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第9 章 不等式与不等式组（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：
）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位： ）表示该路段汽车时速，则下列不等式
对此标志解释正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若 是自然数，且满足 ，则符合条件的 的值是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ， ，
4．若第二象限内点P的坐标为 ，则a的值可能（ ）
A． B． C．0 D．1
5．两列数： ，…
，…
前 项中相同的项有（ ）项．
A． B． C． D．
6．若实数m满足 ，则关于x的不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
7．我们把非负有理数 精确到个位的近似数记为 ，如 ， ．下列结论：①
；②若 为非负有理数，则 ；③若非负有理数 ， 满足 ，则；④方程 共有10个整数解．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．我们知道不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
9．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一
人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（ ）
A． B．
C． D．
10．课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组 的解集，并在数
轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表
示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两
人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11． 或 的否定形式为 ．
12．已知： ，请写出一个使不等式 成立的m的值，这个值可以为 ．
13．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组 的解集是 ．
14．2024年春晚，刘谦表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操
作，会得到一个数学规律．请依照下列定义 ，若 ，则 的取值范围为 ．15．平面直角坐标系中，点 ，若线段 上存在点E，过点E
作 ，垂足为点F，点F恰好是线段 的中点，则实数m的取值范围是 ．
16．在数轴上，可以清晰的表达数的大小关系．请你在数轴上画出关于x的不等式 的解集，如果解
集中只有正整数解1，那么a的取值范围是 ．
17．若点 的坐标满足方程组 ，若 在 轴上方且在 轴左侧，当 是整点时，到
轴距离最远的 点坐标是 ．
18．点 满足 ，称点 为幸福点，若点 满足 ，则称点 为师一点，若
点 既是幸福点又是师一点，则点 的坐标为 ：若点 既是幸福点又是师一
点，且 在第二象限内，则当整数a取最大值时，点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（1）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来：
（2）解不等式组 ，并求出它的整数解．
20．（8分）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是 ．
(1) ______（用含m的代数式表示）；
(2) 求当 与 的差不小 时，m的最小整数值．21．（10分）某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不
答得0分．
(1) 若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？
(2) 若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少
需答对几道题才能被评为“知识小达人”？
22．（10分）在平面直角坐标系中，点 和 ．
(1) 如果点 在 轴上，点 在 轴上，求 、 的值；
(2) 点 和点 是否能同在第三象限内，若能，求出 、 的范围，若不能，请说明理由；
(3) 如果 轴，且 ，求 、 的值．
23．（10分）
若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程．
(1)给出下列方程：
① ；
② ；
③ ．其中为不等式组 的子集方程的是 （填序号）；
(2) 已知关于 的不等式组 ．
① 若方程 是该不等式组的子集方程，求 的取值范围；
② 若方程 ， 都不是该不等式组的子集方程，则 的取值范围是 ．
24．（12分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相
应的问题．
如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购
买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知 ，求A、B两种品牌足球
的单价各多少元？
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：
”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）．
①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元
②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元
（2）根据所列方程“ ”，求A、B两种品牌足球的单价．
[迁移类比]
（3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价．
[拓展探究]
（4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，
恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若
此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过
计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．参考答案：
1．B
【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边
同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除
以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向变．据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是 ．
故选：B
3．B
【分析】根据题意可知 ，且 为自然数，据此即可求得答案．
【详解】根据题意可知 ，且 为自然数，所以
或 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值、一元一次不等式，牢记绝对值的定义（数轴上表示数 的点与原点的距离
叫做数 的绝对值）是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标
为负，纵坐标为正得到 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵ 是第二象限内的点，
∴ ，
∴ ，∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了数字类规律探索问题，根据题意可分别确定两列数的通项 、 ，
令 即可求解．
【详解】解： ，…的通项为： ；
，…的通项为： ；
令 ，
解得：
∵
∴ ，
解得：
∴ 可取
∵
∴ 是 的倍数
∴ 可取 共25个值．
故选：C．
6．B
【分析】求出不等式组的解集，结合 求出整数解，然后求和即可．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴ 或 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
7．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，代数式求值，正确理解新定义的含义是解答本题的关键．根
据 的定义，即可判断①②③都正确，对于④，首先得到 ，解不等式即得答案．
【详解】① ，正确；
②若 为非负有理数，则 ，正确；
③若非负有理数 满足 ，则 ，正确；
④因为方程 ，
所以
解得
所以方程的整数解有10个，正确；
综上所述，正确的结果有4个．
故选D．
8．A
【分析】根据不等式的特点得出 ，求出即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴不等式 中 ，解得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，能根据已知得出 是解此题的关键．
9．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有 瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就
分不到3瓶，可得 ．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有 瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
10．D
【分析】设甲将数字3抄成了数字a，根据不等式组无解，求出 的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：设甲将数字3抄成了数字a，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵此不等式组无解，
∴ ，
解得： ，
∴甲将数字3可能抄成了数字5，
故选：D．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的值，正确的计算出不等式组的解集，是解题的关键．
11． 或 / 或【分析】此题考查了不等式，根据不等式的意义进行解答即可．
【详解】解： 或 的否定形式是 或 ．
故答案为： 或
12． （答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】∵
∴当 时，
∴m的值可以为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
13．
【分析】分别求出两个不等式的解，再结合数轴判断不等式组的解集．
【详解】解：解不等式组 ，
得 ，
，
，
所以不等式组的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式组的解集，解集判断口诀：大大取大，小小取小，一大一小中间找，解题关键判
断出 ．
14． /
【分析】本题主要考查了解不等式，根据题干提供的信息，得出 ，解不等式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故答案为： ．
15．
【分析】由于点F恰好是线段 的中点，根据中点坐标公式，求出F的坐标；点E与F的横坐标相同并
在C、D之间，列出不等式组，求出m的取值范围．
【详解】解：∵点F恰好是线段 的中点，点 ，
∴ ，
∵线段 上存在点E，过点E作 ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了中点坐标公式的应用，列不等式组，解这个不等式组，得到m的取值范围．
16．
【分析】根据不等式的解集即可确定a的取值范围．
【详解】解：如图，
∵解集中只有正整数解1，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，关键是掌握不等式的性质．
17．
【分析】根据题意，解得 ，由 在 轴上方且在 轴左侧，可知点P在第二象限，即x<0，
y>0，进而求得00，
∴ ，
解得0
