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第 16 章 二次根式 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（2022下·河南三门峡·八年级校考阶段练习）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次根式的性质化简及分母有理化的运算逐一判断即可求解．
【详解】解：A、 ，则A选项错误，故不符合题意；
B、 ，则B选项错误，故不符合题意；
C、 是最简二次根式，则C选项正确，故符合题意；
D、 ，则D选项错误，故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简及分母有理化，最简二次根式的概念，熟练掌握其化简方法及分
母有理化的运算法则是解题的关键．
2．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）使代数式 有意义的a的取值范围是（ ）A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得： 且 ，
∴ 且 ；
故选D．
3．（2023下·河南商丘·八年级统考期末）若 是整数，则正整数 的最小值是（ ）
A．2 B．14 C．7 D．56
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴若 是整数，正整数n的最小值是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确分解质因数是解此题的关键．
4．（2023下·湖北武汉·八年级武汉市武珞路中学校考期中）已知 ，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到 ，同理可得 ，再结
合m的范围，判断 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子
之间的关系．
5．（2023下·云南临沧·八年级校联考期末）若 ，则 的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式因式分解，然后代入求解即可．
【详解】解： ，
当 时，
原式 ，
故选：B．
【点睛】本题考查求代数式的值，完全平方公式因式分解及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
6．（2022下·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式 与 的被开方数相同，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，
再解出即可．
【详解】根据题意可知 ，
解得： ，
∴ ．
故选D．
【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
7．（2023下·云南迪庆·八年级统考期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，掌握二次根式的性质，理解最简二次根式的定义是正确解答的前提．根
据二次根式的性质将二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解： 是最简二次根式，因此选项A符合题意；
，因此选项B不符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：
8．（2023下·湖北孝感·八年级校考阶段练习）以下各式：① ，②，③ ，④ ，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；
【详解】解： ， 无意义，①错误； ，②错误；
成立的前提是 ，③错误；④ ，④正确；
故选：B
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．（2023下·广东广州·八年级校考阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：C
10．（2023下·云南楚雄·八年级统考期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法法则逐项进行计算
即可．
【详解】A、计算正确，故选项A符合题意；
B、 ，故选项B不符合题意；
C、 ，故选项C不符合题意；
D、 ，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法，掌握
相关运算的法则是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（2023下·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）当 时，二次根式 的值
为 ．
【答案】1
【分析】直接将 代入 进行计算即可．
【详解】解：当 时，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单．
12．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考开学考试）计算 的结果是 .
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减法则计算即可．
【详解】解： ，
原式 ，
，
故答案为： ．
13．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数 ， 使 且
，这样 ，那么我们就称 为
“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：
，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根
式” ．
【答案】 /
【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键．
14．（2024下·湖南岳阳·八年级校考开学考试）若x、y都是实数，且 ，则 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据
二次根式有意义的条件可求出x和y的值，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
故答案为： ．
15．（2022下·广东韶关·八年级校考期中）若最简二次根式 与 可以合并，则 ．
【答案】2
【分析】先判断 与 是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被
开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题
的关键．
16．（2024下·湖南岳阳·八年级校考开学考试）已知实数m、n满足 ， ，则 的值
为 ．【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．将所求式子变形为
，再将 ， 代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
当 ， 时，原式 ．
故答案为： ．
17．（2024下·北京西城·八年级北京四中校考开学考试） 的相反数是 ； 的倒数是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的除法，相反数的定义、倒数的定义和分母有理化，根据利用二次根式的除
法进行化简，然后根据相反数的定义、倒数的定义即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】∵ ，
∴ 的相反数是 ，
的倒数是 ，
故答案为： ； ．
18．（2024下·北京西城·八年级北师大实验中学校考开学考试）若 ，则．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，由 可得 ，平方后整理得 ，再整体
代入求值即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（2022下·八年级课时练习）当 时，求二次根式 的值．
【答案】3
【分析】直接将 代入二次根式即可求解．
【详解】解：将 代入二次根式，得
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方．
20．（2024下·河北承德·八年级校考开学考试）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次根式的乘法，分式的减法运算；
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）根据同分母分式减法的法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．（2024下·福建莆田·八年级校考开学考试）计算： ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，先化简二次根式和绝对值，然后再进行加减即可．
【详解】解：
22．（2024下·全国·八年级随堂练习）把下列各式化为最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键；
（1）可化为一个数的平方和另外一个数（此数为不含能开的尽方的因数）的乘积形式，开方即可；
（2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简；
（3）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简；
【详解】（1）原式 ．
（2）原式 ．
（3）原式 ．
23．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）先化简再求值：当 时，求 的值 甲、乙
两人的解答如下：
甲：原式 ；
乙：原式 ．
(1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ；
(2)若 ，计算 的值．
【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断 的正负情况
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质 ．
（1）利用二次根式的性质 ，化简求值即可得到答案；
（2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
原式，
乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断 的正负情况；
故答案为：乙；去绝对值时，没有判断 的正负情况；
（2）解： ，
，
原式
．
24．（2024下·广东江门·八年级校考开学考试）做一个底面积为 ，长、宽、高的比为 的长方体；
求：
(1)长方体的表面积是多少？
(2)长方体的体积是多少？
【答案】(1)长方体的表面积是
(2)体积是
【分析】此题考查二次根式的混合计算，掌握长方体的表面积和体积计算方法是解决问题的关键．
（1）设长方体的高为 ，则长为 ，宽为 ，根据长方体的底面积等于长 宽列方程求得答案即可，再
利用长方体的表面积计算公式计算即可；
（3）利用长方体的体积计算公式计算即可．
【详解】（1）设长方体的高为 ，则长为 ，宽为 ，由题意得解得 ，
则 ，
所以这个长方体的长、宽、高分别是 、 、 ．
答：长方体的表面积是 ．
（2）
答：体积是 ．
25．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）已知： 分别是 的整数部分和小数部分，
(1)求： 的值；
(2)比较 与 的大小 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可得出 、 的值；
（2）利用倒数法比较即可．
【详解】（1）解： ，
，，
的整数部分 ，小数部分 ，
∴ ， ；
（2） ； ，
，
．
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更
容易一些．
26．（2024下·湖南岳阳·八年级校考开学考试）观察下列运算过程：
．根据上述计算方法完成下列问题：
已知 ＝____________， ＝____________．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】 ； ；（1）4；（2）
【分析】本题考查了分母有理化，求代数式的值．
（1）先将x和y分母有理化，求出 ， ，再将 因式分解，即可解答；
（2）根据 ，将 ， 代入进行计算即可．【详解】解： ，
，
故答案为： ， ；
（1） ，
，
；
∴ ；
（2）由（1）得： ， ，
．
