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培优专题 12 角中的动态问题
类型一：运动的三角尺问题
1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋
转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度
数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满
足条件的t值．
2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°
中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）
(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板
画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点，与60°角
（∠COD）的顶点互相重合，且边OA，OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三
角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时
停止，是否存在一个时间t（秒）使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B＝∠AOB＝45°，∠A＝90°和
∠D＝30°，∠COD＝60°，∠C＝90°）按如图所示摆放使得B、O、D三点共线．将三角尺
ABO绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO与OD重合时停止运动，设三角尺ABO
的运动时间为t秒．
(1)当t＝10时，∠AOD＝ °．
(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．
(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，
当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻
使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
4．（2021·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边 与量
角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合，将三角尺 绕量角器中心点 以每
秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动.设三角尺 的运动时间为
（秒）
（1）当 秒时，边 经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;
（2） 秒时，边 平分 ;
（3）若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，
当三角尺 停止旋转时，三角尺 也停止旋转，
①当 为何值时，边 平分 ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得 .若存在，请求出 的值;若
不存在，请说明理由.
类型二：角的动线问题
5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线 上依次有 、 、 三点，若射线
绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒
的速度旋转，如图②，设旋转时间为 秒（ ）．
（1） __________度， __________度．（用含 的代数式表示）
（2）在运动过程中，当 等于 时，求 的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 平分 或 ( ，
均为小于 的角)？如果存在，直接写出 的值；如果不存在，请说明理由．
6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且
∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机
器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间
后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时
间为t，
(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示
∠BOC，则∠BOC=________
(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？
(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．
7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的
伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝
∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOD，称射线OD是射
线OB的伴随线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若
∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC
的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时
针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与
射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，
请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
8．（2020·江苏徐州·七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，点C在AB
的上方．MON为直角三角板，O为直角顶点， ，ON在射线OC上．将三角板
MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC绕点O以每秒11°的
速度沿逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA重合时，所有运动都停止．设运动的时间为
t秒，
（1）旋转开始前，∠MOC＝ °，∠BOM＝ °；
（2）运动t秒时，OM转动了 °，t为 秒时，OC与OM
重合；
（3）t为何值时，∠MOC=35°？请说明理由．
