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6.1 等差数列（精练）
1．（2023·广西）已知数列 是等差数列， ， 是方程 的两根，则数列 的前20项
和为（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【解析】 ， 是方程 的两根，所以 ，
又 是等差数列，所以其前20项和为 ．故选：D
2（2023·青海玉树·统考模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】根据数列 为等差数列，则 ，所以 ，所以
，
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 且 ．则
使 成立的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，又 ，
由 ，可得 ，即 ，所以使 成立的最小正整数n的值为9.故选：D.
4．（2023·甘肃）设等差数列 的公差为d，其前n项和为 ，且 ， ，则使得 的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
因为 是等差数列，所以 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
使得 的正整数n的最小值为 .故选: D.
5．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
则 取最大值时 的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】 等差数列 ， ， ， ， ，则 取最大值时，
.
故选：A.
6．（2023·天津）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、
戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪
年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由
“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸
酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，
…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于 ，余数为0，故100年后天干为癸，由于 ，余数为4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A .
7．（2023·安徽马鞍山·统考二模）由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为
中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一
长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子
制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按
图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（
）
A．161 B．162 C．163 D．164
【答案】B
【解析】设有 个碳质骨架， ，由已知可得 ，
如果只有 个碳质骨架，则骨架总数少于 ，所以 ，
所以 ，且 ，又 解得 ，
所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选：B.
8．（2023·上海）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、
现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量
相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，夏至日晷长为1.5尺，
则一年中夏至到秋分的日晷长的和为（ ）尺．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．24 B．60 C．40 D．31.5
【答案】D
【解析】依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为 ，夏至日晷长为1.5尺，记为 ，
因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到夏至日晷长的各数据依次排成一列得等差数列
，数列 的公差 ，
因夏至日晷长最短，冬至日晷长最长，
所以夏至到冬至的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为13.5尺，公差为1，共13
项，秋分为第7项，故 ，所以一年中夏至到秋分的日晷长的和为 (尺).
故选：D.
9．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列 各项为正数， 满足 ，
，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． 是等差数列 D． 是等比数列
【答案】C
【解析】因为数列 各项为正数， 满足 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故对任意的 ， ，则 ，所以，数列 的每一项都是正数，
所以， ，可得 ，由等差中项法可知，数列 是等差数列，
故选：C.
10．（2023·江西）若不全相等的非零实数 成等差数列且公差为 ，那么 （ ）
A．可能是等差数列 B．一定不是等差数列
C．一定是等差数列，且公差为 D．一定是等差数列，且公差为
【答案】B
【解析】若 是等差数列，则 ，
因为 成等差数列，则 ，则 ，整理得 ，与非零实数 不全相等矛盾，
所以 一定不是等差数列.故选：B.
11．（2023·浙江）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨
论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者
高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为
（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【答案】C
【解析】高阶等差数列 ： 1，2，4，7，11，16，22， ，
令 ，则数列 ：1，2，3，4，5，6， ，
则数列 为等差数列，首项 ，公差 ， ，则
则
故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023·湖南）已知数列 满足： ， ， .若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．2022
【答案】A
【解析】令 ，则 故 ， 为常数，故数列 是等差数列
故选：A.
13．（2023春·安徽亳州）在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，可得： ，
所以 .故选：A.
13．（2023·海南）等差数列 中，若 ，则n的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】由等差数列下标和性质知： ， ，
因为 ，故 ，
又 ，故 ，所以 .故选：B.
14．（2023·湖北）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 数列 为等差数列， 数列 为等差数列，设其公差为 ，
又 ，解得： ，又 ， ， .
故选：B.
15．（2023·福建厦门）设公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】C
【解析】在等差数列 中， ， ，故 ，
又 ，故 ，则 ，故 .故选：C.
16．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 成等差数
列，且 的面积为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】若 成等差数列，则 ，
由余弦定理得， ，则 ，①
由 的面积为 ，得 ，则 ，②由②÷①得 .故选：C.
17．（2023·北京）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，
，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由 ，得 ，由 成等差数列，得 ，
由余弦定理，得 ，即 ，整理，得 ，由 得
，
由 得 .则 ， ，所以 ，故选：B.
18．（2023·湖北·统考二模）已知等差数列 的前 项和为 ，命题 “ ”，命题 “
”，则命题 是命题 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 ，不能推出 ，例如 ，则 ，所以
，
故命题 是命题 的不充分条件；由 ，不能推出 ，
例如 ，则 ，所以 ，
故命题 是命题 的不必要条件；综上所述：命题 是命题 的既不充分也不必要条件.故选：D.
19．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若 ， ，则下列四
个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③ ， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】等差数列 中， ，则 ，故②正确；
又 ，所以 ，故 ，则 ，故③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是可得等差数列 满足 ，其为递增数列，则 ，又 ，所以
为 的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为 .故选：C.
20．（2023·山西阳泉·统考三模）（多选）设无穷数列 为正项等差数列且其前n项和为 ，若
，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为数列 为正项等差数列，所以 ，所以 ，
因为数列 为正项等差数列，所以 ，所以 ，
，
，故选：ABD
21．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列 是递减数列， 为其前 项和，且 ，
则（ ）
A． B．
C． D． 、 均为 的最大值
【答案】BD
【解析】因为等差数列 是递减数列，所以， ，所以， ，故A错误；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为由题意得， ，所以， ，故D正确；
故选：BD
22．（2023·哈尔滨）（多选）在数列 中，若 ， ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等差数列 B． 的前n项和
C． 的通项公式为 D． 的最小值为
【答案】ABC
【解析】由 可得 ，
所以 是首项为 ，公差为3的等差数列，故A正确；
， 的前n项和 ，故B正确；
由 可得 ，故C正确；
因为 ，故 的最小值不为 ，故D错误；故选：ABC
23．（2023春·安徽阜阳）（多选）设等差数列 的前 项和为 ， ，公差为 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当 时， 取得最大值
C．
D．使得 成立的最大自然数 是15
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABC
【解析】因为等差数列 中，
， ，
所以 ， ， ，A正确；
当 时， 取得最大值，B正确；
，C正确；
， ，
故 成立的最大自然数 ，D错误．
故选：ABC
24．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列 前 项和为 ，且 ， ，
数列 的前10项的和为______.
【答案】
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，
故 ，所以 ，
所以数列 的前10项的和为 .故答案为： .
25．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，a，
b，c成等差数列，则 ____
【答案】
【解析】由 ， 可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，由正弦定理可得
，
即 ，
所以 ，
因为 , ，
所以 ，所以 ．
故答案为：
26．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ，若
， ，则 ___________
【答案】
【解析】由题设 成等差数列，所以 ，则 ，
所以 .故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则
______.
【答案】
【解析】设 的公差为 ，由等差数列的性质可知，因为 ，故 ，故
为常数，所以 为等差数列，设 公差为
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
，则
故答案为：
28．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
______．
【答案】
【解析】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
故答案为：
29．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有
物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共
200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则该数列最大项和最小项之和为___________．
【答案】196
【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，
则 ，
令 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则数列 的最大项为 ，
所以该数列最大项和最小项之和为 ．
故答案为：196.
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ， ，
.
(1)证明： 是等差数列：
(2)记 的前n项和为 ， ，求n的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)最小值为10.
【解析】（1）解法一：
由 ，得 ，则 ，
从而 .
又 ，
所以 ，
即 ，所以 是等差数列.
解法二：
由 ，且 ，
则 ，
得 ，
因为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即 ，所以 是等差数列.
（2）解法一：
设等差数列 的公差为d.
当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
又 .
所以，
，
又 ；
又 ，则 ，且 ，
所以n的最小值为10.
解法二：
设等差数列 的公差为d.
当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
又 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，
，
，
所以 ，
，
又 ，则 ，且 ，
所以n的最小值为10.
解法三：
设等差数列 的公差为d.
当 时， ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 .
又 .
当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ， .
又 ，则 ，且 ，
所以n的最小值为10.
1．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，当且仅当
时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·安徽）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，则使得 为
整数的正整数n的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】依题意， ，又 = ，
于是得 ，
因此，要 为整数，当且仅当 是正整数，而 ，则 是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得 为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
3．（2023·上海）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和， ，设点A是直线BC外一
点，点P是直线BC上一点，且 ，则实数λ的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为P，B，C三点共线，所以 +λ=1，所以 +λ=1， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 +λ= +λ=1，λ= ，
故选:B.
4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，都有
，若 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以数列 为递增的等差数列.
因为 ，所以 ，即 ，
则 ， ，所以当 且 时， ；
当 且 时， .因此， 有最小值，且最小值为 .
故选：A.
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，前 项和为 ，且对
任意 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 的公差为 ，由题设条件可知 ，且 则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此 ， ，
而 符号不确定．
故选：C．
6．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{ }的前n项和为 ，满足 ，
且 ，则当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】设等差数列{ }的公差为 ，因为 ，即 ，所以
，
因为 ，解得 ，所以 ，则 ，
这是关于 的二次函数，开口向上，在 处取得最小值，由于 ，最靠近 的正整数为 ，所以
当 时， 取得最小值.
故选：D．
7．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知 是等差数列 的公差， 是 的首项， 是 的前
项和，设甲： 存在最小值，乙： 且 ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，则 ，显然 时，有最小值.
所以， 存在最小值，得不出 且 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若乙成立，即 且 ，则 ，
所以，当 时，有 ，
所以， 为单调递增数列，所以 最小，
所以， 存在最小值，即甲成立.
所以，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 满足 ，则下列命题：① 是递
减数列；②使 成立的 的最大值是9；③当 时， 取得最大值；④ ，其中正确的是
（ ）
A．①② B．①③
C．①④ D．①②③
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，
故 ，解得： ，
由于 ，故 是递减数列，①正确；
，令 ，
解得： ，且 ，
故使 成立的 的最大值是9，②正确；
，
当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故当 时， 取得最大值，③正确；
，④错误.
故选：D
9．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
10．（2023·湖北武汉·统考三模）（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
【答案】BD
【解析】若数列 为等差数列，不妨设其公差为d,则 ,
显然当 才相等，故A错误，
而 ，作差可得
成立，故B正确；
若数列 为等比数列，且 ， ，设其公比为q，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，作商可得 或 所以 或 ，故C错误；
由题意得 各项均不为0，而实数范围内， ，
即 且 ，结合选项B的计算可得
，故D正确.
故选：BD.
11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）（多选）已知等差数列 的前 项和为 ，
若 ， ，则（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
D．设 ，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，
可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，所以 的最小值不为 ，故B错误；
对于选项C：令 ，解得 ，
又因为 ，可得 的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以 取最小值时 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，
可得 ，
两式相减得：
，
所以 ，故D错误；
故选：AC.
12．（2023·安徽）（多选）设数列 的前 项和为 ，则下列能判断数列 是等差数列的是
（ ）
A． B． C． D． ．
【答案】AB
【解析】对于A，当 时， ，而 满足上式，
则 ，数列 是常数数列，是等差数列，A是；
对于B，当 时， ，而 满足上式，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，数列 的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当 时， ，而 不满足上式，
则 ，显然 ，数列 不是等差数列，C不是；
对于D，当 时， ，而 不满足上式，
则 ，显然 ，数列 的不是等差数列，D不是.
故选：AB
13．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）（多选）已知 为等差数列，前n项和为 ， ，公
差 ，则（ ）．
A．
B．
C．当 或6时， 取得最大值为30
D．数列 与数列 共有671项互为相反数
【答案】ABC
【解析】数列 为等差数列，前n项和为 ， ，公差 ，
则有 ，A正确；
因为 ，所以 ，B正确；
因为 ，即数列 为递减等差数列，且当 时， ，
因此数列 的前5项均为正，第6项为0，从第7项起为负，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 或6时， 取得最大值 ，C正确；
令数列 的第n项 与数列 的第m项互为相反数，即 ，
于是 ，而 ，则 为偶数，令 ，有 ，
因此数列 与数列 成互为相反数的项构成等差数列 ，且 ，
显然 ，即 ，又 ，则 ，
所以数列 与数列 共有670项互为相反数，D错误.
故选：ABC
14．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知正项等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，若 也是公
差为 的等差数列，则 __________.
【答案】
【解析】因为 是公差为 的正项等差数列，则 .
因为 是等差数列 的前n项和，所以 .
又因为 也是公差为 的等差数列，则 .
从而有 ，两边平方得 ，即
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由多项式相等，得出 ，解得 .
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的最小值
为__.
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，∵ ， ，
∴ ， ，
联立解得： ，所以 ，
则 ，
令 ， ，
时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
可得 时，函数 取得极小值即最小值，
∴ 时， 取得最小值， .
故答案为： .
16．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知 ， ，将数列 与数列
的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 ______.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
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