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专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候
还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号 之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号 之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，
进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ， （ 为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…， （ 为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…， （ 为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （ 为正整数）．
5） ， ， ， ， ， ，…， （ 为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…， .
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.
题型1：数列的规律
1．（2022·山东烟台·期末）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，……，第n个单项式是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先观察系数与指数的规律，再根据规律定出第n个单项式即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，……，
∴系数是奇数项为-1，偶数项为1，即系数的规律是(-1)n-1,
指数的规律为2n+1，
∴第n个单项式为 ，故选：B．
【点睛】本题考查数式的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
2．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，那么22021的个
位数字是（ )．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】观察不难发现，2n的个位数字分别为2、4、8、6，每4个数为一个循环，用2021÷4，根据余数
的情况确定答案即可．
【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，
∴个位数字分别为2、4、8、6依次循环，
∵2021÷4=505……1，
∴22021的个位数字与21个位数字相同，即22021的个位数字是2，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了尾数特征，观察数据发现每4个数为一个循环，个位数字依次循环，是解题的关
键．
3．（2022·山东泰安·期中）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…，这样的数称为“三角形数”，
而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．则第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和是
（ ）
A．35 B．40 C．45 D．50
【答案】B
【分析】分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第5个“三角形数”与第5个“正方形
数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”的和．
【详解】第1个“三角形数”：1，
第2个“三角形数”：1+2=3，
第3个“三角形数”：1+2+3=6，
第4个“三角形数”：1+2+3+3=10，
第5个“三角形数”：1+2+3+4+5=15，
第1个“正方形数”：1，
第2个“正方形数”：22=4，
第3个“正方形数”：32=9，
第4个“正方形数”：42=16，第5个“正方形数”：52=25，
∴15+25=40．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形
数”的规律，运用规律求数．
4．（2021·广西百色·二模）观察下列一组数：﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，它们是按一定规律排列
的，那么这一组数的第8个数是_____．
【答案】
【分析】不难看出，奇数项为负，偶数项为正，分子部分为2n+1，分母部分为：3n-1，据此即可作答．
【详解】解：∵ ，
，
，
…，
∴第n个数为： ，
∴第8个数为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
5．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）边长为1的正方形OABC从如图所示的位置（点O对应数0，点A对
应数－1）开始在数轴上顺时针滚动（无滑动）．当正方形的某个顶点落在数2023在数轴上对应的点处时
停止运动，此时落在数2023在数轴上对应点的这个顶点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点O
【答案】A【分析】滚动四次一个循环，用2023除以4，商即是循环的次数，由余数即可得到与2023重合的点．
【详解】解：∵2023＝505×4＋3，
∴与2023重合的点即是滚动后与3重合的点，
而与1重合的是C，与2重合的是B，与3重合的是A，
∴与2023重合的是A，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查图形类规律探究、数轴上点表示的数，解题的关键是理解与2023重合的点即是与3
重合的点．
6.（2022·福建漳州七年级开学考试）观察下列各项： ， ， ， ，…，依此规律下去，则第7
项是__________；第 项是__________．
【答案】
【分析】观察可知：整数部分是从1开始的自然数，分数部分的分子为1，分母为从2开始的自然数的两
倍，据此可得．
【详解】解： = ， = ， = ， = ，…
∴第7项是 ，第n项是 ，故答案为： ， ．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，利用规律解决问题．
题型2：数表的规律
1．（2022·山东济南·七年级期末）将正整数按如图所示的规律排列，若用有序数对（a，b）表示第a行，
从左至右第b个数，例如（4，3）表示的数是9，则（15，10）表示的数是（ ）
A．115 B．114 C．113 D．112
【答案】A
【分析】观察图形可知，每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加1，即可得出（15，1）表示的数，然后得出（15，10）表示的数即可．
【详解】解：因为（1，1）表示的数是：1，
（2，1）表示的数是：1+1=2，
（3，1）表示的数是：1+1+2=4，
（4，1）表示的数是：1+1+2+3=7，
（5，1）表示的数是：1+1+2+3+4=11，
……
所以（a，1）表示的数是： ，
所以（15，1）表示的数是： ，
所以（15，10）表示的数是：106+10-1=115，
故选A．
【点睛】本题考查了找图形和数字规律，从题目分析发现每一行的第一个数字都等于前面数字的个数再加
1是本题的关键．
2．（2022·山东烟台·期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如
图），此图揭示了 （n为非负数）的项数及各项系数的有关规律，例如：
请写出 展开式中间一项的系数（ ）
A．70 B．64 C．56 D．54
【答案】A
【分析】根据题意可得每行第一个和最后一个数都是1，其他位置的数下面的数等于上面两个数的和，即
可求出 展开式中间一项的系数．【详解】解：由题意可得下面一个数等于上面两个数的和，
∴ 中，各项的系数分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，
∴ 中，各项的系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1，
∴ 展开式中间一项的系数为70，
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．
3．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期中）将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，
从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，3）表示的数是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
【分析】观察图形中的数据可知：第n排的最后一个数为： ，第6排的最后一个数为21，因为
（7，3）表示第7排第3个数，所以该数为： ．
【详解】解：观察图形中的数据可知：
第n排的最后一个数为： ，
∵第6排的最后一个数为：
∴（7，3）表示第7排第3个数，
即该数为： ，
故选:C．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是观察数字的变化规律．
4．（2022·河北承德·七年级期末）观察下面的数：按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行
的最后一个数的绝对值与4相加即可．
【详解】解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是每行数的平方，
当行数是奇数时，它的最后一个数是每行数的平方的相反数，
所以第11行最后一个数字是：-11×11=-121，
它的绝对值是121，
第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4=125．
故第12行从左边第4个数是-125．
故选：C．
【点睛】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．
5．（2021·云南红河·七年级期末）将连续奇数1，3，5，7，9……排成如图所示的数表．
用长方形框在如图所示的数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．若这九
个数中最小的数是171，则最大的数是 _____．
【答案】207
【分析】先设九个数中最小的数为m，根据规律表示九个数m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，
m+32，m+34，m+36，其中最小的是m=171，求代数式的值即可．
【详解】解：设九个数中最小的为m，m+2，m+4，m+16，m+18，m+20，m+32，m+34，m+36，
∵这九个数中最小的数是171，
∴m=171，∴这九个数中最大的数是171+36=207，
故答案为：207．
【点睛】本题考查数中排列规律，找出方框中九个数的规律，代数式的值，掌握数中排列规律，找出方框
中九个数的规律，利用代数式的值求出最大数是解题关键．
6．（2021·四川成都·七年级期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数
表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为___．
【答案】102×299
【分析】分析得出第101行有1个数，即为最后一行的数，根据每行的第一个数字得到规律，从而判断．
【详解】解：由题意，第1行有101个数，
第2行有100个数，
…，
第101行有1个数，
故第1行的第一个数为：1=2×2-1，
第2行的第一个数为：3=3×20，
第3行的第一个数为：8=4×21，
第n行的第一个数为：（n+1）×2n-2，
∴第101行的第一个数为：102×299，
故答案为：102×299．
【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
题型3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。1．（2022·黑龙江绥化·期末）已知： ， ， ，……那么
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目所给式子，找到规律即可得到答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
2．（2022·山东泰安·期中） （n为非负整数）当 ，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了 展开后各
项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为 展开式中所有项系数的和应该是
（ ）
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，•••
当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律即可求解．
3．（2022·山东烟台·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整
数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a＋b）0＝1
（a＋b）1＝a＋b
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
…
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（ ）A．2048 B．1024 C．512 D．256
【答案】B
【分析】根据杨辉三角展开式中的所有项的系数和规律确定出 展开式的项系数和为 ，求出系数
知和即可
【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20，
当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21，
当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22，
当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23
……
由此可知（a＋b）n展开式的各项系数之和为2n，
则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024，故选：B．
【点睛】本题考查杨辉三角展开式的系数的和的求法，通过观察展开式中的所有项的系数和，得到规律是
解题的关键．
4．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）已知： ； ； ；
…，若 符合前面式子的规律，则 的值是（ ）
A．90 B．89 C．100 D．109
【答案】A
【分析】根据已知中的规律可得，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减1，然后求出a、b，再相
加即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ 中，b=9，a=92-1=80，
∴a+b+1=80+9+1=90．
故选：A．【点睛】对数字变化规律的考查，比较简单，观察出加数的分子、分母与整数加数的关系是解题的关键．
5．（2022·湖北鄂州·七年级期末）如图所示的数表由1开始的连续自然数组成，观察其规律：
则第n行各数之和是（ ）
A．2n2＋1 B．n2-n＋1 C．(2n-1)(n2-n＋1) D．(2n＋1)(n2-n＋1)
【答案】C
【分析】根据题意可得每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为
，最后一个数为 ，每行数的个数为 ，从而得到中间的数为 ，即可求解．
【详解】解：第1行的和为1；有1个数；
第2行的和为： ；有3=（2×2-1）个数；
第3行的和为： ，有5=（2×2-1）个数；
第4行的和为： ，有7=（4×2-1）个数；
第5行的和为： ，有9=（5×2-1）个数；
……，
由此发现，每行的数的和等于每行数的个数与每行中间的数的乘积，且每行的第一个数为 ，最后
一个数为 ，每行数的个数为 ，
∴中间的数为 ，
∴第n行各数之和是 ．故选：C
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2022·山东淄博·期末）观察下列等式：
；；
；
；
；
根据以上等式总结规律并计算，则 ______．
【答案】255
【分析】根据所给出的等式找到规律，再利用式子的规律进行逆用即可求解．
【详解】解：由给出等式可知， ，
∴
故答案为：255．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据题中所给式子探索出式子的规律是解题的关键．
题型4：图形的规律（一次类）
1．（2022·山东威海·期末）用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第2022个图形的棋子数为（ ）
A．6069个 B．6066个 C．6072个 D．6063个
【答案】A
【分析】根据前4个图形的棋子个数，可以得到规律第n个图形有 个棋子，据此求解即
可．
【详解】解：第1个图形有 个棋子，
第2个图形有 个棋子，第3个图形有 个棋子，
第4个图形有 个棋子，
∴可知第n个图形有 个棋子，
∴第2022个图形有 个棋子，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
2．（2022·河南驻马店·七年级期末）下列图案是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根
小木棒，图案②需15根小木棒，…，按此规律，图案⑦需小木棒的根数是（ ）
A．49 B．50 C．55 D．56
【答案】B
【分析】根据每增加一个图形，就增加 根小木棒，可得图案 需小木棒的根数为 ，就可以求得图案
⑦需小木棒的根数．
【详解】解： 图案 需 根小木棒，图案 需 根小木棒，图案 需 根小木棒，
可得图案 需小木棒的根数为 ，
图案⑦需小木棒的根数是： ，故B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了利用图形进行规律归纳的能力，关键是能通过观察、猜想、验证，归纳总结出其中的
规律．
3．（2022·四川广安·七年级期末）观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下
层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除
外），则第2021个图形中，黑色正方形的数量共有（ ）个A．3031 B．3032 C．3033 D．3034
【答案】B
【分析】根据图形的变化规律归纳出第n个图形中黑色正方形的数量即可．
【详解】解：根据图形变化规律可知：
第1个图形中黑色正方形的数量为2，
第2个图形中黑色正方形的数量为3，
第3个图形中黑色正方形的数量为5，
第4个图形中黑色正方形的数量为6，
……
当n为奇数时，黑色正方形的个数为 ，
当n为偶数时，黑色正方形的个数为 ，
∴第2021个图形中黑色正方形的数量是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形中黑色正方形的数量是解题的关键．
4．（2022·河南南阳·七年级期末）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续
摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是1564，则n的值为（ ）
A．520 B．521 C．523 D．524
【答案】B
【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中白色纸片的个数
是1564，即可求得n的值．
【详解】解：由图可得，
第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4，
第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7，
第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10，…，
第n个图案中白色纸片的个数为（3n+1），
令3n+1＝1564，
解得，n＝521．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数
形结合的思想解答．
5．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，
图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（ ）
A．22 B．25 C．28 D．32
【答案】B
【分析】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，
……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：图①共用10个●，
图②共用13=（10+3）个●，
图③共用16=（10+3×2）个●，……，
由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1），
∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25．
故选B
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2022·河北沧州·七年级期末）如图所示的图案是用长度相同的木条按一定规律摆成的.摆第1个图案需
8根木条，摆第2个图案需15根木条，摆第3个图案需22根木条，…，按此规律摆第 个图案需要木条
( )A． 根 B． 根 C． 根 D． 根
【答案】B
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以
解答本题．
【详解】解：由图可得，
图案①有：1+7=8根小木棒，
图案②有：1+7×2=15根小木棒，
图案③有：1+7×3=22根小木棒，…
则第n个图案有：（7n+1）根小木棒，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型5：图形的规律（二次类）
1．（2022·重庆一中八年级阶段练习）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，
第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规
律，第六个图案需要的火柴棒根数为（ ）
A．45 B．63 C．84 D．108
【答案】B
【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；
得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可．
【详解】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）；……
n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的
关系．
2．（2022·重庆一中七年级期末）如图，把黑色小圆圈按照如图所示的规律排列，其中第①个图形中有3
个黑色小圆圈，第②个图形中有8个黑色小圆圈，第③个图形中有15个黑色小圆圈，…，按照此规律，第
⑦个图形中黑色小圆圈的个数为（ ）
A．63 B．64 C．80 D．81
【答案】A
【分析】仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．
【详解】解：第①个图形中一共有1+2＝3个小圆圈，
第②个图形中一共有2+3×2＝8个小圆圈，
第③个图形中一共有3+4×3＝15个小圆圈，
…，
按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数是7+8×7＝63，
故选：A．
【点睛】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．
3．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）下图是同样大小一些瓢虫按照一定规律爬行，
第1个图有3个瓢虫，第2个图有8只瓢虫，第3个图形有15只瓢虫，…，第8个图形的瓢虫个数为（
）A．80 B．79 C．70 D．63
【答案】A
【分析】由图形得出第n个图形中瓢虫个数为n（n+2），据此可得．
【详解】解：∵第1个图形中瓢虫个数为3=1×3，
第2个图形中瓢虫个数为3+2+3=2×4=8，
第3个图形中瓢虫个数为3+2+3+4+3=3×5=15，
第4个图形中瓢虫个数为4×6=24，••••••，
∴第8个图形中瓢虫个数为8×10=80．故选：A．
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据已知图形得出第n个图形中瓢虫个数为n（n+2）是解题的关键．
4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则
该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角
形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有
1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边
对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）
【答案】2047276
【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+n个， 为三角形边长数加1，据此即可求解．
【详解】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=
=6个结点，
将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=
=10个结点，
……
将一个正三角形的三条边 等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有
个结点，：将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：1+2+3+…
+2023= =2047276个结点，故答案为：2047276．
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．
5．（2022·山东烟台·期中）如图，第 个图形需要的棋子数量是_________．（用含有 的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意可得：第1个图形需要的棋子数量是3= ；第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3=
；第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4= ；第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5=
；……；由此发现规律，即可求解．
【详解】解：第1个图形需要的棋子数量是3= ；
第2个图形需要的棋子数量是6=1+2+3= ；
第3个图形需要的棋子数量是10=1+2+3+4= ；
第4个图形需要的棋子数量是15=1+2+3+4+5= ；
……
由此发现，第 个图形需要的棋子数量是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
6．（2022·山东烟台·期末）公园内有一矩形人行道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰
直角三角形地砖排列而成．如图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列且总共有60块．则人行道上总共使用______块三角形地砖．
【答案】124
【分析】把前面3个三角形分隔开后，中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，最后还余有1个三角形，
从而得到三角形的个数为3＋60×2＋1．
【详解】解：人行道上总共使用三角形地砖的块数为：3＋60×2＋1＝124（块）
故答案为124．
【点睛】本题考查规律型问题，认真观察，仔细思考，从中探寻出规律是解题的关键，要善于联想来解决
这类问题．
题型6：图形的规律（指数类）
1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C 的等边三角形卡纸，把图①的卡
1
纸剪去一个边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 的等边三角形
后得到图③，依次剪去一个边长为 、 、 …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n
（n≥3）中的卡纸的周长为C ，则C ﹣C ＝_____．
n n n﹣1
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C ，C ，C ，C ，根据周长相减的结
1 2 3 4
果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C ＝1+1+1＝3，C ＝1+1+ ＝ ，C ＝1+1+ ×3＝ ，C ＝1+1+ ×2+ ×3＝ ，…
1 2 3 4∴C ﹣C = ，C ﹣C ＝ ﹣ ＝ ＝（ ）2；C ﹣C ＝ ﹣ ＝ ＝（ ）3，…
3 2 3 2 4 3
则C ﹣C ＝（ ）n﹣1＝ ．故答案为： ．
n n﹣1
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中运算规律，并应用规律解决问
题．
2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，
每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行
9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8= ×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为
4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，
和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+•••+20= （1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，第一次将正方形分割为 和 两部分，第二次将正方形的 分割为 和 两部分，•••，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为 ，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴ ，
左右两边同除以2得： ．∴原式 ．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生
数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生
的发散性思维．
3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正
方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸
片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，余下面积为原来面积的
一半即可解答．
【详解】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积S= ，第二次：余下面积S= ，第三次：余下面积S= ，
1 2 3
当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为S = ，故选：C．
2021
【点睛】本题考查剪纸问题，图形的变化，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常
考题型．
4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将
一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为 的长方形，接着把面积为 的长方形分成两个面积为 的
长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为
所求.最后一个小长方形的面积= 故
即 故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于
总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：
把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别
重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中
的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的 ，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的 ，然
后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣ ，图3阴影部分面积＝ ，
图4阴影部分面积＝ ，图5阴影部分面积＝ ．故选：B．
6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图
形面积为S，第2次对折后得到的图形面积为S，…，第n次对折后得到的图形面积为S，则S＝_____，
1 2 n 4
S+S+S+…+S ＝______．
1 2 3 2021
【答案】
【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据句各部分图形的面积之和等于正方形面积减去剩下
部分的面积进行计算即可得解．【详解】解：由题意得： ……；
∴ ，∴S+S+S+…+S ＝ ；故答案为 ，
1 2 3 2021
．
【点睛】本题主要考查图形规律及有理数的运算，关键在于观察各部分图形的面积之和等于正方形面积减
去剩下部分的面积．
题型7：程序框图
1.（2022•温江区七年级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结
果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6 B．3 C．24 D．12
【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此
作答即可．
【解答】解：第1次输出的数为： ；
第2次输出的数为： ；
第3次输出的数为： ；
第4次输出的数为：3+3＝6；第5次输出的数为： ；
…
由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴第2021次输出的数为3．
故选：B．
2.（2022•晋安区期末）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的
结果为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．625
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：当x＝625时， x＝125，
当x＝125时， x＝25，
当x＝25时， x＝5，
当x＝5时， x＝1，
当x＝1时，x+4＝5，
当x＝5时， x＝1，
…
依此类推，以5，1循环，
（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，所以输出的结果是1，
故选：A．
3.（2022•龙华区期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则第2020次输出的结果
为 ．
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：第一次输入：∵x＝﹣2＜0，
∴x+1＝﹣2+1＝﹣1，
第二次输入：∵﹣1＜0，
∴x+1＝﹣1+1＝0；
第三次输入：∴x+1＝0+1＝1，
第四次输入：∵1＞0，
∴x2﹣5＝12﹣5＝﹣4，
第五次输入：∵﹣4≤0，
∴x+1＝﹣4+1＝﹣3，
第六次输入：∵﹣3＜0，
∴x+1＝﹣3+1＝﹣2，
第七次输入：∵﹣2＜0，
∴x+1＝﹣2+1＝﹣1，
……
依此类推，
2020÷6＝336…4，
所以输出的结果是﹣4，
故答案为：﹣4．
4.（2021春•新蔡县期末）按下面的程序计算：若输入x＝100，输出结果是501，若输入x＝25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出
的结果为556，则开始输入的x值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】由5x+1＝556，解得x＝111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值
满足5x+1＝111，最后输出的结果也为556，可解得x＝22；当开始输入的x值满足5x+1＝22，最后输出的
结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．
【解答】解：∵输出的结果为556，
∴5x+1＝556，解得x＝111；
而111＜500，
当5x+1等于111时最后输出的结果为556，
即5x+1＝111，解得x＝22；
当5x+1＝22时最后输出的结果为556，
即5x+1＝22，解得x＝4.2（不合题意舍去），
所以开始输入的x值可能为22或111．
故选：B．
5．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，则第1次
输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…则第2020次输出的结果为__________．
【答案】3
【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以求出前几次的输出结果，即可发现输出结果的变化特点，从
而可以得到第2020次输出的结果．
【详解】解：由题意可得，若开始输入的x值为48，则第1次输出的结果为24，
第2次输出的结果为12，第3次输出的结果为6，第4次输出的结果为3，第5次输出的结果为8，
第6次输出的结果为4，第7次输出的结果为2，第8次输出的结果为1，第9次输出的结果为6，…，
则这列输出结果，从第三个开始，以6，3，8，4，2，1依次出现，∵ ，∴第2020次输出的结果为3，故答案为：3．
【点睛】此题考查了程序流程图与代数式求值，明确题意，发现输出结果的变化规律并求出相应的输出结
果是解题的关键．
6．（2021·祥云县教育体育局教研室七年级期末）如图所示，这是一个运算程序示意图．若第一次输入
的值为 ，则第 次输出的结果是______．
【答案】1
【分析】将 = 输入，计算每次结果，根据结果的规律：奇数次的结果为1，偶数次的结果为6得到答
案．
【详解】解：当 = 时，第一次输出的结果为36，第二次输出的结果为6，第三次输出的结果为1，
第四次输出的结果为6，第五次输出的结果为1， ，
从第二次开始依次为6,1循环，即除第一次外，其他奇数次的结果为1，偶数次的结果为6，
∴第 次输出的结果是1，故答案为：1．
【点睛】此题考查有理数的计算，正确理解运算程序正确计算是解题的关键．
题型8：新定义运算
1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝ ；（2）若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2
【答案】（1）3a+b；（2）≠；（3）4a﹣b，14
【分析】（1）根据所给算式归纳即可；（2）根据（1）中总结的规律计算；
（3）先根据（1）中总结的规律化简，再把a＝1代入计算．
【详解】解：（1）根据题意得：a*b＝3a+b．故答案为：3a+b
（2）∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a．∴a*b≠b*a．故答案为：≠．
（3）(a﹣b)*(a+2b)＝3(a﹣b)+a+2b＝4a﹣b．当a＝3，b＝﹣2时，原式=12+2=14．
【点睛】本题考查了新定义，数字类规律探究，以及整式的加减，根据题干中的算式得出规律是解答本题的关键．
2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数 ，如果其个位上的数字与百位上的数字之
和等于十位上的数字，则称 为“阳光数”．现将 的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得
到一个新数 ，规定 ．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数 = 642，所以
．（1）若 是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求 的值；
（2）若 是8的倍数，则称这样的 为“多彩阳光数”，求最大的“多彩阳光数”．
【答案】（1）54或64（2）880
【分析】（1）设 的百位上的数字为a，则 的个位上的数是 ，根据“阳光数”的特征，可得 的十
位上的数是 ，根据题意 得百位上的数字为 ，十位上的数字为 ，个位上的数字为 ；根据
题意表示出 ，结合数位上的数的取值范围求出 的取值范围，代入求值即可；
（2）设 的百位数字为x，个位数字为y，则十位数字为 ，则 的百位数字是 ，十位数字为y，
个位数字为x，可表示出 ， ，从而表示出 的值，然后根据 是8的倍数
以及数位上数字的取值范围取出符合范围的 的值，即可求出最大的“多彩阳光数”．
【详解】解：（1）设 的百位上的数字为a，则 的个位上的数是 ，
根据“阳光数”的特征，可得 的十位上的数是 ，
根据题意 得百位上的数字为 ，十位上的数字为 ，个位上的数字为 ；
∴ ， ，
∴ ，
∵百位数字a的取值范围为： ，解得： ，
又∵ 为整数，∴ 或2，当 时， ；
当 时， ；故 的值为54或64；
（2）设 的百位数字为x，个位数字为y，则十位数字为 ，
∴ 的百位数字是 ，十位数字为y，个位数字为x，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∵ 是8的倍数，∴ 是8的倍数，
要使“多彩阳光数” 最大，则百位数字x取最大值，当 时，满足条件的 的值为24，
∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ 不符合题意，故 ，
当 时，满足条件的 的值为 ，∴ ，∴ ，
∵ 满足 ，∴“多彩阳光数” 最大， ，
∴最大的“多彩阳光数”是880．
【点睛】本题主要考查新定义，整式的运算，关键是根据新定义，把新知识转换为常规知识点进行解答．
3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级其他模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上
的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数
是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因
为25≠n（2＋5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【答案】（1）72，见解析；（2）210
【分析】（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【详解】解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4＋4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2＋7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b＋a＝7（a＋b），化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，∴它们的和＝21＋42＋63＋84＝210．
【点睛】此题主要考查了新定义“n喜数”，理解和应用新定义是解本题的关键．
1
4.（2021春•奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如3的差倒数是
1−a
1 1 1 1
=− ，﹣1的差倒数是 = ，已知a 是a 的差倒数，a ＝3，a 是a 的差倒数，a 是a 的差
1−3 2 1−(−1) 2 2 1 1 3 2 4 3
倒数，…以此类推，则a ＝ ．
2020
【分析】根据新定义找到这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点．然后即可得到a 的值．
2020【解答】解：∵a ＝3，根据差倒数的定义可得：
1
1 2 1
1 1 = = = =
a = =− ，a 1 3，a 2 3，
2 1−3 2 3 1−(− ) 4 1−( )
2 3
1 2
由上可发现这列数依次以3，− ， 循环出现，
2 3
∵2020÷3＝673……1，∴a ＝3，故答案为：3．
2020
5．（2022·河南罗山）在平面直角坐标系xoy中，对于点P(x,y),我们把点P′(-y+1,x+1)叫做点P伴随点．已
知点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A,，点A 的伴随点为A，…，这样依次得到点A，A，A，…，
1 2 2 3 3 4 1 2 3
A，…．若点A 的坐标为(2，4)，点A 的坐标为( )
n 1 2020
A．(-3，3) B．(-2，-2) C．(3，-1) D．(2，4)
【答案】C
【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2020除以
4，根据商和余数的情况确定点A 的坐标即可．
2020
【解析】∵A（2，4），∴A（-3，3），A（-2，-2），A（3，-1），A（2，4），A（-3，3），…，
1 2 3 4 5 6
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2020÷4=505，∴点A 的坐标与A 的坐标相同，为（3，-1），故选：C．
2020 4
【点睛】本题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义，并求出每4个点为一个循环组
依次循环是解题的关键．
6．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题
如果一个正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 ，则这个数表示为 ．
有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，
我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅
读材料，回答下列问题：
(1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对
值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由．
(2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．
【答案】(1)见解析
(2)29，38，47，56，65，74，83，92
【分析】（1）设连续自然数中间的一个数为x，则其他的两个数为x−1，x＋1，表示出原三位数与反序数，进行验证即可；
（2）设两位数十位数字为a，个位数字为b，表示出两位数与反序数，根据题意确定出即可．
(1)
解：设连续自然数中间的一个数为x，则其他的两个数为x−1，x＋1，
根据题意可得：[100（x＋1）＋10x＋x−1]−[100（x−1）＋10x＋x＋1]
＝100x＋100＋11x−1−100x＋100−11x−1
＝198，
∴原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．
(2)
设两位数十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得：
10a＋b＋10b＋a＝11（a＋b），
∵该两位数与其反序数之和是一个整数的平方，
∴a＋b＝11，
∴a＝2，b＝9；
a＝3，b＝8；
a＝4，b＝7；
a＝5，b＝6；
a＝7，b＝4；
a＝8，b＝3；
a＝9，b＝2；
则满足条件的数为：29，38，47，56，65，74，83，92．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，绝对值，解决本题的关键是理解阅读材料，找出式子存在的规
律．
