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6.1 等差数列（精讲）
一．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
二．等差中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．
①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．
②数列{a
n
}是等差数列⇔2a
n
＝a
n－1
＋a
n＋1
(n≥2)．
③若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a＋a＝a＋a．
n k l m n
三．等差数列的通项公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】首项为a，公差为d的等差数列{a}的通项公式为a＝a＋(n－1)d；a＝a＋(n－m)d(n，m∈N*)
1 n n 1 n m
四．等差数列的前n项和公式
1.设等差数列{a}的首项为a，公差为d，其前n项和S＝或S＝na＋d．
n 1 n n 1
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系S
n
＝n2＋n
⇌
数列{a
n
}是等差数列⇔S
n
＝An2＋Bn(A，B为常数)．
3.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则满足的项数m使得S取得最大值S；
n 1 n m
若a<0，d>0，则满足的项数m使得S取得最小值S．
1 n m
一．等差数列运算问题的通性方法
1.等差数列运算的一般求法是设出首项a和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
1
2.等差数列的通项公式及前n项和公式， 共涉及五个量a，a，d，n，S，知其中三个就能求另外两个。
1 n n
二．等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法：a
n＋1
－a
n
＝d(d是常数，n∈N*)或a
n
－a
n－1
＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{a
n
}为等差数列．
2.等差中项法：2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
(n∈N*)⇔{a
n
}为等差数列．
3.通项公式法：a＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{a}为等差数列．
n n
4.前n项和公式法：S＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{a}为等差数列．
n n
三．在等差数列{a}中前n项和性质
n
1.S ，S －S ，S －S ，…，构成等差数列；
m 2m m 3m 2m
2.S ＝n(a ＋a )＝…＝n(a ＋a )；
2n 1 2n n n＋1
3.S ＝(2n－1)a ．
2n－1 n
5.若项数为偶数2n，则S ＝n(a＋a )＝n(a＋a )；S －S ＝nd；＝．
2n 1 2n n n＋1 偶 奇
若项数为奇数2n－1，则S ＝(2n－1)a；S －S ＝a；＝．
2n－1 n 奇 偶 n
6.
四．求等差数列前n项和S及最值
n
1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S取得最值．
n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.项的符号法(邻项变号法)：
①当a>0，d<0时，满足的项数m使得S取得最大值为S；
1 n m
②当a<0，d>0时，满足的项数m使得S取得最小值为S.
1 n m
五．数列的单调性
当d>0时，{a}是递增数列；
n
当d<0时，{a}是递减数列；
n
当d＝0时，{a}是常数列．
n
考法一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．54 B．71 C．80 D．81
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .故选：D.
【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和是 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知设等差数列的公差为 ，则 ， ，
解得 ， ，所以 ．故选：D.
【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则
（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，所以 ．故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，所以 ．故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列 的前 项和为 ．若 ，则
（ ）
A．16 B．25 C．29 D．32
【答案】B
【解析】由 可得 ，即 ，
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，所以 ，故选：B
2．（2023春·广东佛山）（多选）若 为等差数列， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．－11是数列 中的项
C．数列 的前n项和 D．数列 的前7项和最大
【答案】ABD
【解析】 ， ，解得 ， ，
对选项A： ，正确；
对选项B：取 ， ，正确；
对选项C： ，错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对选项D： ， ， ，故数列 的前7项和最大，正确.
故选：ABD
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列 为递减数列，且 ， ，则下列结论
中正确的有（ ）
A．数列 的公差为 B．
C．数列 是公差为 的等差数列 D．
【答案】ABC
【解析】由题意知， 又 ，故 可看出方程 的两根，
∵数列 为递减数列， ， ． 公差 ，故A正确；
又 ， ，故B正确；
由上可知 ，则当 时， ，
当 时， ， 数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，故C正确；
由C选项知： ，故 ，
∵ ， ，故D错误．故选：ABC
4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列 的前 项和为 ，若数列
和 均为等差数列，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】数列 为等差数列，设其首项为 ，公差为d，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，由数列 为等差数列，可得
则 ，两边平方整理得， ，
两边平方整理得， ，解之得 ，则 ， ，
选项A： .判断错误；选项B： .判断正确；
选项C： .判断错误；选项D： .判断正确.故选：BD
考法二 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．证明： 是等差数
列，并求出数 的通项公式．
【答案】证明见解析，
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，又 ，则 ，
所以 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ．
【例2-2】（2023·北京）已知数列 满足 ，记 ．求证：数列 是等
差数列．
【答案】证明见解析
【解析】（定义法） ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
（等差中项法） ， ，
，
所以 ，
所以 ， 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）若数列 为等差数列，则下列说法中错误的是（ ）
A．数列 ， ， ，…， …为等差数列
B．数列 ， ， ，…， ，…为等差数列
C．数列 为等差数列
D．数列 为等差数列
【答案】C
【解析】A选项：因为 为等差数列，所以设 （ 为常数），又 ，
所以数列 也为等差数列，故A正确；
B选项： ，所以数列 为等差数列，故B正确；
C选项： ，不是常数，故 不是等差数列，故C错；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D选项： ，所以数列 为等差数列，故D正确.
故选：C.
2．（2023·云南）已知等差数列 的前 项和为 ，若
(1)求数列 的通项公式.
(2)证明:数列 为等差数列.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，解得 ，
有 ，所以等差数列 的通项公式为 ；
（2）由(1)知 ， ，
所以 ，又 ，故数列 是以2为首项，1为公差的等差数列.
3．（2023·广东）已知数列{ }满足 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：数列{ }满足 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两边取倒数可得： ，即 ，
∴数列{ }是等差数列，首项为 ，公差为2；
（2）由（1）可得： ，
解得 ．
4．（2023福建）已知数列 为等差数列， ， ，前 项和为 ，数列 满足 ，
求证：
(1)数列 为等差数列；
(2)数列 中任意三项均不能构成等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为数列 为等差数列， ， ，
所以数列 的公差为 ， ，
则 ，又 ，
，故数列 为等差数列.
（2）证明：假设数列 中存在不同三项构成等比数列，
不妨设 、 、 （ 、 、 均不相等）成等比数列，即 ，
由数列 的通项公式可得 ，
将此式展开可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以有 ，即 ，
所以， ，所以， ，
化简整理得 ， ，与假设矛盾，
故数列 中任意三项均不能构成等比数列.
考法三 等差数列的中项性质
【例3-1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列 是等差数列，所以 ，即 ，
所以 ，故选：A
【例3-2】（2023·湖北）等差数列 中，若 ，则 的前15项和为（ ）
A．1 B．8 C．15 D．30
【答案】C
【解析】等差数列 中， ，
所以 ，则 的前15项和为 ，故选： ．
【一隅三反】
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得 ，所以 .故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·重庆·校联考三模）已知 是等差数列， 是等比数列，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是等差数列，所以 ，故 ，则 ，
因为 是等比数列，所以 ，故 ，则 ，所以 .
故选：A
3．（2023·广东）设公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，设等差数列 的公差为 ，
则 ，所以 ，又 所以 ，所以 ．故选：C.
4．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用 表示等差数列 的前n项和，若 ，
，则m的值为______．
【答案】
【解析】由 ，则 ，
由 ，则 ，所以 .故答案为：
考法四 等差数列前n项和的性质
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-1】（2023·海南）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 .故选：B.
【例4-2】（2023·云南）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为Sn和Tn，且 = ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 = ，所以可设 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，
故选：A.
【例4-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】A
【解析】由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，故选：A．
【例4-4】（2023·全国·高三对口高考）设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知 、 、 、 成等差数列，
∵ ，即 ， ，∴ ， ，∴ ， ，
∴ .故选：A.
【例4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a＝﹣2018，
1
，则S 等于（ ）
2020
A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{ }是等差数列．
∵a＝﹣2018， ，∴数列{ }的公差d ，首项为﹣2018，
1
∴ 2018+2019×1＝1，∴S ＝2020．故选：C．
2020
【一隅三反】
1．（2023·山西）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， ，若对任意自然数n都有
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， .故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·山东）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数n都有
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ， .则 ，
，所以 .故选：B.
3．（2023·河北）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
， ，解得 ．故选：C.
4．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 即 ，又等差数列 的前 项和 形式满足
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 .则 ，
故 .
故选：A
5．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列 的前 项和为 ，若
且 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 的公差为d，∵ ∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，由 知 ，故
故选：A﹒
考法五 等差数列的最值
【例5-1】（2023·甘肃）设等差数列 的前n项和为 ，已知 是方程 的两根，
则能使 成立的n的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解析】因为 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由等差中项知： ， ，
， ，即使得 的成立的最大 ；
故选：A.
【例5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列 的公差为 ，共前 项和为 ，
已知 ， ，则下列结论不正确的是（ ）.
A． ， B． 与 均为 的最大值
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，因为 ， ，
所以 ，所以CD正确；
由 ，易得 ，所以 ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，所以A正确；
对于B：因为 ，所以 ，因此， 与 不可能同为 的最大值.故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·内蒙古）已知等差数列 （ ）的前n项和为 ，公差 ， ，则使得
的最大整数n为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18
【答案】C
【解析】因为 ，所以 异号，因为 ，所以 ，
又有 ，所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，
所以 的最大整数n为17.故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，若 ， ，且数列 的前
项和 有最大值，那么当 时， 的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知， ，
又 ， 和 异号，
数列 的前 项和 有最大值， 数列 是递减的等差数列，即 ， ，
， ，
当 时， 的最大值为20．故选：C．
3．（2023春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则（ ）
A． B． 的最小值为
C． D．满足 的最大自然数 的值为25
【答案】C
【解析】由于 ， ，
∴上式中等差中项 ， ，即 ，故A错误；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，故B错误；
由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.
考法六 等差数列在实际生活中的应用
【例6-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益
功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天
比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开
始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（ ）
A．26 B．130 C． D．156
【答案】B
【解析】设第 天的织布量为 ,根据题意得：该女子每天的织布量构成等差数列 ,
该等差数列的前30项和为390，首项 ，设公差为d，
所以 ，解得 ，
所以 ．
所以这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为130.
故选:B
【例6-2】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球
赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲
举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员
的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一
个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456
号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
【答案】C
【解析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为 ，
由已知 是 的倍数，也是 的倍数，故 为 的倍数，
所以 首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
令 ，可得 ，又 解得 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故获得精品足球的人数为 .故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·河南）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心
石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石
板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不
含天心石）（ ）
A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块
【答案】B
【解析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为 ，其中 ， ，
所以 ，所以
所以 ，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石） 块.
故选：B
2．（2023·吉林）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式
平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公
差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】A
【解析】设成为等差数列的其中10层的塔数为： ，由已知得，该等差数列为递增数列，因为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为 ；
故 ， ①；
又由 ②， ，且 ，所以，
①+②得， ，得 ，
由 知 ，
又因为 观察答案，当且仅当 时， 满足条件，所以， ；
组成等差数列的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；
剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.
所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：
1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，
则第11层的塔数为17.
故答案选：A
3．（2023·黑龙江）广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石
结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九
十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某
游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便
浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一
层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）
A．352 B．387 C．332 D．368
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设从第 层到第 层所走的台阶数为 ，绕第 层一周所走的步数为 ，
由已知可得 ， ， ，
， ， ，
所以数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，
故 ，
数列 为公差为 的等差数列，故 ，
设数列 ， 的前 项和分别为 ，
所以 ， ，
这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
