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培优专题 05 细究整式的的规律探究题
【专题精讲】
专题精讲
近年来与整式相关的中考题,改变了以往单一的整式计算,出现了整式的规律探究
题,这类题新颖别致,主要考查数感对于图形的理解以及观察问题和解决问题的能
力.对给出的式或图认真观察、大胆猜想、反复验证,找到其中内在的规律,是解
决此类问题的关键。
一、探究常见类型
(1)单项式的系数及次数变化类;
(2)多项式的项及次数变化类;
(3)数字变化规律类;
(4)图形变化规律类.
二、数式常见规律
一般地,用n表示正整数,从1开始,偶数用2n表示,奇数用2m-1或2m+1表示
①正方形数:1,4,9,16,…,n²;
n)(n＋1)
②三角形数:1,3,6,10，
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③连续奇数的和:1+3+5+…+(2n-1)＝n²
④连续偶数和:2+4+6+…+2n＝n(n+1)
1
⑤连续整数的平方和:1²+2²+3²+…+n²= n(n+1)(2n+1);
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⑥连续整数的立方和:1³+2³+3³+…+n³= n²(n+1)²
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◎类型一：单项式的系数及次数变化类
1．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式：3 ， ， ，
， ，…，第8个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学七年级期中）观察下面一列数：x，-2x2，3x3，-4x4，5x5，-
6x6，……，根据你发现的规律，第n个数是（ ）
A．nxn B．-nxn C． D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，
， ，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·辽宁大连·七年级期末）按一定规律排列的单项式：2x，-3x2，4x3，-5x4，6x5，-
7x6，…第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
◎类型二：多项式的项及次数变化类
5．（2022·云南·昆明市第三中学七年级期末）一组按规律排列的多项式： ， ，
， ，……，其中第10个式子的次数是（ ）
A．10 B．17 C．19 D．21
6．（2022·广东深圳·七年级期末）多项式按规律排列：ab2，a2b3，a3b4……．则第100
个多项式的次数是_________．
7．（2021·全国·七年级课时练习）有一组多项式： ， ， ，
，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 个多项式为________．
8．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨
辉三角”（如图），此图揭示了 （n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例
如：请写出 展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
9．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）
n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三
角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．2048 B．1024 C．512 D．256
◎类型三：数字变化规律类
10．（2022·西藏·中考真题）按一定规律排列的一组数据： ， ， ， ， ，
，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A． B． C． D．11．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需
要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，
我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推
算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
12．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据： ， ，□， ， ， ，
…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，
，…，第 个单项式是（ ）
A． B． C． D．
◎类型四：图形变化规律类
14．（2022·山东济宁·中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅
图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规
律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
15．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1
个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，
则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
16．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5
个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
17．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第 个图树枝数用 表示，
则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固训练】
1．（2022·全国·七年级专题练习）观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，
7x4，9x5，11x6…按照上述规律第2021个单项式是（ ）
A．2021x2021 B．4041x2020 C．4041x2021 D．4043x2021
2．（2022·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：2x，4x3，8x5，16x7，32x9，
64x11，…，则第n个单项式是（ ）
A．2nxn＋1 B．2nxn－1 C．2nx2n－1 D．2nx2n＋1
3．（2020·甘肃天水·中考真题）观察等式： ； ；
；…已知按一定规律排列的一组数： ，若
，用含 的式子表示这组数据的和是( )
A． B． C． D．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式：
根据其中的规律可得
的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
5．（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律
摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）A．59 B．65 C．70 D．71
6．（2020·重庆·中考真题）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有
1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，
按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．10 B．15 C．18 D．21
