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班级 姓名 学号 分数
第十六章 二次根式（A卷·知识通关练）
核心知识1二次根式的定义
1．（2021秋•古县期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
√n2 √−4 √38 √3−π
2．（2022秋•射洪市期中）下列式子是二次根式的有（ ）个
√3
√a； ；√3 52；√−3；√x2−2xy+ y2；√−4×(−3)
2
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋•诏安县期中）给出下列各式： ；②6； ；④ （m≤0）；⑤ ；
①√32 ③√−12 √−m √a2+1
⑥√35．其中二次根式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
核心知识2二次根式有意义的条件
1．（2022•浉河区校级模拟）若代数式√3x−1有意义，则实数x的取值范围是 ．
√x
2．（2022秋•江北区期中）代数式 有意义的条件是（ ）
x−1
A．x≠1 B．x≥0 C．x≥0 且 x≠1 D．0≤x≤1
√3x+9
3．（2022秋•顺庆区月考）要使式子 有意义，x的取值范围是（ ）
x−2
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x＞﹣3且x≠2 D．x≤﹣3且x≠2
3
4．（2022•阳信县模拟）代数式 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
√1−x
A． B．C． D．
5．（2021秋•惠民县期末）若式子(x−1) 0在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
√x+1
1
6．（2022春•灵宝市月考）若式子√−a+ 有意义，则点P（a，b）在（ ）
√b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
核心知识3二次根式的性质与化简
1．（2021秋•遂宁期末）下列等式正确的是（ ）
A．√ 9 ±3 B．√ 7 11 C． 3 D．√ 1 2 1
= −1 = √3−27= (− ) =
16 4 9 3 3 3
2．（2022秋•莲湖区校级月考）计算下列各式：
√ 7 √ 9
（1） 2 ； （2）√0.81−√0.04； （3）√412−402； （4） 1− ．
9 25
3．（2022秋•偃师市月考）化简|a﹣3|+（√1−a）2的结果为 ．
4．（2022秋•崇川区校级月考）若 2、5、n为三角形的三边长，则化简 的结果为
√(3−n) 2+√(8−n) 2
（ ）
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
5．（2022秋•金水区校级期中）当a＝2022时，求a 的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
+√a2−2a+1
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；（3）当a＞3时，求 |1﹣a|的值．
√a2−6a+9−
6．（2022 秋•农安县期中）已知，如图所示，实数 a、b、c 在数轴上的位置．化简：
．
√a2−|a−b|+√(c−a) 2+|b+c|
7．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式 的值是2，求a的取值范围．
√(a−1) 2+√(a−3) 2
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
（1）当2≤a≤5时，化简： ；
√(a−2) 2+√(a−5) 2=
（2）若等式 成立，求a的取值范围．
√(3−a) 2+√(a−7) 2=4核心知识4 最简二次根式
1．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
√ 1
A．√a2b4 B． C．√a2+b2 D．√20a
2a
√a
2．（2022秋•虹口区校级月考）在√0.2，√12，√5， ，√a2b中，最简二次根式有 个．
2
3．（2022春•莱西市期中）将√4.5化为最简二次根式为 ．
√ 5
4．（2022秋•临汾期中） 化为最简二次根式是 ．
16
√1
5．（2022秋•晋江市校级期中）6 化简为最简二次根式的结果是 ．
3
6．（2022秋•虹口区校级月考）将√a2b3（a＞0，b＞0）化为最简二次根式： ．
4
核心知识5 二次根式的乘除
1．（2022春•新洲区校级月考）计算：√18= ，(2√7) 2= ，
√4
= ．
3
√12
2．（2022秋•南关区校级月考）计算：2√2× ÷√6= ．
4
3．（2022秋•闵行区校级期中）如果 • 成立，那么x的取值范围是 ．
√4x2−1=√2x+1 √2x−14 √3 2√12
4．（2022秋•青浦区校级期中）计算： ÷ = ．
3 5 3 5
5．（2022秋•蒲江县校级期中）如果a＜0，b＜0，那么下列各式，①√a √a；②√a √b 1；③
= × =
b √b b a
√a
√ab÷ =−b，④(√ab) 2=−ab，正确的有 ．
b
√ 1
6．（2022春•朔州月考）把（1﹣a） − 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
1−a
7．（2022•迁安市二模）已知√2×√12=√2×a√3=a√b，则a＝ ；b＝ ．
8．计算：
√ 2 √5
（1）2√14×3√7 （2） 1 ÷
3 6
（3） √9 √54 √3 （4） 3 1√b ．
÷ × √ab3 ⋅(− √a3b)÷( )
√12 12 6 2 3 a
核心知识6 同类二次根式
1．（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是（ ）
√3
A．√12 B．√16 C．√18 D．
2
2．（2022秋•静安区校级期中）下列二次根式中，不能与√2合并的是（ ）
√1
A． B．√2a2 (a≠0) C．√18 D．√0.2
23．（2022秋•萧县期中）若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（ ）
1 3
A．5 B． C．﹣2 D．
3 2
4．（2022秋•杨浦区期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的组是（ ）
√a √5
A． 与√ab3 B． 与√20a3b2
b a
C． 与 D．√ 4c 与√9a
√4ab √8ab3
a3b bc
5．（2022秋•射洪市期中）若二次根式a+ √b 4b与最简二次根式√3a+b是同类二次根式，则a、b的值分别为
（ ）
A．a＝0，b＝2 B．a＝1，b＝1 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝0
核心知识7 二次根式的加减
√1
1．（2022秋•南岗区校级期中）计算6 −√27的结果是 ．
3
√1
2．（2022秋•铁西区期中）计算：√24+6 = ．
6
√1
3．（2022•阿城区模拟）计算：√12−(√27+ )= ．
3
4．计算下列各式：
√2 √9 √1 √1
（1）√5−√6−√20+ + （2）√12−√0.5−2 − +√18
3 5 3 8
√3 √a 1 2 √ y √ x √1
（3）√27a−a +3 + √75a3 （4） x√9x+6x + y −x2 ．
a 3 2a 3 x y x5．计算下列各题：
√1 √2 √1
（1）(√32+√12)−( +√27)； （2）（√24−√0.5+3 ）﹣（ −√6）．
2 3 8
核心知识8 二次根式的混合运算
1．（2022秋•桐柏县期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
√2+√3=√5 (2√3) 2=6 √(−2) 2=−2 √32÷√2=4
2．（2021秋•洪洞县期末）计算：(√13+√2)(√13−√2)的结果是 ．
3．（2021秋•武宣县期末）(√32+√2)÷√8= ．
√1
4．（2022秋•新华区校级期中）计算√48+6 −（√3+2）（√3−2）＝（ ）
3
A．2√3+1 B．2√3−1 C．6√3+1 D．6√3−1
5．（2022秋•北碚区校级月考）计算：
（1）(√48+√20)−(√12−√5)； （2）√20+√5(2+√5)；
√1
（ 3 ） √48÷√3−2 ×√30+(2√2+√3) 2； （ 4 ）
5
．
(2−√3) 2017 (2+√3) 2018−|−√3|−(−√2) 06．（2022秋•北碚区校级月考）计算：
（1） (1−√2) 0+|2−√5|+(−1) 2022× 1 ×√45 ； （2） 2√2×3√10+√45+ √ 1 1 − 1 ；
3 4 2−√5
4 √3
（ 3 ） (√3−1) 2− −√3(√3− )； （ 4 ）
√3−1 3
1
√ (1−√2) 2 − −(√48−√24)+√6．
2−√3
核心知识9二次根式的化简求值
1．（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：(a−√3)(a+√3)−a(a−4)，其中：a=√3+1．
x−y x−2√xy+ y 1
2．（2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x−√y 53．（2022春•灵宝市月考）若a=√5+1，b=√5−1，求下列代数式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣ab+b2．
1
4．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2−√3，b= ，求√a2−2ab+b2的值．
2−√3
√a √b
5．（2022秋•虹口区校级期中）已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：a +b 的值．
b a
6．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−√3，y＝2+√3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
核心知识10二次根式的实际应用
1．（2022春•临淄区期末）已知一个矩形面积是√24，一边长是√2，则另一边长是（ ）A．12 B．2√3 C．√6 D．3√2
2．（2022秋•郸城县月考）若等腰三角形的两边长分别为√12和√50，则这个三角形的周长为（ ）
A．2√3+10√2 B．4√3+5√2
C．4√3+10√2 D．4√3+5√2或2√3+10√2
3．（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴
影部分的面积为（ ）
A．6√10cm2 B．21cm2 C．2√15cm2 D．4√6cm2
4．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制
作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
5．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形 ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为
√162m，宽AB为√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛
的长为（√13+1）m，宽为（√13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺
完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？核心知识11 新定义运算问题
1．（2022 春•交城县期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数 a•b ，例如 10•21
=√a2+b
11，那么 的运算结果为（ ）
=√102+21= √13⋅(√7⋅2)
A．13 B．7 C．4 D．5
2．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当
a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{√30，a}＝a，min{√30，b}=√30，且a
和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14]＝3，[√3]＝1，并且规定一个实数减去它
3
的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
（1）[√8（√5−√2）]＝ ，√8（√5−√2）的小数部分为 ；
（2）已知a，b分别是5−√5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
4．（2021春•江都区期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※√3；
（2）若3※m＜﹣6，化简 ．
√(2−m) 2+(√−m−2) 2
5．（2022春•铜梁区校级期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一
个式子的平方．
例如：3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a+b√2=（m+n√2）2，则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．
a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若a+b√5=（m+n√5）2，用含m、n的式子分别表示a、b，
则：a＝ ，b＝ ；
（2）若a+6√7=（m+n√7）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）直接写出式子√49+20√6化简的结果．
核心知识12探究规律性问题
1．观察下列各式子，并回答下面的问题：
第一个： 第二个： 第三个： 第四个：
√12−1 √22−2 √32−3 √42−4
…
（1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？（2）你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由．
2．观察下列等式：
① ＝1×3；② ；③5×7 ；
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式： ＝ × ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
3．（2021秋•平阴县期末）阅读下面问题：
1 1×(√2−1) ；
= =√2−1
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 1×(√3−√2) ；
= =√3−√2
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 1×(√4−√3) ．
= =√4−√3
√4+√3 (√4+√3)(√4−√3)
1
试求：（1）求 = ；
√7+√6
1
（2）当n为正整数时 = ；
√n+1+√n1 1 1 1 1
（3） + + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
4．（2022秋•福田区期中）观察下列二次根式的化简
S √ 1 1 1 1 1，
1= 1+ + = + −
12 22 1 2
S √ 1 1 √ 1 1 （1 1 1）+（1 1 1），
2= 1+ + + 1+ + = + − + −
12 22 22 32 1 2 2 3
S √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 （1 1 1）+（1 1 1）+（1 1 1），则 S （
3= 1+ + + 1+ + + 1+ + = + − + − + − 2022 =
12 22 22 32 32 42 1 2 2 3 3 4 2022
）
2022 2024 1 1
A． B． C． D．
2021 2023 2022 2024
1
5．（2022春•东莞市期中）小芳在解决问题：已知a= ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
2+√3
1 2−√3
a= = =2−√3，∴a＝2−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯+ ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
1
（2）若a= ．
√2−1
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；②求a3﹣3a2+a+1的值．
