文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
4．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数列，则
（ ）．
A． B． C． D．
6．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知某比赛在 这4支队伍之间进行，且 队伍有一名主力队员缺席，导致 队伍无缘前2名，
假设剩下的3支队伍的水平相当，则 这2支队伍都进入前3名的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，
已知 ，直线 与圆锥底面所成角的余弦值为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆C： ，P，Q是圆上的两点，O为坐标原点，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．10 D．5
10．如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美． ，
， ， ， ，已知正方形ABCD的面积为64，连接 ， 的焦
点 ， ，线段 分别交 ， 于点G，H，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 ．
12．已知向量 ， ，则 ．
13．已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则 边上的中线AD的长为
.
14．把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若 的图象关于原点
对称，则 的最小值为 ；若曲线 上存在唯一一点 ， ，满足点A关于
原点的对称点B也在曲线 上，则 的取值范围是 ．
15．已知函数 ，则下列说法正确的有
①．函数 的值域为
②．方程 有两个不等的实数解
③．不等式 的解集为
④．关于 的方程 的解的个数可能为
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)在 中， 分别是角 的对边，若 ， ，且 的面积为 ，求外接圆的半径.
17．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形， ．
(1)求证： ：
(2)从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF存在．求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．
条件①：平面 平面
条件②：平面 平面
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18．（14分）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按
主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠
军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概
率依次为 ， ， ，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资 （千万元），则能在这两场比赛中共盈利 （千万元）.如果需进
行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 （千万元），则能在该场比赛中盈利 （千万元）.若主
办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？19．（14分）设动圆 与圆 外切，与圆 内切.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 且不与 轴垂直的直线 交轨迹 于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ， 为 的外
心，试探究 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20．（15分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的图像在点 处的切线方程；
(2)若函数 有一个零点，求k的取值范围．21．若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 为“ 数列”．
(1)分别判断数列 ，与数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
(2)已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“ 数列”，并说明理由.
