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第8 章 二元一次方程组（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．关于x，y的两个方程组 和 有相同的解，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 中每一个数值只能取2、0、 中的一个，且满足 ，
，则 中0的个数是（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
3．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 ， ， ，那么 的最
大值是（ ）
A． B． C． D．１
4．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
5．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．
现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值
可能是（ ）
A．200 B．201 C．202 D．203
6．解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是( )A．加减法消去x，将①－③×3与②－③×2
B．加减法消去y，将①＋③与①×3＋②
C．加减法消去z，将①＋②与③＋②
D．代入法消去x，y，z中的任何一个
7．已知关于x，y的方程组 ，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数， 的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当 时，
D．当 ，方程组的解也是方程 的解
8．对于实数 ， ，定义新运算 ，其中 ， 为常数，等式右边为通常的加法和
乘法运算，若 ， ，则 （ ）
A．40 B．41 C．45 D．46
9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组
是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图
1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 的系数与相应的常数项。把图1所示
的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 ，在图2所示的算筹图中有
一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中 的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B． C． D．
10． 增删算法统宗 记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几
何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好 步，长与宽之和等于 步．
试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为 步，宽为 步，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若 是方程组 的解，则代数式 的值是 ．
12．设 ， ，其中 ， 是正整数且 ，若 与 互补，则
．
13．若关于x、y的方程 的解满足 ，
（1）y的值为 ；
（2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．
14．二元一次方程组有可能无解，例如方程组 无解，原因是：将 ，得
，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于 ， 的方程组 无解，则
， 满足的条件是 ．
15．现有 ， ， ， ， 五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取 ， 卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 ，则取的两张卡片为 ．
16．关于a、b、x、y的多项式2021am+6bn﹣3xmyn+a3mb2n﹣3﹣4xn﹣1y2m﹣4（其中m、n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn＝ ．
17．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去
180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为
里/小时．
18．在某商场举行的“清凉一夏欢乐购”促销活动中，小杨购买了单价为5元的甲种商品m件，单
价为17元的乙种商品n件，共用了203元．那么 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知 是方程 的解，
（1）求 的值．
（2）请将方程 变形为用 的代数式表示 ．
20．（8分）已知关于x，y的方程组 和 有相同解，求 的值．
21．（10分）计算：
(1) ； (2) ．
（3）定义：二元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一方程”．如：二
元一次方程 与二元一次方程 互为“反对称二元一方程”．
①直接写出二元一次方程 的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程 的
解 又是它的“反对称二元一方程”的解，求出 的值；22．（10分）关于 的二元一次方程组
（1）是否存在 的值，使方程组的解为 ．若存在，请求 的值；若不存在，请说明理由．
（2）当 的值互为相反数时，求 的值．
（3）当 取不同的值时，代数式 的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，
请说明理由．
23．（10分）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如
下表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型
节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
24．（12分）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的
原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
（1）如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2
元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品
的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：甲： 乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y， ， 表示的意义，然后在等式右边
补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示 ，y表示 ；乙： 表示 ， 表示 ；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
（2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购
买 c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，
求需要再购买多少吨的原料？参考答案：
1．A
【分析】由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组 和 ，先计算不含参的
二元一次方程组 ，得 的值，然后代入含参的二元一次方程组 ，求 的值，
然后代入求解即可．
【详解】解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组 和 有相同的解
解方程组
② ①得
将 代入①式得
解得
∴方程组的解为
将 代入方程组 得
解关于 的方程组
③ ④得
解得
将 代入③式得
解得
∴方程组的解为∴
故选A．
【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程．解题的关键在于将两个方程组重新组成新的方程组求
解．
2．C
【分析】先设有 个 取 ， 个 取2，根据 ， 可得出关于 ，
的二元一次方程组，求出 ， 的值即可．
【详解】解：设有 个 取 ， 个 取2，有 ，
解得 ，
所以0的个数是 （个）．
故选：C
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于 、 的二元一次方程组是解答此题的关键
3．B
【分析】根据题意得 ， ， ，代入 ，已知 是正整数，其最小值为1，
于是 的最大值是 ．
【详解】解： ，
，
又 ， ， ，
， ， ，
，
是正整数，其最小值为1，
的最大值是 ．
故选：B．
【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把
“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转
化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，
认准易消的未知数，消去未知数，组成元该未知数的二元一次方程组．4．C
【分析】将方程组变形为 ，进而可得到 ，求解即可．
【详解】解：方程组 变形为 ，
∴由题意知， ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键．
5．A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组 ，把两个方程
的两边分别相加得 ，易知 的值一定是5的倍数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴ 一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴ 的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出，是解答本题的关键.
6．C
【分析】根据加减消元的方法,当未知数的系数相等或互为相反数时即可进行加减消元.据此即可解题.
【详解】解：∵三个方程中z的系数已经相等或互为相反数,
∴第一次消去未知数的最佳方法是加减法消去z，将①＋②与③＋②
故选C.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉加减消元法的应用条件是解题关键.
7．D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解： ，解得： ，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值， ，值始终不变，成立；
B选项， ，解得 ，存在这样的实数k，成立；
C选项， ，解得 ，成立；
D选项，当 时， ，则 ，不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有
参数）是解决本题的关键．
8．B
【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
解得：
∴ =41故选B．
【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是
解决此题的关键．
9．C
【分析】根据 ，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方
程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“ ”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示
的数字为 ，列出方程组求解即可.
【详解】由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示
1，“—”表示10，“ ”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为 ，则有：
将 代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出 代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是
解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
10．B
【分析】由“长方形田地的面积除以长与宽之差刚好 步，长与宽之和等于 步”即可得出方程组，此
题得解．
【详解】设这块田地的长为 步，宽为 步，
依题意得： ．
故选： ．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
11．35【分析】根据题意可得 ，再利用因式分解代入计算即可．
【详解】解：∵ 是方程组 的解，
∴ ，
∴ ，
故填：35．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及因式分解，利用整体法求代数式的值．
12．
【分析】 与 互补，得到关于a、b的二元一次方程，找到方程的正整数解，即可求得 .
【详解】由题意得： + = ，
即 + = ，
，
，
、 是正整数且 ，
，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程的特殊解，由两角互补得到二元一次方程是解答此题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值：
（1）根据题意可得方程组 ，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意可知该图案的面积等于一个长方形面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形面积，
据此先列出代数式，再把x、y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴该图案的面积
，
故答案为： ．
14． 且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
【详解】解：∵关于 ， 的方程组 无解，
，得 ，
∴ ，解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
15． B和C
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；
（2）把解代入卡片逐项验证即可．
【详解】（1）解：
得
，
把 代入①得
，
解得 ；
（2）把 代入 ， ， ， ， 五张卡片中，
可得 ， ， 不成立，
代入B得： ，成立，
代入C得： ，成立，
故答案为：B和C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．
16． 或 / 或
【分析】分两种情况讨论：当 是同类项时，当 是同类项时，再根据
同类项的定义列方程组，解方程组可得答案.
【详解】解：当 是同类项时，
可得：经检验：符合题意；
当 是同类项时，
则
解得：
经检验，符合题意；
故答案为： 或
【点睛】本题考查的是同类项的概念，二元一次方程组的解法，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也
相同的单项式是同类项”是解题的关键.
17．60
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，
逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】戴宗顺风行走的速度为： （里/小时），
戴宗逆风行走的速度为： （里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：
解得：
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点睛】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
18．
【分析】根据购买两种商品共用203元，可二元一次方程，求出自然数解即可．【详解】解：依题意得： ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴ 为5的倍数，
∴满足 的自然数解为：
，此时
或
时 ，
综上所述： 的最大值是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，掌握二元一次方程的整数解求法是解题关键．
19．(1)8
(2)
【分析】（1）将 代入原方程，可得出关于 的一元一次方程，解之即可得出 的值；
（2）将 代入原方程，整理后，即可用还含 的代数式表示 ．
【详解】（1）解：将 代入原方程得： ，
解得： ，
的值为8；
（2）解：当 时，原方程为 ，
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关
键．20．
【分析】先求出方程组 的解，再把 代入 得出 ，求出
a、b的值，最后把a、b的值代入 计算即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组 和 有相同解，
∴解方程组 得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次
方程是解本题的关键．
21．(1) ；
(2) ．
(3)① ②
【分析】（1）利用代入消元法求解即可．
（2）利用加减消元法求解即可．
（3）①根据定义解答即可．
②根据定义计算，解方程即可．
【详解】（1） ，把①代入②，得 ，
解得 ，
把 代入①得
，
故方程组的解为 ．
（2） ，
，得 ，
解得 ，
把 代入①得
，
故方程组的解为 ．
（3）①∵ 中 ，
∴其反对称二元一次方程 ，
故答案为： ．
② 是 的解，
，
的“反对称二元一方程”为
且 是 的解，
．
【点睛】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新
定义方程问题时解题的关键．22．(1)不存在，理由见解析
(2)存在， 的值为8
(3)代数式 的值为定值
【分析】（1）将 分别代入两个方程，求出 的值再对比即可得出答案；
（2）根据题意可知 ，再和 联立，求解即可得出答案；
（3）要取定值就要消去a，故由② ①得 ，再化简即可得出答案
【详解】（1）不存在
理由：把 代入方程①，得： ，
解得 的值，
把 代入方程②，得： ，
解得 的值，
因为 ，所以不存在 的值，使方程组的解为 ．
（2）存在， 的值为8，理由如下：
由题得 ，
则可得 解得
所以 的值为8．
（3）代数式 的值为定值．
理由：由② ①得整理得： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，根据式子特点选择合适的解题方法是解题的关键．
23．（1）可以购进甲种节能灯 只；（2）乙型节能灯需打 折.
【分析】（1）设甲种节能灯购进 只，则乙种节能灯购进( 只，根据甲型、乙型的进货价格列出方
程，再进行求解即可；
（2）设乙型节能灯需打 折,利用：售价-进价＝利润，进价 利润率＝利润，列出方程解方程即可求得.
【详解】（1）设甲种节能灯购进 只，乙种节能灯购进( 只，
依题意得， ，
解得： ，
答：可以购进甲种节能灯 只；
（2）设乙型节能灯需打 折,
依题意得： ，即：
解得：
答：乙型节能灯需打 折
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知
数，列出方程．
24．(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800
(2)8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 ， 的值并补全方程组即可；
②将 的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出 的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：甲： 表示产品的重量， 表示原料的重量，
乙： 表示产品销售额， 表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：乙： ，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将 代入原方程组解得 ，
产品销售额为 元，
原料费为 元，
运费为 元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）解：设工厂原计划从 地购买的原料为 吨，则送往 地的产品为 吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，
．
解得： ．
则原料的总重量为： 吨，产品的总重量为： 吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得： ．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
