第17章勾股定理（单元测试·拔尖卷）-（人教版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_专题突破练习-V4

第17 章 勾股定理（单元测试·拔尖卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图， 的角平分线 相交于点P，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D．2 2．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得 利用如图验证了勾股定理．以直角三角形 的三条边为边长向外作正方形 ，正方形 ，正方 形 ，连接 ， ，具中正方形 面积为1，正方形 面积为5，则以 为边长的正方形 面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D． 3．如图，在长方形纸片 中， 为 的中点，连接 ，将 沿 折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.6 4．如图，在 中， ， ，点P是底边上的高 上一点，若 的最小 值为 ，那么 为（ ） A． B．2 C． D．4 5．如图，在 中， ，D是 上一点且 ，若 ， ，则 （ ）. A．6 B． C．4 D． 6．动点 在等边 的边 上， ，连接 ， 于 ，以 为一边作等边 ， 的延长线交 于 ，当 取最大值时， 的长为（ ） A．2 B． C． D． 7．如图，长方形 中， ， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动，若，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” （如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2： 为等边三角形， 、 、 围成的 也是等边三角形．已知点 、 、 分别是 、 、 的中点，若 的面积为14，则 的面积是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在 中， ， ， ，以 为边在 上方作一个等边 ， 将四边形 折叠，使 点与 点重合，折痕为 ，则点 到直线 的距离为（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知线段 ， ，点E为 边上动点，则 的最小值为 （ ）A．2 B． C． D．6 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在四边形 中， ， ，如果 ，那 么 的长度为 ． 12．如图，在 中， ， ，D为 边上一点， ，垂足为E，F在 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ． 13．在 中， ，如果将 折叠，使点B与点A重合，且折痕交边 于点 M，交边 于点N．如果 是直角三角形，那么 的面积是 ． 14．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点 在边 上， 与 交于点 ，若 ， ，记 的面积为 ， 的面积为 ，则 ．15．如图，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点C处有一滴蜂蜜， 这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 16．如图，正方形 的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，将四方形 沿 折叠得 到四边形 ，点 的对应点 恰好落在直线 上．若 ，则线段 的长度为 ． 17．如图，在 中， ， ，点 是边 上一点（点 不与点 ， 重合）， 将 沿 翻折，点 的对应点为点 ， 交 于点 ，若 ，则点 到线段 的距离为 ． 18．如图，在 中， ， ， ，点 是 边上的一个动点，连接，将 沿 折叠，得到 ，当 与 的直角边垂直时， 的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，已知 为等边三角形，在 上取一点 （与点 、 不重合），以 为边 向外作等边 ，连接 、 ，再分别以 、 为边向外作等边 和等边 ，连接 ． （1）求证： ； （2）记 、 、 、 的面积分别为 、 、 、 ，则这四个面积之间存在怎 样的数量关系式？说明理由． 20．（8分）如图，在 中， ， ， ，点 在AB上，且 平分 ， ， 相交于点 ，连接CE． （1）直接写出 ， 的数量关系：______； （2）求证： ； （3）用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．21．（10分）在等边 的 、 边上各取一点 、 ， 、 相交于点 ． （1）若 ，求证： ； （2）在（1）的条件下，当 ， 时，求 的边长； （3）连结 ，若 ， ，求 的值． 22．（10分）已知：如图 是直角三角形， ，点 分别在边 上，且 ， ， ． （1）证明：线段 能组成直角三角形； （2）当 是边 上的中点时，判断： 的位置关系．23．（10分）如图，在 中， ， 平分 ， 于点 ，若 ， ， 求 的长． 24．（12分）已知：如图， 中， ，点A在 轴上，点 点 分别在 轴的负半 轴与正半轴上， ． （1）求点 的坐标． （2）动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点 作 轴，交直线 于点 ，设线段 的长为 ，点 的运动时间为 秒，求 与 的关系式（用 表示 ，不用写出 的取值 范围）． （3）在（2）的条件下，动点 从点 向终点 运动（与点 同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边 （点 按顺时针顺序排列），连接 ，若 ，求 值和 的长． 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据 ， 平分 ，利用勾股定理求出 ，如图，过点P作 交 于点 D，证明 ，得到 ， ，设 ，则 ，利 用勾股定理求出 ，即可求出结果．解： ， 平分 ， ， ， ， 如图，过点P作 交 于点D， 的角平分线 相交于点P， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 解得： ， ， ， 故选：A． 2．D 【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点 作 于点 ，交 于点 ，由正方形的性质可知 、 的长，利用直角三角形面积公式可得 的长，再勾股定理可得 、 的长，最后利 用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键． 解：过点 作 于点 ，交 于点 ， 正方形 面积为5，正方形 面积为1， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， 以 为边长的正方形面积为10． 故选： ． 3．D 【分析】连接 ，交 于点 ，根据折叠的性质可得 垂直平分 ；在 中，由勾股定 理解得 ，再利用三角形面积，由 ，解得 ，易得；再证明 ，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得 ， ，进而可证明 为直角三角形，然后由勾股定理计算 的长即可． 解：连接 ，交 于点 ，如下图， 由折叠的性质可得， 垂直平分 ， 即 ， ， ∵ ， ， 为 的中点， ∴ ， ∴在 中， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴在 中， ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等 知识，证明 为直角三角形是解题关键． 4．B 【分析】作 关于直线 的对称线段 ，根据垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理计算即可． 解：如图，作 关于直线 的对称线段 ， ∵ ， ，点P是底边上的高 上一点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过点P作 于点D， 则 ， ∴ , 过点B作 于点E，交 于点F， ∵ ， ∴当P与点F重合，点D与点E重合时，取得最小值， 且最小值为 ， 故 ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选B． 【点拨】本题考查了轴对称思想，等腰三角形的三线合一性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的特征，熟练掌握垂线段最短，轴对称思想，直角三角形的特征和勾股定 理是解题的关键． 5．D 【分析】如图：过D作 ，设 ，根据直角三角形的性质和勾股定理可得 、 ，再根据直角三角形的性质可得 ，再运用勾股定理可得 ，即 ，最 后代入 即可解答. 解：如图：过D作 ，设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形中 角所对的直 角边等于斜边的一半是解答本题的关键. 6．C 【分析】分别连接 ， ，作 ，交 的延长线于 ，利用等边三角形的性质和全等三角 形的判定与性质得到 ， ；证明 ，则 ，利用等腰三角形的三线合一性质得到 ，从而得到 ， ， ， 四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当 取最大值时，则 等于直径 ，利用勾股定理即可求得结论． 解：如图，分别连接 ， ，作 ，交 的延长线于 ， 和 是等边三角形， ， ， ， ． 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在 和 中，， ， ， ， 点 为 中点， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， 当 取最大值时，则 等于直径 ， 为直径， ， 四边形 为矩形， ， ， 点 在 上， 于 ， ， 两点重合， 此时 为 中点， ， ． ， ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全 等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 7．C 【分析】将 沿着 向左平移使 与 重合，得到 ，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作 关于 的对称点 ，连接 ，此时 的最小值为线段 长，利用勾股定理求解即可得到答案． 解：将 沿着 向左平移使 与 重合，得到 ，如图所示： 由平移性质得到 ， ， 作 关于 的对称点 ，连接 ，如图所示： 由对称性得到 ， ， 由图可知， ，此时，当 三点共线时， 有最 小值，为线段 长， ， ， 在长方形 中， ， ，由矩形性质可得 ， ， 是 的中点， ， 与 关于 的对称， ， 在长方形 中， ， 在 中， ， ， ，由勾股定理得到 ，的最小值 ， 故选：C． 【点拨】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌 握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 8．B 【分析】连接 ，由题意知 ，再由点 、 、 分别是 、 、 的中点， 可得 ， ，即可得出 即可求解． 解：连接 ，如图所示： 点 、 、 分别是 、 、 的中点， ， ， 为等边三角形， 也是等边三角形， ， ， 是 的一个外角， ， 是 的一个外角， ， ， 在 和 中， ，， 同理，可得 ， ， ， ， ， ，解得 ， 故选：B． 【点拨】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三 角形外角性质，正确作出辅助线，得出 是解题的关键． 9．A 【分析】作 交 的延长线于 ，作 交 于 ， ，可得 ，设 ，则 ， ，即 ，解得 ，设 ，则 ， ， ，在 中， ， ，解方程可得 ，从而可得 ， ，设点H到 的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 解：如图所示，作 交 的延长线于 ，作 交 于 ，由翻折的性质可得： ， 为等边三角形， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， ， 解得： ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， 在 中， ， ， 解得： ， ， ， ∴ ，， ， 设点H到 的距离为h， ∵ ， ∴ ， 故选A． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三 角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 10．C 【分析】以 为斜边向下作等腰直角三角形 ，得出 ，进而将 ，用三角形的三边关系得出 最小值为线段 的 长，进而即可得到答案． 解：如图所示，以 为斜边向下作等腰直角三角形 ，连 ， 由勾股定理得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴当 最小即 取最小值时，E必在线段 上，即最小值为线段 的长，此时， ∵ ， ∴ ， ∴在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， 故选：C． 【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，作出辅助线是解决 此题的关键． 11．2 【分析】过点A作 于点 ，过点 作 交于点 ，先证明 和 均为等腰 直角三角形，得到 ，然后证明 ，得到 ，再利用直角三角形的性质 及勾股定理，求出 ，进而得到 ，由此即得答案． 解：如图，过点A作 于点 ，过点 作 交于点 ， ， ， ， ， ， 和 均为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次根式的计算，直角三角形的性质，勾股定理，构 造全等三角形是解答本题的关键． 12． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，通过作辅助线， 构造全等三角形是解题关键．过点 作 ，交 延长线于点 ，先证出 ，根据全等 三角形的性质可得 ，再根据等腰三角形的判定可得 ，从而可得 ， 利用勾股定理可得 ，最后根据线段和差求解即可得． 解：如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，∵ ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 13．1或 【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当 时，根据 及将 折叠， 使点B与点A重合，可得 ，可得到 的面积；当 时，过A作 于H，设 ，则 ，可得 ， ，又 ， 可得 ，再利用勾股定理可得 ，可得到 的面积． 解：当 时，如图： ∵ ， ∴ ， ∵将 折叠，使点B与点A重合， ∴ ， ∴ 的面积是： ； 当 时， 如图，过A作 于H，设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵将 折叠，使点B与点A重合， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ，解得： ， ∴ ，∴ ， ∴ 的面积是： ．． 故答案为：1或 ． 14． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点 作 于 ，利用勾股定理先 求出 ，再求出 ，即可求出 ，进而求出 ，根据 即可求解，掌握等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 解：过点 作 于 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 和 都是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 15． 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于 的对称点 ，连接 ，根据“两点之间线段最短”可知 的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出 的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾 股定理进行计算是解题的关键． 解：如图， 将杯子侧面展开，作A点关于 的对称点 ，连接 ，则 的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长 ，过点 作 于D点， 则 ， ， ， 由题意得 ， ，由勾股定理得 ． 故答案为： ． 16． 或 【分析】存在两种情况，一是点 在 边上，连接 交 于点 ，作 于点 ，则四边 形 是矩形，所以 ，由折叠得点 与点 关于直线 对称，则 垂直平分 ，所 以 ，可证明 ，则 ，由勾股定理得 ，求得 ， 则 ；二是点 在 边的延长线上，连接 交 的延长线于点 ，作 于点 ，则四边形 为矩形，所以 ，可证明 ，则 ，由勾股定 理得 ，求得 ，则 ，于是得到问题的答案． 解：如图1，点 在 边上，连接 交 于点 ，作 于点 ，则 ， 四边形 是边长为 的正方形， ， ， 四边形 是长方形， ， 由折叠得点 与点 关于直线 对称， 垂直平分 ， ， ， ，， ， ，且 ， ， 解得： ， ； 如图 ，点 在 边的延长线上，连接 交 的延长线于点 ，作 于点 ， ， 四边形 为矩形， ， 垂直平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ，且 ， ， 解得：， 综上所述，线段 的长度为 或 ． 故答案为： 或 ． 【点拨】此题考查了折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想 的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 17． 【分析】过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出 ， ，由折叠的性质得： ， ，得出 ，证出 ，得出 又由勾股 定理得 利用面积法构造一元一次方程，即可得出结果． 解：过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ， 由折叠的性质得： ， ， ， ∴ ∴ ∴∴ 设点 到 的距离为 ，则 即 解得： ； 故答案为 ． 【点拨】本题考查了翻折变换的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟 练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解题的关键． 18． 或 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质， 分 和 两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键． 解：如图，当 时，延长 交 于点 ， 与 相交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由折叠得， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ， ， ∴ ，∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ； 当 时，如图，设 与 相交于点 ， 由折叠可得， ， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上， 的长是 或 ， 故答案为： 或 ． 19．（1）证明见分析；；（2） ，理由见分析． 【分析】（ ）由等边三角形的性质得出 ， ， ，再利用 证 明 ，再通过性质证明 ， ，最后利用 即可求证； （ ）过 作 于点 ，利用含 角直角三角形的性质和求面积的法即可求解； 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和含 角直角三角形的性质，解题的关键 是熟练掌握以上知识点的应用． 解：（1）∵ ， ， 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ； （2） ，理由， 过 作 于点 ，∵ ， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 20．（1） ；（2）见分析；（3） ，证明见分析 【分析】（1）根据题意利用角平分线性质可得 ，再利用三角形内角和定理即可得出 ，继而得到本题答案； （2）根据题意在 上取一点 ，使得 ，连接 ，证明 ，再利用全等性质 及其他条件证明 ，再利用角度关系即可得到本题答案； （3）由（2）知， ，连接 ，因为角平分线性质可得 ，在 中应用勾股定理即可得到本题答案． （1）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ，且 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ （SAS）， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∵由（1）知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ，在 和 中， ， ∴ （SAS）， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）解：连接 ， ， 由（2）知： ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ， ∴在 中： ， ∴ ． 【点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线性质，垂直的定义，等腰三角形性质，全等三角形性 质及判定． 21．（1）详见分析；（2） 的边长为 ；（3） 的值为 或 ． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面 积之比等于底之比是解题的关键，同时渗透了分类思想． （1）利用 证明 ，得 ；（2）由（1）知 ，则 ，作 于 ，利用含30度角的直角三 角形的性质以及勾股定理即可得出答案； （3）分 或 两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比即可得出答案． 解：（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， 作 于 ， ， ， ， ， ， 的边长为 ；（3）解：如图，当 时， ， ， ， ， 此时 ， ，则 ， ， ， ， 的值为 ； 由等边三角形的对称性知，当 ，时，仍然有 ， 同理可得 的值为 ， 综上所述： 的值为 或 ．22．（1）证明见分析；（2） ，理由见分析． 【分析】（ ）根据勾股逆定理即可求证； （ ）延长 ，使得 ，连接 ，证明 ，得到 ， ，得到 ，根据平行线的性质得到 ，由勾股定理得到 ，进而 得到 ，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正 确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 解：（1）证明：∵ ， ， ∴ ， ∴线段 能组成直角三角形； （2）解： ． 理由：延长 ，使得 ，连接 ， ∵ 是边 上的中点， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴在 中， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 23． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，延长 到 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，由等腰三角形的性 质得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，由平行线的性质 得到 ，利用勾股定理即可求解，读懂题意，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 24．（1） ；（2） ；（3） ， 或 ， 【分析】（1）根据点C的坐标得出 的长度，再结合含 角的直角三角形， 角所对的边是斜 边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质可知 ，再结合含 角的直角三角形， 角所对的边是 斜边的一半即可得出关系式； （3）分两种情况进行讨论，当点H在x轴下方时和当点H在x轴上方时，画出辅助线，根据等边三角 形的性质构建全等三角形即可进行解答． （1）解：∵ 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，根据勾股定理可得： ，∴ ， 在 中，根据勾股定理可得： ， ∴ ． （2）解：如图： ∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴ ， ∴ ， ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （3）解：当点H在x轴下方时，如图：在x轴上截取 ，连接 ，如图所示： ∵ ， ， ∴ 为等边三角形，则 ， ∵ 为等边三角形，∴ ， ∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， 当 时， ， 根据勾股定理得： ， ∴ ， ． 当点H在x轴上方时，如图：在x轴上截取 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形，则 ， ∵ 为等边三角形， ∴ ，∴ ，即 ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ，， ∴ ， 解得： ， 当 时， ， 根据勾股定理得： ， ∴ ， ． 综上： ， 或 ， ． 【点拨】本题主要考查了三角形的综合问题，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，含角的直角三 角形三边之间关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数 形结合，注意进行分类讨论．