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第20 章 数据的分析（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）
A． B． C． D．
2．某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按40%、面试按60%计算加权平均数作为总分成绩，小华笔
试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小华的总成绩是（）
A．87分 B．87.5分 C．88分 D．89分
3．现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数x后，这列数的中位数仍不变，则x的值不可能为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：
型号（厘米） 38 39 40 41 42 43
数量（件） 25 30 36 50 28 8
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．若一组数据 的极差为 ，则 的值是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
6．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式 ，
由公式提供的信息，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是4B．样本的中位数是3 C．样本的众数是3 D．样本的平均数是3.5
7．若某同学在一次综合性测试中，语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都不
超过3（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，以此类推且没有并列名次情况），则称该同学为超级学
霸．现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述，一定可以推断是超
级学霸的是（ ）
A．甲同学：平均数为2，中位数为2 B．乙同学：中位数是2，唯一的众数为2
C．丙同学：平均数是2，标准差为2 D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为28．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛
学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数
141 144 145 146
（个）
学生人数（名） 5 2 1 2
则关于这组数据的结论正确的是（ ）
A．平均数是144 B．众数是141 C．中位数是144.5 D．方差是5.4
9．小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间
分别是 小时、 小时、 小时、 小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读
时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 或 小时 D． 或 或 小时
10．若某一样本的方差为 ，样本容量为5．则下列说
法：①当 时， ；②该样本的平均数为7；③ ， 的平均数是7；④该样本的方差与 ， 的值
无关．其中不正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高为163cm，则30名男生的平均身
高为 cm．
12．已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是 ．
13．已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是
．
14．已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是 ．
15．小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9
分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
16．种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分黄瓜株
上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数是 ，众
数是 ．17．一组数据 的唯一众数为3，平均数为2，则这组数据的方差为 ．
18．某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图．甲、乙两名选手成绩的方
差分别记为 和 ，则 与 的大小关系是 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）两个数m，n，若满足 ，则称m和n互为美好数．例如：0和1互为美好数．请你回
答：
（1）4的美好数是多少？
（2）若 的美好数是 ，求x与 的平均数．
20．（8分）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各
项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成
绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
21．（10分）某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈
现，调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中
位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图
是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图．
（1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改；
（2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评
分数的平均数大于 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？
22．（10分）九龙坡区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区(简称“双创”)为
抓手，坚持立德树人，以文化人，协同育人，形成青少年健康成长的良好环境，学校德育处为了解学生
对 双创 的了解情况，从七、八年级各选取了 名同学，开展了 双创 知识竞赛，并对竞赛成绩进行
了整理、描述和分析(成绩得分用 表示，其中 ： ， ： ， ： ， ：
，得分在 分及以上为优秀)，下面给出了部分信息：
七年级 名同学在 组的分数为： ， ， ， ；
八年级 名同学在 组的分数为： ， ， ， ， ， ， ， ， ．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
中位
年级 平均数 众数 优秀率
数
七年
级
八年
级
（1）填空： ______， ______， ______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了
解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有 名学生，八年级有 名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
23．（10分）快递使我们的生活更加便捷，可以说，快递改变了我们的生活．为了解我国的快递业务情
况，我们收集了2022年11月全国31个省的快递业务数量（单位：亿件）的数据，并对数据进行了整理、
描述和分析，给出如下信息．
a．2022年11月快递业务量排在前3位的省的数据分别为：
275.2，225，74.8
b．其余28个省份2022年11月的快递业务数量的数据的频数分布图如下：c．2022年11月的快递业务数量的数据在 这一组的是：
10.3，11，15.5，16.3，17.8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）2022年11月的31个省的快递业务数量的中位数为______；
（3）若设图中28个省份平均数为 ，方差为 ；设31个省份的平均数为 ，方差为 ，则 ______ ，
______ ．（填“ ”“ ”或“ ”）．
24．（12分）为了解北京市的水资源情况，收集了1978－2020年北京的年降水量（单位：毫米）共43
个数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
注：降水量是指一定时段内降落在某一点或某一区域上的水层深度，通常以毫米表示．
a．43个数据的频数分布直方图如下（数据分成7组： ， ， ，
， ， ， ）；
b．43个数据中，在 这一组的是：
507 523 527 542 544 547 573 576 579c．43个数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
547
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中 的值为______；
（2）1978－2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共______个；
（3）若2021年，2022年北京的年降水量分别是698毫米，493毫米，则下列推断合理的是______（填写
序号）．
①因为698大于n，所以北京2021年降水量比1978－2020年中一半以上年份的年降水量高；
②已知1978－2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，
由此推断2001－2022年北京的年降水量的波动较大；
③1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升．注：1升 立方分米参考答案：
1．B
【分析】先求出15人的总成绩，再用15个人的总成绩除以15即可得整个组的平均成绩.
【详解】15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，
所以整个组的平均成绩为：
再除以15可求得平均值为 ，
故选B．
【点拨】本题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．
2．A
【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．
【详解】∵笔试按40%、面试按60%，
∴总成绩是 (分)，
故选A．
【点拨】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均
数．
3．A
【分析】把这列数按从小到大排列，第四个、第五个数均为4，要使中位数不变，增加一个数后，数据由7
个变为8个，则增加的数可以是4或大于4的数，从而可确定答案．
【详解】按从小到大排列如下：3，3，3，4，4，5，6，第四个、第五个数均为4，增加一个数x后，这列
数的中位数仍不变，则增加的数可以是4或大于4的数，故不可能的数是3；
故选：A．
【点拨】本题考查了中位数，熟悉中位数的意义是关键．
4．C
【详解】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．
故选C．
点拨：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度
的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
5．D
【分析】当 为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．
【详解】解：当 为最大值时，，
解得 ；
当 为最小值时，
，
解得 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的
最大值减去最小值．
6．D
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，从而可得样本的容量，再根据中位数与众数的定义、平均
数的计算公式逐项判断即可得．
【详解】由方差的计算公式得：这组样本数据为
则样本的容量是4，选项A正确
样本的中位数是 ，选项B正确
样本的众数是3，选项C正确
样本的平均数是 ，选项D错误
故选：D．
【点拨】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确
得出样本数据是解题关键．
7．D
【分析】根据平均数、中位数、众数、标准差的意义，分别分析各选项，举出反例利用排除法即可求解．
【详解】A.由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y或者1，2，2，x，y（2≤x≤y），由平均
数为2得出x+y=6或5，当x=2时，y=4（不合题意）或3，故本选项错误；
B.由于中位数为2，那么5门学科的名次为1，1，2，x，y，或者1，2，2，x，y，（2≤x≤y），由唯一的众
数为2，那么第二种情况1，2，2，x，y，当x=4，y=5时不合题意，故本选项错误；
C、由标准差为2，得出方差为4，设5门学科的名次为x，x，x，x，x，那么 [（x-2）2+（x-2）2+…+
1 2 3 4 5 1 2
（x-2）2]=4，整理得x2+x2+…+x2=40，那么这五个数可以是1，1，2，3，5，不合题意，故本选项错误；
5 1 2 5
D、由唯一的众数为2，那么5门学科的名次为2，2，x，y，z，由平均数为2，得出x+y+z=6，x，y，z可以是1，1，4或1，2，3，而1，1，4与唯一的众数为2不符，所以x，y，z是1，2，3，符合题意，故本选
项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了平均数、中位数、众数、标准差的意义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除
以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中
间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．样本方差的算术
平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．本题有一定难度，透彻理解定义是解题
的关键．
8．B
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【详解】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为： ，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是： ，故C选项错误；
方差是： ，故D选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键．
9．C
【分析】利用众数及中位数的定义解答即可．
【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为
5，不合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题
意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C．
【点拨】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答．
10．D
【分析】先根据方差的定义及其计算公式得出：这组数据为5、7、8、x、y且这组数据的平均数为7，继而知x+y=15，再逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴这组数据为5、7、8、x、y，且这组数据的平均数为7，
∴5+7+8+x+y=35，
∴x+y=15，
①当x=9时，y=6，此说法正确；
②这组数据的平均数为7，故此说法正确；
③x、y的平均数为 =7.5，故此说法错误；
④该样本的方差与x，y的值有关，故此说法错误；
故选：D．
【点拨】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
11．168
【分析】设男生的平均身高为x，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案．
【详解】设男生的平均身高为x，根据题意有：
（20×163+30x）÷50 =166，
解得x=168（cm）．
故答案为168．
【点拨】本题考查了加权平均数，一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
12．5.5
【详解】【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
【详解】∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴ （4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是 ×（5+6）=5.5，故答案为5.5．
【点拨】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x，y
中至少有一个是5是解本题的关键.
13．5
【详解】【分析】抓住平均数和中位数都是7，可以列出 （2+5+x+y+2x+11）= （x+y）=7，解方程得.
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴ （2+5+x+y+2x+11）= （x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故正确答案为：5.
【点拨】本题考核知识点：平均数、中位数. 解题关键：抓住题中涉及的数量关系，列出相关式子.
14．2
【分析】本题考查方差的定义：一般地设 个数据， ， ， 的平均数为 ，则方差
，根据平均数确定出 后，再根据方差的公式进行计算即可．
【详解】解：由平均数的公式得： ，
解得 ；
则方差 ．
故答案为：2．
15．8.3
【分析】按三项得分的比例列代数式 再计算即可．
【详解】解：由题意得：
故答案为：
【点拨】本题考查的是加权平均数的含义，掌握“求解加权平均数的方法”是解本题的关键．
16．
【分析】本题考查了条形统计图，中位数、众数，根据中位数和众数的定义解答即可求解，由条形统计图
获得跟问题有关的信息是解题的关键．
【详解】解：由条形图可得，李大叔共抽查了 株黄瓜，∴中位数为第 株和第 株黄瓜结所黄瓜根数的平均数，
∴中位数是 ，
在 株黄瓜中，结 根黄瓜的有 株，为最多，
∴众数是 ，
故答案为： ， ．
17．
【分析】本题考查平均数、众数与方差．掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．
因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中
有两个数值为3．另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差即可．
【详解】解：因为唯一众数为3，可设 ， ，c未知，
平均数 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查了平均数和方差的计算，先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式计算出它们的方差即
可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的平均数为 ，
乙的平均数为 ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．19．(1)4的美好数是
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义列式计算即可；
（2）根据新定义的含义建立方程 ，再解方程，再根据平均数的含义求解平均数即可．
【详解】（1）解：由题可知， ，
故4的美好数是 ．
（2）∵ ，
解得 ，
．
【点拨】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的加减运算，混合运算，平均数的含义，一元一次方程
的应用，连接新定义的含义是解本题的关键．
20．(1)甲
(2)乙
【分析】（1）根据条形统计图数据求解即可；
（2）根据“能力”、“学历”、“经验”所占比进行加权再求总分即可．
【详解】（1）解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
∴23>22
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
（2）“能力”所占比例为： ；
“学历”所占比例为： ；
“经验”所占比例为： ；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为： ；乙三项成绩加权平均为： ；
∴8>7
所以会录用乙．
∴会改变录用结果
【点拨】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，根据图表信息进行求解是解题的关键．
21．(1)中位数为 分，平均数为 分，不需要整改
(2)监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由 分变成4分
【分析】
（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可；
（2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于 3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取
的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数
据是4分；
∴客户所评分数的中位数为： (分)
由统计图可知，客户所评分数的平均数为： (分)
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分，
∴该部门不需要整改．
（2）设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有：
解得：
∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档，
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分，
∵ ，
∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分，
即加入这个数据之后，中位数是4分．
∴与（1）相比，中位数发生了变化，由 分变成4分．
【点拨】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键．
22．(1) ， ，
(2)八年级学生对“双创”的了解情况更好，理由见解析；
(3)估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为 人
【分析】（1）根据中位数的定义，求得第10和第11个数字的中位数求得 的值，根据分数在 分以上的
人数除以总人数求得 ，根据众数的定义求 的值；
（2）根据众数以及优秀率进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用850和900分别乘以七、八年级的优秀率即可求解．
【详解】（1）解：∵共有20个数据，
∴中位数是第10个数据和第11个数据的平均数，
∴中位数是 ，
八年级 名同学在 组的分数中， 出现了 次，出现次数最多，
∴ ，
七年级的优秀率为 ，
故答案为： ， ， ．
（2）八年级学生对“双创”的了解情况更好．
理由：①八年级学生成绩的中位数 大于七年级学生成绩的中位数 ；
②八年级学生成绩的优秀率 大于七年级学生成绩的优秀率 ；
（3） （人），
答：估计两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为 人．
【点拨】本题考查了利用统计图获取信息的能力，求中位数，众数，样本估计总体；利用统计图获取信息
时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
23．(1)见解析
(2)11
(3)<，<
【分析】
（1）先求出数据在 这一组的频数，再据此补全频数分布图即可；
（2）根据中位数计算公式求解即可；（3）根据平均数与方差计算公式求出 ， ， ， ，再比较即可．
【详解】（1）解：数据在 这一组的频数为： ，
补全频数分布图如下：
（2）解：把31个省的快递业务数量按从小到大排列，第16位数据在在 这一组的第2个数据，
所以31个省的快递业务数量的中位数为11．
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，方差，熟练掌握中位数，平均数，方差的计算公式
是解题的关键．
24．(1)
(2)18
(3)①③
【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据统计图中的数据进行求解即可；（3）根据中位数的定义即可判断①；根据方差越小，波动越小即可判断②；计算出收集的雨水体积即可
判断③．
【详解】（1）解：∵一共有43个数据，
∴中位数是第22个数据（从低到高排列），即中位数为527，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由统计图的数据可知，1978－2020年北京的年降水量高于547毫米的年份共 个，
故答案为：18
（3）解：∵ ，
∴北京2021年降水量比1978－2020年中一半以上年份的年降水量高，故①正确；
∵已知1978－2000年北京的年降水量的方差为21249，2001—2022年北京的年降水量的方差为13486，且
∴推断2001－2022年北京的年降水量的波动较小，故②错误；
，
∴1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升，故③正确；
故答案为：①③．
【点拨】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关
键．
