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第19 章 一次函数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数 的定义域是 ，该函数关于 轴对称，且在 上是增函数，若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 或
2．小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业
本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用 表示小敏同学离开家的距离，用 表示离开家
的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离 与离开家的时间 之间的函数关系的
是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点 在直线 上，过点 作 轴于点 ，作 轴与直线 交于点 ，
若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．同时满足直线 和直线 的图象是( )
A． B． C． D．5．过点 的直线 不经过第三象限，若 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线 和直线 平行，其中点 的坐标为 ，将直线 向右平移 个单位后为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个变量x与y之间的关系式为 ，下列描述不正确的是（ ）
A．x是自变量，y是因变量 B．y的值随x的增大而增大
C．当 时， D．x的值每增加1，y的值增加2
8．已知直线 （其中a，b是常数， ），点 ， ， ，
都在这条直线上，则下列一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，一次函数 与正比例函数 交于 ，与x轴相交于点B，则 的周
长为（ ）
A．5 B． C． D．
10．一次函数 和 在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：
①它们的交点在直线 上；
② ；
③不等式 的解集为 ；④它们与x轴围成的三角形的面积为 ．
其中，正确的序号是 ．
A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．直线 经过两点 、 ， 该直线与x 轴所夹的锐角为α， 则α值为 ．
12．已知直线 ，将直线 向上平移5个单位后经过点 ，将直线 向下平移5个单位
后经过点 ，那么直线 向 （填“左”或“右”）平移 个单位后过点 ．
13．如果点 是一次函数 与 图像的交点，那么 ， ．
14．A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发
现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8
分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，
甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为
米．
15．如图，在一次函数 的图像上存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在 的边上，
其中 ， ， ，则 的取值范围是 ．（注：直线 是指过 且垂直于 轴
的直线）16．一次函数 （ 为常数且 ）
（1）该一次函数恒经过点 ，则 点的坐标为 ；
（2）如图：已知长方形 中， ， ， ，若一次函数 与长方形
的边有公共点，则 的取值范围为 ．
17．如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，
AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P（0，3）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+3，
（1）若PQ经过点D，则k=
（2）若PQ与矩形ABCD的边由公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为
18．已知：如图所示，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．若点 从点 出发，沿射线
作匀速运动，点 从点 出发，沿射线 作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当
为直角三角形时，则点 的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知函数y= x，请按要求解决下列问题：
(1)在平面直角坐标系中画出图象；
(2)点（m－1，m）在函数y= x的图象上，求m的值．
20．（8分）如图，在直角坐标系中， 为原点， 在 轴的正半轴上， ，把 绕着 点逆时针
旋转 后，点 与点A重合．
(1)求点 的坐标；
(2)作 的平分线交 轴于点 ，求直线 的解析式；
(3)在直线 上是否存在一个点 ，使得 的面积等于 面积的5倍？如果存在，请求出点 的
坐标．21．（10分）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)直接写出点 的坐标： ：__________； ：__________．
(2)如图，将直线 绕点 逆时针旋转 ，得到直线 ，求直线 的表达式．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点 作 的垂线交 于点 ，可求出点 的坐
标为__________，从而求得直线 的表达式为__________．
22．（10分）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健
意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购
进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型
净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获
得的总利润为y元．
(1)该商场共有几种进货方案？
(2)该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？23．（10分）观察图象，回答下列问题：
(1)观察图象特征，可直接写出不等式 的解集为______；
(2)像（1）这样，借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是（ ）
A．分类讨论 B．整体思想 C．数形结合 D．极限思想
(3)当 取任意一个不为0的实数时，方程组 一定有解吗？如果一定，求出该解；如果不一定，
请说明理由．
24．（12分）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，点 的坐标为 ，点 为
轴正半轴上的动点，连结 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，垂足为点 ，连结 ．
(1)求出 两点的坐标；
(2)求证： ；
(3)在点 的运动过程中，当 为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．参考答案：
1．D
【分析】根据函数的性质确定出函数为偶函数，在 上是增函数，在 上是减函数，分别在
和 两种情况下利用增减性直接求解即可．
【详解】解： 函数 的定义域是 ，该函数关于 轴对称，
函数 为偶函数，
函数在 上是增函数，
在 上是减函数，
当 时，
，
，
当 时，
函数 在义域 上为偶函数，在 上是增函数，
，
，
故选： ．
【点拨】本题考查了利用函数的增减性，熟练掌握函数性质，灵活运用函数增减性，奇偶性是解答本题的
关键．
2．B
【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义；
根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在
家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误；
小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设 ，得出 ，结合 得出
，从而得出 ，代入 ，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设 ，
点 在直线 上，
，
，
，
，
，
，
点 在 上，
，
，
故选：D．
4．D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，以及“直线 是指是经过 且与x轴平行的直线”使
用排除法即可．
【详解】解：直线 是经过 且与x轴平行的直线，
故排除A、B；
∵直线 中， ，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，故排除A、B、C．
故选：D．
【点拨】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，掌握利用k、b的符号确定一次函数所经过的象限是
解题的关键．
5．D
【分析】先将点 代入直线的解析式可得 ，从而可得 ，再根据“直线
不经过第三象限”可得一个关于 的一元一次不等式组，解不等式组可得 的取值范围，
由此即可得出答案．【详解】解：由题意，将点 代入直线 得： ，
解得 ，
则 ，
直线 不经过第三象限，
，即 ，
解得 ，
，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图
象与性质是解题关键．
6．D
【分析】根据平行直线的解析式的 值相等设直线 的解析式为 ，把点 的坐标代入求出
的值，然后利用平移的规律求得即可．
【详解】由题意设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
将直线 向右平移 个单位后得到 ， 即 ，
故选： ．
【点拨】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的 值相等是解题的关键．
7．C
【分析】根据据自变量和因变量的定义、函数增减性、函数值与自变量的关系、k的意义，进行解答即可．
【详解】A.在 中：x自变量，y是因变量，说法正确，不符合题意；
B.在 中， ，故y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；
C.当 时， ，故 ，说法错误，符合题意；D.在 中， ，故x每增加1，y的值增加2，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了函数的相关定义和函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键．
8．A
【分析】由 可知 ， 或 ， ，然后分情况讨论，根据点A，B的坐标得出 ，
时符合题意，再根据一次函数的增减性得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， 或 ， ，
①当 ， 时，y随x增大而减小，
∵点 ， 在这条直线上，且 ， ，
∴y随x增大而增大，与题意矛盾，此情况舍去；
②当 ， 时，y随x减小而减小，
∵点 ， 在这条直线上，且 ， ，
∴符合题意，
∴ ， ，
∴ ，
又∵点 ， 在这条直线上，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数 中，当 时，y随x增大而增大；当
时，y随x增大而减小是解题的关键．
9．D
【分析】把点 分别代入一次函数 与正比例函数 ，分别求得 ，再求出点
，分别求出 ，从而可求出 的周长．【详解】解：把点 分别代入一次函数 与正比例函数 ，得：
∴
∴
∴
∴
∴一次函数解析式为 ，
令 则 ，解得，
∴ ,
∴ 的周长为
故选：D
【点拨】本题考查了一次函数与正比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图
象上点的坐标特征等知识点，能求出B点的坐标是解此题的关键．
10．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性
质是解题关键．
根据两个函数的交点即可判断①；根据当 ，图象在第一象限，来判定②；找出一次函数 的
图象位于一次函数 的图象的上方时，x的取值范围即可判断③；分别把 ， 代入函数得出
三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④．
【详解】 一次函数 和 交于一点，
，
解得： ，
①正确；
一次函数 和 交点在第一象限，且交点横坐标为1，
把 代入 得： 故②正确；
函数图象它们的交点在直线 上，有函数图象可知 的解集为 ，故③正确；
把 代入 得： ，
当 代入 得： ，
当 代入 得： ，
与x轴围成的三角形的面积为： ，故④错误；
综上所述：正确的有①②③；
故选：C．
11．
【分析】利用待定系数法求直线 的解析式，再令 、 ，求得直线 分别与x、y轴相交于点
、 ，从而可得直线 与坐标轴围成一个等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过两点 、 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ；当 时， ，即 ，
∴直线 分别与x、y轴相交于点 、 ，
如图所示， ，
∴直线 与坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、求一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定
与性质，熟练掌握待定系数法求直线 的解析式是解题的关键．
12． 左 4
【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的
解析式，然后设它向左平移m个单位后过点 ，列得关于m的方程，解方程即可．
【详解】已知直线
则该直线向上平移 个单位后对应的解析式为
∵它过点
∴
原直线向下平移 个单位后对应的解析式为
∵它过点
∴
解方程组 得 ，
∴
设它向左平移m个单位后过点
过点即
解得：
即直线向左平移 个单位后过点 ，
故答案为：左， ．
【点拨】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
13． 3
【分析】把点 分别代入 和 中，得一个关于a、b的方程组，求出a、b的值即可．
本题主要考查了二元一次方程组与一次函数之间的关系．两条直线的交点坐标就是这两条直线所对应的二
元一次方程组的解．熟练掌握二元一次方程组与一次函数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：把点 分别代入 和 中，得
，
解得 ，
经检验，为原方程组的解，
故答案为： ；3．
14．
【分析】根据图象可知， 分钟两人的距离为 米，可知两人的速度差 米 分，返回时 分钟相遇，可
知速度和为 米 分，进而求出各自的速度，再根据返回到 地的时间差为 分钟，可列方程求解即可．
【详解】解：设甲的速度为 米 分，乙的速度为 米 分，由图象可得，
，
解得： ，
设 则相遇地点到 的距离为( )米，由题意得，
，解得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象求得甲乙的速度是解题的关键．
15．
【分析】本题考查一次函数图像上的点，不等式的应用，设点 ，根据点 和点 关于直线
对称得点 ，再根据点 在 的边上得 ，由 得
，由 得 ，由此可得 的取值范围，理解一次函数图像上的点满足一
次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键．
【详解】解： 点 在一次函数 的图像上，
设点 的坐标为 ，
点 和点 关于直线 对称，
点 和点 的纵坐标相同，可设点 的坐标为 ，
，即 ，
点 的坐标为 ，
， ， ，点 在 的边上，
，
由 ，得 ；由 ，得 ；
，
故答案为 ．
16． 或
【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的
关键．（1）由一次函数解析式为 ，可得出点 的坐标为 ；
（2）分别求出当一次函数 经过点 时及当一次函数 经过点 时，求出k
的值，现求出 的取值范围．
【详解】解：（1） 一次函数 恒经过点 ，
点 的坐标为 ．
故答案为： ；
（2） 长方形 中， ， ， ，
，
当一次函数 经过点 时，
解得： ，
当一次函数 经过点 时，
解得： ，
一次函数 与长方形 的边有公共点，
由图可知， 或
故答案为： 或
17． - k≥
【分析】（1）根据坐标系，矩形的性质，确定点D（2，0），代入解析式求解即可；
（2）函数y随x的增大而增大，故k大于零，根据坐标系，矩形的性质，确定点A（-2，0），代入解析式
求解即可．【详解】（1）∵长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，
AB=CD=2，AD=BC=4，
∴A（-2，0），D（2，0），
∵过定点P（0，3）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+3，
∴2k+3=0，
解得k=- ，
故答案为：- ；
（2）∵函数y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵PQ与矩形ABCD的边由公共点，
∴经过点A时，是直线k的最小值，
∴-2k+3=0，
解得k= ，
∴k≥ ，
故答案为：k≥ ．
【点拨】本题考查了坐标系的建立，矩形的性质，待定系数法确定解析式，一次函数的性质，熟练掌握矩
形的性质，待定系数法，一次函数的增减性是解题的关键．
18． 或
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出 的三边长， 分 ，
， 三种情况，根据勾股定理计算即可求出点 的坐标，灵活运用分情况讨论思想、
掌握两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】由直线 得：
当 时，即 ，
解得 ，当 时， ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
设 ， 运动的速度为 ，时间为 ，则 ， ，
则点 的坐标为： ，点 的坐标为： ，
∴
当 时，有 ，即 ，
解得 ， ，
当 ，点 与 重合，舍去
∴点 的坐标为 ，
当 时， ，即 ，
解得 （舍去）， ，则点 的坐标为 ，
当 时， ，即
解得 ， ，点 与 重合，不符合题意，
综上所示，点 的坐标为 或故答案为： 或 ．
19．(1)画图象见解析
(2)
【分析】（1）利用两点法画出函数图象；
（2）将点的坐标代入函数的解析式，从而可求得m的值．
【详解】（1）当x=0时，y=0，
当x=2时，y=1，
则图象过点（0，0），（2，1）；
∴函数y= x的图象如图所示：
（2）∵点（m-1，m）在的函数y＝ x上，
∴m= （m-1），
∴m=-1．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，依据一次函数的定义求得m的值是解题的关键．
20．(1) 点的坐标为
(2)(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）由题意得到 是等边三角形，求得 ，过点A作 于 ，
求得 ，根据勾股定理得到 ，于是得到A点的坐标为
；
（2）根据角平分线的定义得到 ，根据勾股定理得到 ，求得 ， ，设
直线 的解析式为 ，解方程得到直线 的解析式为 ；
（3）设点 的坐标为 ，根据已知条件得到 ，①当 在 的左侧时，
如图1，过 作 于 ，②当 在 的右侧时，过 作 轴于 ，过A作 轴于 ，
根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意知， ， ，
是等边三角形，
，
过点 作 于 ，
，
，
在 中， ，
点的坐标为 ；
（2） 是 的平分线，
，
在 中， ， ， ，，
解得： ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（3）设点 的坐标为 ，
，
，
①当 在 的左侧时，如图1，过 作 于 ，
，，
解得： ， ，
；
②当 在 的右侧时，过 作 轴于 ，过A作 轴于 ，
，
，
解得： ， ，
；
综上所述： 或 ，
在直线 上存在一个点 ，使得 的面积等于 面积的5倍，点 的坐标为 或
．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．(1) ， ；
(2)点 的坐标 ，直线 的表达式为 ．
【分析】（ ）分别把 和 代入 解答即可求解；
（ ）过点 作 轴于点 ，证明 ，得到 ， ，即可求
出点 的坐标，设直线 的表达式为 ，把 的坐标代入计算即可求解；
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，余角性质，等角对等边，待定系数
法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质求出点 的坐标是解题的关键．
【详解】（1）解：当 时，由 得， ，
∴点 的坐标为 ；
当 时，由 得， ，
∴点 的坐标为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的表达式为 ，把 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
故答案为： ， ．
22．(1)共有5种进货方案；
(2)购进A型净水器 台，则购进B型净水器 台，能使得总利润最大，最大利润是 元
【分析】本题考查了一元一次不等式组、一次函数的应用；
（1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器 台，依题意列出一元一次不等式组，解不等式组，
即可求解；
（2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意列出一次函数关系式，
根据一次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设购进A型净水器x台，则购进B型净水器 台，依题意，得，
解得： ，
∴ ，
∴共有5种进货方案；
（2）解：设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得，
∴
∵ ， 随 的增大而增大，
又∵
∴当 时， 取得最大值，最大利润为： （元）
；
答：购进A型净水器 台，则购进B型净水器 台，能使得总利润最大，最大利润是 元．
23．(1)
(2)C
(3)不一定，理由见解析
【分析】本题考查一次函数，分式有意义的条件：
（1）根据图像可直接得出答案；
（2）借助图像得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合；
（3）根据方程组可得： ，得出 ，进而即可得到结论．
【详解】（1）解：观察图象特征，不等式 的解集为 ，
故答案为： ；
（2）解：借助图象得到不等式解集所用到的数学思想方法是数形结合，
故选：C；
（3）解：根据题意，由方程组可得： ，
解得： ，所以 ，
所以当 ，方程组无解，即方程组不一定有解
24．(1)
(2)证明见解析
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）对于一次函数 ，当 时， ；当 时， ．即可得到答案；
（2）证明 ， ，再由 ，即可证明 ；
（3）证明当 是等腰三角形时，只能 或 ，分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：直线 与 轴、 轴分别交于点 ，点 ，
当 时， ；当 时，
∴ ．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
，
， ，
，
∵ ，
，
，
；
（3）解：当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ，①如图
∵ ，
∴ ，
显然 ，
，
过 作 轴，显然 ，
，
当 是等腰三角形时，只能 或 ，
当 时，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点 时，则在 中， ，
，
∴ ，
∴ ，∴ 是等腰三角形；
当 为等腰三角形时，点 的坐标为 或 ．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、坐标和图形、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定
和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
