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第13 章 轴对称（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，射线 与射线 平行，点F为射线 上的一定点，作直线 ，点P是射线 上的一个动
点（不包括端点C），将 沿 折叠，使点C落在点E处．若 ，当点E到点A的距离最
大时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点（网格线的交点）上，要找一个格点C，连接AC，
BC，使 ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．如图， ， 和 分别平分 和 ， 过点P且与 垂直，若 ，
，则 的面积为（ ）A．15 B．20 C．30 D．80
5．如图， ，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当 的值最小
时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等
于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长
等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形
恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（ ）
A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2
7．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°8．如图，在 中， ，若D是 边上的动点，则 的最小值是
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．如图， 中， ， ， ．则 为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过 点作直线 交 于点 ，交
于点 ，过点 作 于 ，有下列四个结论：① ；② ；③点 到
各边的距离相等；④设 ， ，则 ，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．平面上的两条相交直线是轴对称图形，它有 条对称轴．
12．如图， 的外角 的平分线与内角 的平分线交于点 ，若 ，则
．13．如图，长方形纸片 中， ， ，且 ，将长方形纸片 沿直线 翻折，
使点C落在 边上，记作点N，再将 沿直线 向左翻折，使点D落在射线 上，记作点P，若
点N，P，A三点中有一点是另外两点的中点，则 的值为 ．
14．如图，在 中， ．P是 边上一点， ，连接 ，以 为边在
的右上方作等边三角形 ．若 ，则点Q到边 的距离为
15．如图，在 中，D为 中点， ， ， 于点F， ，
，则 的长为 ．16．在 中， ， 平分 ，过A作 的垂线交直线 于点M，若 ，
则 的度数为 ．
17．如图，边长为a的等边 中，BF是AC上的中线且 ，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边 ，连接EF，则 周长的最小值是 ，此时 ．
18．如图，在 中， ， 、 为 边上两点， 为边 上的一点，连
接 ， ， ， ， ．则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，将长方形纸片 沿 折叠后，点 、 分别落在 、 的位置， 的延长线
交 于点 ．
（1）如果 ，求 的度数；
（2）如果已知∠ ，则 __________（用含 的式子表示）
（3）探究 与 的数量关系，并说明理由．20．（8分）如图，在 和 中， ， ， ， 与 交于点
（不与点 ， 重合），点 ， 在 异侧， ， 的平分线相交于点 ．
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时，求 的取值范围．
21．（10分）如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，点F为 上一点，连
接 ， ．
（1）求证： 平分 ；
（2）连接 交 于点G，若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长．22．（10分）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求证：∠ACB＝∠ACD；
（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
23．（10分）如图①，在 中， ， ，直线 过点 ，且 ，点 是直
线 上一点，不与点 重合
（1）若点 是图①中线段 上一点，且 ，请判断线段 与 的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接 ，过点 作 交线段 于点 ，求证：
；
（3）如图③，在图①的基础上，改变点 的位置后，连接 ，过点 作 交线段 的延长线于
点 ，请判断线段 与 的数量关系，并说明理由24．（12分）已知， 为等边三角形，点D在边 上．
【基本图形】如图1，以 为一边作等边三角形 ，连接 ．请直接写出 之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是 边上一点，以 为一边作等边三角 ．求证： ．
【类比探究】如图3，点F是 边的延长线上一点，以 为一边作等边三角形 ．试探究线段
三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】∵ 不是轴对称图形，
∴A不符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴B不符合题意；∵ 是轴对称图形，
∴C符合题意；
∵ 不是轴对称图形，
∴D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了轴对称图形即沿某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合的图形，熟练掌握定义是解
题的关键．
2．B
【分析】由平行线的性质得 ，由 ，当点E在 上时，点E到点A的距
离最大，然后可求出 的度数．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当点E在 上时，点E到点A的距离最大，如图，
由折叠可知， ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．
3．B
【分析】画出 ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可．
解：C点落在网△格中的4个格点使 ABC为轴对称图形，
故选：B． △【点拨】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．
4．A
【分析】过点P作 于点E，根据平行线的性质证 ，再根据角平分线的性质得出
，再根据三角形面积公式计算即可．
解：过点P作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， 和 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据
∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．解：如图：
作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，
∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，
EN最短，
∵∠AOB=35°，
∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，
∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，
∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称－最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
6．B
【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方
形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方
形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，
解之即可得出结论．
解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣
a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣
2，
①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）
＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝
3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．
故选：B．
【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，
有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.
7．A
【分析】过 点作 于 ，如图，根据角平分线的性质得到 ，则可根据“ ”判断
，所以 ，然后利用 得到 ．
解：过 点作 于 ，如图，
是 的角平分线， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全
等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
8．D
【分析】过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，在中， 当A，D，F在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
解：过点C作射线 ，使 ，再过动点D作 ，垂足为点F，连接 ，如图所示：
在 中， ，
∴ ，
∵
＝ ，
∴当A，D，F在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会
用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
9．B【分析】可过C作 于E，因为 ，则可得 ，可过C作 于E，依据题
意可得 ，进而得到 ，得到 ，再利用等腰三角形的判定可得
，即可求得 ．
【详解】如图，可过C作 于E，可过C作 于E．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，且
∴ ，
∴ ，且
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质
进行解题是关键．
10．C
【分析】根据三角形的内角和与角平分线的性质可得 ，可判断①和②；过点 作
于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，根据角平分线的性质可知 ，可判
断③；将 的面积转化成 的面积与 的面积之和，可判断④．解：在 中，，
∵ ，
∴ ，
∵ 和 的平分线相交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①不正确，结论②正确；
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ 平分 ， OC平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论③正确，
∵ ， ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴结论④正确，
∴正确的结论有：②③④，
故选：C．【点拨】本题考查角平分线的性质和三角形的内角和，熟练掌握角平分线的性质并且灵活运用是解题的关
键．
11．2
【分析】根据轴对称的性质即可解答.
【详解】平面内两条相交的两直线是轴对称图形，两对对顶角的角平分线所在的直线是这个图形的两条对
称轴.
故答案为2.
【点拨】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
12． / 度
【分析】延长 ，作 ， ， ，设 ， ，进而根据
三角形的外角的性质得出 ，证明 ，即可求解．
【详解】延长 ，作 ， ， ，
设 ，
平分 ，
， ，
平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义以及性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握
全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．3或
【分析】分两种情况讨论，利用折叠的性质和矩形的性质可求解．
解：∵将长方形纸片 沿直线 翻折，
∴ ，
将 沿直线 向左起折，当点D落在线段 上时，如图，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点D落在线段 的延长线上时，如图，
∴ ，
∵点A是 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换，线段的中点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
14．
【分析】如图，过 作 于 ，则 ， ，则 ，由等边三
角形 ，可得 ， ， ，证明 ，根据
，求解即可．
解：如图，过 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了含 的直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在
于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．
【分析】连接 ，过点E作 ，交 的延长线于N，由 ，可得
；由D为 中点， ，则可得 ；证明 ，再证明
即可求得结果．
解：连接 ，过点E作 ，交 的延长线于N，如图，
∵ ， ，
∴ ；
∵D为 中点， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．
16． 或
【分析】分两种情况讨论：当点M在 延长线上时，当点M在 延长线上时，分别画出图形，作出辅
助线，求出结果即可．
解：当点M在 延长线上时，延长 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
当点M在 延长线上时，延长 ，在 的延长线上截取 ，连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，三角
形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，注意分类讨论．
17． /90度
【分析】通过分析点E的运动轨迹，点E在射线 上运动（ ），作点A关于直线 的对称
点M，连接 交 于点 ，此时 的值最小
解：∵ ， 均为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴点E在射线 上运动（ ）
作点A关于直线 的对称点M，连接 交 于点 ，此时 的值最小，
∵
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ 周长的最小值是 ，
故答案为： ，
【点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
18．22
【分析】如图，在 右侧作 ，交 延长线于点K,过点D作 ,交 于G，交
于L，过L分别作 、 、 的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到
, ，从而得到 ，将 转到 ，利用角的关系和角平分线的
性质可再证明 ，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】如图，在 右侧作 ，交 延长线于点K,过点D作 ,交 于G，交
于L，过L分别作 、 、 的高，分别相交于H、I、J；
,
，
是 的平分线；
又
在 与 中，
；
又 角平分线 、 交于L，
， ，在 与 中，
，
在 与 中，
， ，
．
故答案为22．
【点拨】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是
利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
19．(1)(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由平行线性质得到 的度数，再由折叠性质得到 的度数，最后根据平角定义即
可求出 的度数；
（2）由平行线性质和折叠性质得到 ，根据外角性质即可得到 的度数；
（3）由平行线性质得到 和 ，即可推出最后结果．
【详解】（1）解： ，
，
由折叠知 ，
，
；
（2） ，
，
由折叠的性质可得： ，
；
（3） ，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．
20．(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，可得结论；
（3）由三角形内角和定理求出 ，根据内心的概念得到 ，根据三角形内
角和定理得到 ，根据不等式的性质计算即可．【详解】（1）∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∵ ，
∴ ；
∴ ；
（2）在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵
∴
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 分别平分 ，
∴ ， ，
∴
=
= ，
∵ ，
∴ .
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线，三角形的内角和定理，解题关键是熟记三角形的角平分线的性质．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）根据 是 的角平分线和 得 ，再结合 为 边
上的高得出 即可证明；
（2）过点F作 于点M， 于点N，证明 ，得出 ，再根据
，解出 即可证明；
（3）根据 及 为 边上的高证明 ，得出 ，再根据 ，
解得 ，结合 即可求出 ；
【详解】（1）证明： 是 的角平分线，
.
，
.
.
为 边上的高，
.
.
平分 .
（2）过点F作 于点M， 于点N，
平分 ，且 ， ，
.
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
（3） ，
， ，
，
为 边上的高，
，
，
.
在 和 中，
.
，
，
，
，
.
【点拨】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等
三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点 ，连接M 交AE于点O，证明∠ M P=30°即可．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点 ，连接M 交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠ =30°，
∴∠ M P=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确
掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
23．(1) 与 垂直，证明过程见解析；
(2)证明过程见解析；
(3) 与 相等，证明过程见解析．
【分析】（1）先求出 ，进而求出 ，从而判断出 ，即可得结论；
（2）先判断出 ，再判断出 ，根据 判断两个三角形全等；
（3）过点 作 交线段 的延长线于点 ，判断出 ，再判断出 ，根
据 判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得．【详解】（1）解： ．
证明：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
， ，
，
是 的外角，
，
，
，
在 和 中，
；
（3）如图：过点 作 交线段 的延长线于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，，
，
，
在 和 中，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考差了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和
性质．能够准确作出辅助线并构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
24．基本图形： ；迁移运用：证明见解析；类比探究： ，理由见解析
【分析】基本图形：只需要证明 得到 ，再由 即可解答；
迁移运用：过点 作 ，交 于点 ，然后证明 得到 ，即可推出
；
类比探究：过点 作 ，交 于点 ，然后证明 ，得到 ，再由
，即可得到 ．
解：基本图形：
∵ 是等边三角形，等边三角形 ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴
∴ ，即 ；
迁移运用：
证明：过点 作 ，交 于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；类比探究：
解： ，理由如下：
过点 作 ，交 于点 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，熟知全等三角形的性质
与判定条件是解题的关键．
