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培优专题 10 二次函数的综合--特殊图形的存在性问题
◎存在性问题之直角三角形的存在性问题
【技巧】明确哪几个点构成的直角三角形，先利用两点间的距离公式（可由勾股定理推导）把三角形的三
边的平方表示出来，然后利用勾股定理求出即可；但是此方法有个弊端就是会有高次方出现，不易求解。
另外一种方法就是利用两直线的垂直关系，直线的解析式k值乘积为-1，可求出。1．（2022·山东济南·中考真题）抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点
C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 ．
(1)求线段AC的长；
(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点P的坐标；
(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当 为直角三角形时，求点M的坐标．
◎存在性问题之等腰三角形的存在性问题
【技巧】等腰三角形的存在性先利用圆规把满足条件的点求出来，再求坐标，以免漏掉。一般是画圆和作
中垂线。
3．（2022·广西贺州·中考真题）如图，抛物线 过点 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得 ？若存在，求出点M的横
坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2019·辽宁本溪·中考真题）抛物线 与 轴交于 两点，顶点为 ，对
称轴交 轴于点 ，点 为抛物线对称轴 上的一动点（点 不与 重合）．过点 作直线 的垂线
交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点 的坐标．
◎存在性问题之（特殊）平行四边形的存在性问题5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2022·湖南郴州·中考真题）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交
于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
◎存在性问题之等腰直角三角形
7．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与
y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰直角
三角形时，请直接写出所有点M的坐标．
8．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，
0），过点A作AC x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当 OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线△的顶点落在 OAE内（包括 OAE的边界），
△ △求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 POF成为以点P为直角顶点
的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存△在，请说明理由．
◎存在性问题之相似三角形的存在性问题（人教版九下内容）
9．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点
C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说
明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上
是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，
请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
10．（2022·湖北恩施·中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点．
(1)直接写出抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x
轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为
直角三角形，并说明理由．
(3)直线BC与抛物线 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使
得以B、N、T三点为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若将抛物线 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接
写出拋物线 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．
