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第16章 二次根式 单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（ ）2＝2 B． ＝﹣2 C． ＝2 D．（﹣ ）2＝﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质分别计算得出答案．
【解答】解：A、（ ）2＝2，故此选项符合题意；
B、 ＝2，故此选项不合题意；
C、 ＝2 ，故此选项不合题意；
D、（﹣ ）2＝2，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）若式子 有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得 x﹣
3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，
解得：x≥2，且x≠3，
故选：D．
3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能
开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
【解答】解：A、 ＝ ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，符合题意；
C、 ＝2 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ＝2 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）当x满足一定条件时，式子 在实数范围内有意义，这个条件是（ ）
A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3
【分析】代数式中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式和分式有意义的条件：
被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．
【解答】解：由题可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，解得x≥3，x≠3，
∴x＞3，
即当x＞3时，式子 在实数范围内有意义．
故选：B．
5．（3分）下列各式中，是 的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可．
【解答】解： 的有理化因式是a﹣2 ．
故选：D．
6．（3分）若 +b2﹣2b+1＝0，则a﹣b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性确定a和b的值，然后代入计算．
【解答】解：∵ +b2﹣2b+1＝0，
∴ +（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
所以a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：B．
7．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则 + 化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由数轴上点的位置，得
4＜a＜8．
+ ＝a﹣3+10﹣a＝7，
故选：A．
8．（3分）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，
若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应
的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【分析】由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由此可确定出2020所对应的点．
【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，
3所对应的点是C，4所对应的点是D，
∴四次一循环，
∵2020÷4＝505，
∴2020所对应的点是D，
故选：D．
9．（3分）下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、 不能与 合并，本选项不合题意；
B、 ＝ ＝2 ，不能与 合并，本选项不合题意；
C、 ＝ ＝2 ，不能与 合并，本选项不合题意；
D、 ＝ ＝2 ，能与 合并，本选项符合题意；
故选：D．
10．（3分）估计 ﹣1的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数 的大小，进而估算 ﹣1的大小即
可．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，即3＜ ＜4，
∴3﹣1＜ ﹣1＜4﹣1，
即2＜ ﹣1＜3，
故选：B．
11．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．2 ×3 ＝6 C．（x2）5＝x10 D．x5•x6＝x30
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；利用二次根式的乘法法则对B进行判断；
根据幂的乘方对C进行判断；根据同底数幂的乘法对D进行判断．
【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝6a，所以B选项错误；
C、原式＝x10，所以C选项正确；
D、原式＝x11，所以D选项错误．
故选：C．
12．（3分）下列语句正确的有（ ）个
① 的平方根是±4；②一对相反数的立方根之和为0；③平方根等于本身的数有1和0； ④ 与 是同类二次根式．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判
断即可．
【解答】解： ＝16，16的平方根是±4，①正确；
一对相反数的立方根之和为0，②正确；
平方根等于本身的数是0，③错误；
与 是同类二次根式，④正确．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
13．（3分）若式子 有意义，则实数a的取值范围是 a ≥﹣ 2 且 a ≠ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出a+2≥0且a﹣1≠0，再求出答
案即可．
【解答】解：∵式子 有意义，
∴a+2≥0且a﹣1≠0，
解得：a≥﹣2且a≠1，
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
14．（3分）﹣22÷2﹣2+（ ）﹣1﹣（2tan60°﹣2017）0+ × + ＝ ﹣ 1 7 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的混合运算法则
分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4÷ +2﹣1+2 +
＝﹣16+2﹣1+2 ﹣2（1+ ）
＝﹣16+2﹣1+2 ﹣2﹣2
＝﹣17．
故答案为：﹣17．
15．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】先算 、 ﹣ 的倒数值，再比较 、 ﹣ 的值，判断即可．
【解答】解：∵ ＝ ＝ +2，
＝ ＝2+ ，
∵ +2＞ +2，∴ ﹣ ＜ ﹣ ，
故答案为＜．
16．（3分）若x＝ ，则x2+2x﹣1的值为 0 ．
【分析】先分母有理化得到x＝ ﹣1，移项得x+1＝ ，两边平方可得到x2+2x＝1，
然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝ ＝ ﹣1，
∴x+1＝ ，
∴（x+1）2＝2，
即x2+2x+1＝2，
∴x2+2x＝1，
∴x2+2x﹣1＝1﹣1＝0．
故答案为0．
17．（3分）一个长方形的长和面积分别是 和4 ，则这个长方形的宽为 2 ．
【分析】利用长方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由题意知：长方形的宽为： ＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
18．（3分）若 是正整数，则整数n的最小值为 6 ．
【分析】先求出24n＝22×6n，再根据已知条件得出答案即可．
【解答】解：∵
又∵n是正整数， 是整数，
∴n的最小值是6，
故答案为：6．
19．（3分）计算： ＝ 3 ﹣ ﹣ 5 ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝3 ﹣ ﹣5 ．
故答案为：3 ﹣ ﹣5 ．
20．（3分）若 +（y﹣1）2＝0，则（x+y）2021等于 ﹣ 1 ．
【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵ +（y﹣1）2＝0，∴x+2＝0，y﹣1＝0，
解得：x＝﹣2，y＝1，
则原式＝（﹣2+1）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
21．（3分）若实数x，y满足|x﹣3|+ ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周
长是 1 5 ．
【分析】根据绝对值及偶次方非负可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三
角形的三边长度，将其相加即可得出结论．
【解答】解：∵实数x，y满足|x﹣3|+ ＝0，
∴x＝3，y＝6．
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为3+6+6＝15．
故答案为15．
22．（3分）观察下列各式： ， ， ，针对上述
各 式 反 映 的 规 律 ， 写 出 用 n （ n 为 自 然 数 ， 且 n≥ 2 ） 表 示 的 等 式
．
【分析】把给定的等式变形得2 ＝2 ＝ ，…，其中分母为分子的
平分减1，这样易得到用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．
【解答】解：∵2 ＝2 ＝ ，
3 ＝3 ＝ ，
4 ＝4 ＝ ，
…
∴上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式为：n ＝
．
故答案为：n ＝ ．三．解答题（共6小题，满分54分）
23．（16分）计算： ﹣ ﹣（ ）﹣1÷ +（1﹣ ）2．
【分析】先根据负整数指数幂的意义、完全平方公式计算和除法运算化为乘法运算，再
分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2 + ﹣3× +1﹣2 +2
＝2 +2+ ﹣ +3﹣2
＝5．
24．（6分）（1）计算：（ ）﹣1+|1﹣ |﹣ ；
（2）计算：（ ﹣1）2﹣（ ﹣ ）（ + ）．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化
简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3+ ﹣1﹣
＝2；
（2）原式＝（ ）2﹣2 +1﹣（5﹣2）
＝2﹣2 +1﹣3
＝﹣2 ．
25．（7分）先化简，再求值： ，其中x＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（ + ）•
＝ •
＝ •
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
26．（7分）三角形的周长为（5 +2 ）cm，面积为（20 +4 ）cm2，已知两边的
长分别为 cm和 cm，求：（1）第三边的长；
（2）第三边上的高．【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
（2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高．
【解答】解：（1）∵三角形周长为 cm，两边长分别为 cm 和
cm，
∴第三边的长是： cm；
（2）∵面积为（20 +4 ）cm2，
∴第三边上的高为 ＝ ＝（ ）cm．
27．（8分）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，
∴
＝﹣b﹣（a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）
＝﹣b﹣a+b+a﹣c+c
＝0．
28．（10分）计算|﹣ |+（ ﹣ ）2﹣（ + ）2．
【分析】分别运用绝对值的性质和乘法公式展开再合并即可．
【解答】解：解法一，原式＝ +[（ ）²﹣ + ]﹣[（ ）²+ + ]
＝ +（2﹣ + ）﹣（2+ + ）
＝ +2﹣ + ﹣2﹣ ﹣
＝﹣ ．
解法二，原式＝ +（ ﹣ + + ）（ ﹣ ﹣ ﹣ ）
＝ +2 ×（﹣1）
＝ ﹣2
＝﹣ ．
