＞2，
∴m≤2，
∵式子 的值是整数，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m的个数是3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题
的关键．
10．B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即
可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为 ，
∴b的小数部分为 ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、
判断、解答．
11．【分析】利用 和 ，推得 ，借助该式将多项式进行降幂化简，即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
整理得 ，
，
将 代入原式可得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，解题的关键是通过完全平方公式得到
，借助该式将原多项式进行降幂化简．
12．2
【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即 ，且a，b为有理数，求出
，进而得到 ．【详解】解：
a，b为有理数
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形．
13． （答案不唯一）
【分析】对 进行化简，由题意令 ，（ 是有理数）即可求解．
【详解】解：
的积是有理数，m是无理数，
是有理数，
令 ，（ 是有理数）
解得： ，
当 即 ，
时 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则
即有理数的性质．
14．
【分析】先提取 ，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：
．
故答案为：
【点拨】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记
完全平方公式以及平方差公式是解题关键．
15． /
【分析】先利用二次根式有意义求得 与 的值，然后把 与 的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
16．-
【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x＝8，则y＝18，然后代入化简后的代数式求值．
【详解】解：由题意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，
解得，x＝8，则y＝18，
∵x＞0，y＞0，
∴原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝ ﹣
把x＝8， y＝18代入
原式＝ ﹣
＝2 ﹣3
＝- ，
故答案为：- ．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条
件确定x、y的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．17．2
【分析】先把 ， 分别化为 与 ，再化简，结合分母有理化，最后计算加
减运算即可．
【详解】解：
；
故答案为：2
【点拨】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法
与技巧是解本题的关键．
18． /
【分析】首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少
即可．
【详解】解：第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
…第 个等式： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是
乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
19．(1)
(2)16
【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得解；
（2）先计算平方差公式和二次根式的乘法，再计算加减法，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，二次根式的化简，是解决
问题的关键．
20．(1)(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算
法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即
可．
【详解】（1）解：
＝
＝ － ＋
．
（2）解：
＝ ·
．
【点拨】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案；
（2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案．
【详解】解：（1）
，
，
原式 ；
（2）
，
，即 ，
，
，即 ，
．
【点拨】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关
键．
22．(1)32(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式是解答关
键．
（1）先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可；
（2）利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积；
（3）设底面长方形的宽为x，长为3x，利用长方体的容积等于长×宽×高求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴留下的部分的面积为 ；
（2）解：由题意，
盒子的底面积为 ；
（3）解：设底面长方形的宽为x，长为3x，
由题意，得 ，∴ ，
∴无盖的长方体盒子的高为 ，
∴无盖的长方体盒子的容积为 ．
23．(1) ，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．（2）找出第n个等式的左边为 ，右边为1与 的和，列出等式即可．
（3）按照（2）得出的等式关系，代入 即可求得结果．
【详解】（1）解： 的结果为 ；
验证：
（2）第n个等式的左边为 ，等式右边为1与 的和，
故等式如下：
（3）
24．(1)
(2)不变，见解析
(3)4 或2
【分析】（1）利用平行线的性质，根据等角对等边证明AD＝AE即可解决问题；
（2）结论不变，只要证明 即可；
（3）分两种情形画出图形求解即可；
【详解】（1）解：如图1中，∵
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为 ．
（2）解：如图2中，结论不变．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：如图3中，∵ 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
当点E在BA的延长线上时， 4 ．
如图4中，当点E在线段AB上时， 2 ．综上所述，BE的长为4 或2 ．
【点拨】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
