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人教版初中数学八年级下册
第十六章 二次根式 达标检测
一、单选题：
1．在 中，是最简二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的两个特点“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式”进行解答即可得．
【详解】解： 不是二次根式，不符合题意，
是最简二次根式，符合题意，
是最简二次根式，符合题意，
是最简二次根式，符合题意，
不是最简二次根式，不符合题意，
不是最简二次根式，不符合题意，
综上，是最简二次根式的有3个，
故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记二次根式的两个特点．
2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】A选项： ，与 的被开方数不同，故不是同类二次根式，故A错误；
B选项： 与 的被开方数不同，故不是同类二次根式，故B错误；
C选项： 与 的被开方数相同，是同类二次根式，故C正确；
D选项： 与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式，故D错误．
故选C．
【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
3．下列各式中，一定能成立的有（ ）
① ② ③ ④
A．① B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据开算术平方和平方的概念对4个等式逐一判断．
【详解】A． ，则A成立；
B．当a<0时， 不存在，则B等式不成立；
C．当x<1时， 不存在，则C等式不成立；
D．当x<-3时， 不存在，则D等式不成立．
故选A．
【点睛】本题考查开算术平方根和平方之间的等量关系，注意算术平方根下的式子不能小于零的情况，掌
握这一点是本题解题关键．
4．计算 的结果估计在( )
A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间
【答案】C
【分析】先根据二次根式的混合运算计算得到 ，进而估算即可．【详解】解：
＝
＝
＝ ，
∵
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关
键．
5．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的性质求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
解得， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握 是解答本题的关键．
6．若 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先将45写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出n的最小整数值．
【详解】解： ．由 是整数，得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
7．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的
面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得大正方形的边长和小正方形的边长，进而得出空白的长和宽，再计算面积即可．
【详解】解：∵大正方形的面积为 ，
∴大正方形的边长= ，
∵小正方形的面积为 ，
∴小正方形的边长= ，
∴空白的长为： ，空白的高为： ，
∴空白面积=
故选： B．
【点睛】本题考查了二次根式及其应用，掌握二次根式的性质是解题关键．
8．已知 ， ，则代数式 的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【分析】计算出m n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m n及mn的代数式表示，整
体代入即可完成求−值． −【详解】∵ ， ，
∴ ，mn=-1，
∴
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并
运用整体代入法求值是关键．
9．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【答案】A
【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【详解】解:∵ ， ， ，
又 ，
∴ ．
故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．
10．设S= ，则不大于S的最大整数[S]等于(
)
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B【分析】由 ，代入数值，求出S= + + + …
+ =99+1- ，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵
=
= ，
∴S= + + + …+
=
=
=100- ，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道 是解答本题的基础．
二、填空题：11．如果分式 有意义，那么x的取值范围是_______．
【答案】 且x≠4
【分析】根据分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数进行解答．
【详解】∵二次根式的被开方数是非负数，
∴2x+3≥0，
解得x≥- ，
又分母不等于零，
∴x≠4，
∴x≥- 且x≠4．
故答案为x≥- 且x≠4．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，该题属于易错题，同学们往往忽略了分
母不等于零这一条件，错解为x≥- ．
12．计算： ______．
【答案】 ##
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13．若 的整数部分是a，小数部分是b，则 的值是___________．
【答案】
【分析】首先根据 的取值范围得出a，b的值进而求出即可．
【详解】解：∵ ， 的整数部分是a，小数部分是b，
∴a=1，b=
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．
14．若 ，则 的值是_________．
【答案】4
【分析】根据被开方数大于等于0列式求x，再求出y，然后相加计算即可得解．
【详解】解：由题意得，﹣2﹣x≥0且3x+6≥0，
解得x≤﹣2且x≥﹣2，
∴x＝﹣2，
∴y＝6，
∴x+y＝﹣2+6＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本
题的关键．
15．若最简二次根式 与 是同类根式，则2a﹣b＝___．
【答案】9
【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数
相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类根式，∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
16．计算 的值为__________．
【答案】2
【分析】先根据积的乘方的逆运算，再合并同类二次根式即可；
【详解】解：原式=
= ；
故答案为：2
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
17．把 的根号外因式移到根号内得____________．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行
计算，化简求值即可．
【详解】解： ，
；故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
18．设 、 、 是 的三边的长，化简 的结果是________．
【答案】
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，依此对原式进行去根号和去绝对值．
【详解】解：∵a，b，c是 ABC的三边的长，
∴a＜b+c，a+c＞b， △
∴a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和三角形的三边关系定理，关键是根据三角形的性质：两边之和大于
第三边去根号和去绝对值解答．
19．观察下列各式： ， ， ，……请你将发现的规律用含自然数n
（n≥1）的等式表示出来_________．
【答案】
【分析】根据等式的左边根号内整数部分为自然数 加上 ，右边为 ，据此即可求解．
【详解】解：∵第1个式子为： ，第2个式子为： ，
第3个式子为： ，
……
∴第 个式子为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的规律题，找到规律是解题的关键．
20．已知 ，化简 得____________．
【答案】
【分析】根据完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可求得答案．
【详解】∵01
∴
=
=
=
故答案为
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
三、解答题：21．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式3+x≥0，再解不等式即可；
（2）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2x-1＞0，再解不等式即可；
（3）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式2-3x＞0，再解不等式即可；
（4）根据二次根式有意义及分式有意义的条件可得不等式x≠0．
【详解】解：（1）根据题意，3+x≥0，解得：x≥-3；
（2）根据题意，2x-1＞0，解得：x＞ ；
（3）根据题意， ≥0且2-3x≠0，即2-3x＞0，解得：x＜ ；
（4）根据题意， ≥0且x-1≠0，即x≠1．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负
数和分式的分母不为0．
22．化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
【分析】（1）把500因数分解为5×102即可；
（2）把12分解为3×22即可；
（3）先把被开方数中带分数化为假分数，利用分数的基本性质将分母变平方 即可
（4）将被开方式中 即可；
（5）将被开方式 即可；（6）将被开方式 即可．
【详解】解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ．
【点睛】本题考查二次根式化为最简二次根式，掌握最简二次根式定义与化简方法是关键．
23．计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）6；（4） ；（5） ；（6）
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式加减运算法则计算即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式乘除运算法则计算即可；
（3）利用平方差公式计算即可；
（4）先化简二次根式，再合并后计算乘除运算即可；
（5）利用完全平方公式进行计算即可；（6）利用完全平方公式进行计算即可；
【详解】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后进行二次根式的加减运算．
24．先化筒．再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】按照异分母分式运算法则计算即可．
【详解】解：原式
当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，掌握异分母分式运算法则是解题的关键．
25．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： .
【答案】
【分析】直接利用数轴判断得出：a<0，a+c<0，c-a<0，b>0，进而化简即可．
【详解】由数轴，得 ， ， ， .
则原式 .
【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，数轴，解题关键在于利用数轴进行解答.
26．已知x＝2﹣ ，y＝2+ ，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．
【答案】（1）16；（2）﹣8
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，然后利用
整体代入的方法计算；
（2）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，再利用平方差公式得到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；
（2））∵x＝2﹣ ，y＝2+ ，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2 ，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣2 ）
＝﹣8 ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，
利用整体思想方法解决问题是解答的关键．
27．已知等式|a－2 018|＋ ＝a成立，求a－2 0182的值．
【答案】2019
【分析】由二次根式的意义得到a的范围，再将原等式化简变形．
【详解】由题意，得a－2 019≥0． ∴a≥2 019．
原等式变形为a－2 018＋ ＝a．
整理，得 ＝2 018．
两边平方，得a－2 019＝2 0182．
∴a－2 0182＝2 019．【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，二次根式有意义的条件，得到 ＝2 018是解题
的关键．
28．观察下列等式：
① ；
② ；
③
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.
试题解析：（1）
=
= ；
（2）
= +…+
= ．
