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第9 章 不等式与不等式组（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：
）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位： ）表示该路段汽车时速，则下列不等式
对此标志解释正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若 是自然数，且满足 ，则符合条件的 的值是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ， ，
4．若第二象限内点P的坐标为 ，则a的值可能（ ）
A． B． C．0 D．1
5．两列数： ，…
，…
前 项中相同的项有（ ）项．
A． B． C． D．
6．若实数m满足 ，则关于x的不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9
7．我们把非负有理数 精确到个位的近似数记为 ，如 ， ．下列结论：①
；②若 为非负有理数，则 ；③若非负有理数 ， 满足 ，则；④方程 共有10个整数解．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．我们知道不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B． C． D．
9．把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一
人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（ ）
A． B．
C． D．
10．课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组 的解集，并在数
轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表
示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两
人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11． 或 的否定形式为 ．
12．已知： ，请写出一个使不等式 成立的m的值，这个值可以为 ．
13．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则关于x的不等式组 的解集是 ．
14．2024年春晚，刘谦表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操
作，会得到一个数学规律．请依照下列定义 ，若 ，则 的取值范围为 ．15．平面直角坐标系中，点 ，若线段 上存在点E，过点E
作 ，垂足为点F，点F恰好是线段 的中点，则实数m的取值范围是 ．
16．在数轴上，可以清晰的表达数的大小关系．请你在数轴上画出关于x的不等式 的解集，如果解
集中只有正整数解1，那么a的取值范围是 ．
17．若点 的坐标满足方程组 ，若 在 轴上方且在 轴左侧，当 是整点时，到
轴距离最远的 点坐标是 ．
18．点 满足 ，称点 为幸福点，若点 满足 ，则称点 为师一点，若
点 既是幸福点又是师一点，则点 的坐标为 ：若点 既是幸福点又是师一
点，且 在第二象限内，则当整数a取最大值时，点 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（1）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来：
（2）解不等式组 ，并求出它的整数解．
20．（8分）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是 ．
(1) ______（用含m的代数式表示）；
(2) 求当 与 的差不小 时，m的最小整数值．21．（10分）某中学举行知识竞赛，一共25道题，满分100分，答对一道得4分，答错一道扣1分，不
答得0分．
(1) 若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该同学一共答对了几道题？
(2) 若规定参赛者每道题必须作答且总得分不低于92分才可被评为“知识小达人”，则该参赛者至少
需答对几道题才能被评为“知识小达人”？
22．（10分）在平面直角坐标系中，点 和 ．
(1) 如果点 在 轴上，点 在 轴上，求 、 的值；
(2) 点 和点 是否能同在第三象限内，若能，求出 、 的范围，若不能，请说明理由；
(3) 如果 轴，且 ，求 、 的值．
23．（10分）
若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程．
(1)给出下列方程：
① ；
② ；
③ ．其中为不等式组 的子集方程的是 （填序号）；
(2) 已知关于 的不等式组 ．
① 若方程 是该不等式组的子集方程，求 的取值范围；
② 若方程 ， 都不是该不等式组的子集方程，则 的取值范围是 ．
24．（12分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相
应的问题．
如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购
买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元，已知 ，求A、B两种品牌足球
的单价各多少元？
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌足球的单价为x元，则列出一元一次方程：
”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是______（填序号）．
①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元
②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元
（2）根据所列方程“ ”，求A、B两种品牌足球的单价．
[迁移类比]
（3）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A、B两种品牌足球的单价．
[拓展探究]
（4）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，
恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价打8折，B种品牌的足球单价优惠4元．若
此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个，请通过
计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．参考答案：
1．B
【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边
同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除
以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号
的方向变．据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是 ．
故选：B
3．B
【分析】根据题意可知 ，且 为自然数，据此即可求得答案．
【详解】根据题意可知 ，且 为自然数，所以
或 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值、一元一次不等式，牢记绝对值的定义（数轴上表示数 的点与原点的距离
叫做数 的绝对值）是解题的关键．
4．A
【分析】本题主要考查了第二象限内的点的坐标特点，解一元一次不等式组，根据第二象限内的点横坐标
为负，纵坐标为正得到 ，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵ 是第二象限内的点，
∴ ，
∴ ，∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了数字类规律探索问题，根据题意可分别确定两列数的通项 、 ，
令 即可求解．
【详解】解： ，…的通项为： ；
，…的通项为： ；
令 ，
解得：
∵
∴ ，
解得：
∴ 可取
∵
∴ 是 的倍数
∴ 可取 共25个值．
故选：C．
6．B
【分析】求出不等式组的解集，结合 求出整数解，然后求和即可．
【详解】∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4，
∴ 或 或 ，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同
大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
7．D
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，代数式求值，正确理解新定义的含义是解答本题的关键．根
据 的定义，即可判断①②③都正确，对于④，首先得到 ，解不等式即得答案．
【详解】① ，正确；
②若 为非负有理数，则 ，正确；
③若非负有理数 满足 ，则 ，正确；
④因为方程 ，
所以
解得
所以方程的整数解有10个，正确；
综上所述，正确的结果有4个．
故选D．
8．A
【分析】根据不等式的特点得出 ，求出即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴不等式 中 ，解得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，能根据已知得出 是解此题的关键．
9．A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键．
由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有 瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就
分不到3瓶，可得 ．
【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶，
∴共有 瓶牛奶，
∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，
∴
故选：A．
10．D
【分析】设甲将数字3抄成了数字a，根据不等式组无解，求出 的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：设甲将数字3抄成了数字a，
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵此不等式组无解，
∴ ，
解得： ，
∴甲将数字3可能抄成了数字5，
故选：D．
【点睛】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的值，正确的计算出不等式组的解集，是解题的关键．
11． 或 / 或【分析】此题考查了不等式，根据不等式的意义进行解答即可．
【详解】解： 或 的否定形式是 或 ．
故答案为： 或
12． （答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】∵
∴当 时，
∴m的值可以为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
13．
【分析】分别求出两个不等式的解，再结合数轴判断不等式组的解集．
【详解】解：解不等式组 ，
得 ，
，
，
所以不等式组的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式组的解集，解集判断口诀：大大取大，小小取小，一大一小中间找，解题关键判
断出 ．
14． /
【分析】本题主要考查了解不等式，根据题干提供的信息，得出 ，解不等式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故答案为： ．
15．
【分析】由于点F恰好是线段 的中点，根据中点坐标公式，求出F的坐标；点E与F的横坐标相同并
在C、D之间，列出不等式组，求出m的取值范围．
【详解】解：∵点F恰好是线段 的中点，点 ，
∴ ，
∵线段 上存在点E，过点E作 ，
∴ ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了中点坐标公式的应用，列不等式组，解这个不等式组，得到m的取值范围．
16．
【分析】根据不等式的解集即可确定a的取值范围．
【详解】解：如图，
∵解集中只有正整数解1，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，关键是掌握不等式的性质．
17．
【分析】根据题意，解得 ，由 在 轴上方且在 轴左侧，可知点P在第二象限，即x<0，
y>0，进而求得0<m<3，再根据题意求出满足要求的点P即可．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
∵ 在 轴上方且在 轴左侧，
∴点P在第二象限，即x<0，y>0，
∴ ，
解得0<m<3，
∵ 是整点，
∴m可取1，2，
又P到 轴距离最远，
∴2m-6最小时，P到 轴距离最远，
∴m=1，
∴点P的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参问题，涉及的知识点有平面直角坐标系中点坐标特征，解不等
式组求整数解，正确地计算能力是解决问题的关键．
18．
【分析】根据幸福点和师一点的定义得到 ，据此求解即可；根据幸福点和师一点的定义得到
则 ，再根据第二象限内点的坐标特点求出a的值即可得到答案．
【详解】解：若点 既是幸福点又是师一点，则 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；若点 既是幸福点又是师一点，则 ，
∴ ，
∵ 在第二象限内，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的a的值为3，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据点所在的象限求参数，求不等式的整数解等等，正确理
解题意得到二元一次方程组是解题的关键．
19．（1） ，在数轴上表示见解析；（2） ，整数解为4、5、6
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】（1） ，
由①得， ，
由②得， ，
故此不等式组的解集为 ，
解集在数轴上表示如下：；
（2）解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
则不等式组的解集为 ，
它的整数解为4、5、6．
20．(1)
(2)7
【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解．
（2）利用 ，建立方程求得 ，求解即可．
【详解】（1） ．
（2）∵ 与 的差不小于 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，m的最小整数值为7．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键．
21．(1)该参赛同学一共答对了21道题；
(2)参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列
出等式或不等式是解题关键．
（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了 道题，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了 道题，根据题意可列出关于y
的一元一次不等式，解出y，再根据y的实际意义取值即可．
【详解】（1）解：设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了 道题，
依题意得： ，
解得： ，
答：该参赛同学一共答对了21道题；
（2）解：设参赛者需答对y道题才能被评为“知识小达人”，则答错了 道题，
依题意得： ，
解得： ．
∵y为正整数，
∴y最小取24．
答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“知识小达人”．
22．(1)
(2)点 和点 不能同在第三象限内，见解析
(3) ， 或
【分析】此题考出来坐标轴上点的坐标特点，象限内坐标特点，以及平行于坐标轴的点的坐标特点，熟记
各坐标特点是解题的关键：
（1）根据点所在坐标轴的特点得到 ，即可求出 、 的值；
（2）若点 和点 同在第三象限内，则 ，不等式组无解，故得到结论；
（3）根据平行于y轴的点的横坐标相等，及 得到 ，由此求出 、
的值．【详解】（1）解：∵点 在 轴上，点 在 轴上，
∴ ，
得
（2）若点 和点 同在第三象限内，则
，
∵不等式组无解，
∴点 和点 不能同在第三象限内；
（3）∵ 轴，且 ，
∴ ，
得 ， 或 ．
23．(1)②③
(2)① ；② 或
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案；
（2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于 的不等式组，解之可得答案；②根
据子集方程的概念可得答案．
【详解】（1）解：① 的解为 ，
② 的解为 ，
③ 的解为 ，
由 得 ，
由 得： ，所以不等式组 的解集为 ，
其中是不等式组的解的有 ， ，
所以为不等式组 的子集方程的是②③，
故答案为：②③；
（2）①由 得： ，
由 得： ，
解方程 得 ，
由题意知， ，
解得 ；
② 方程 ， 都不是该不等式组的子集方程，
或 ，即 ，
故答案为： 或 ．
24．（1）②；（2）A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元；（3）A种品牌足球的单
价为80元．B种品牌足球的单价为50元；（4）为了节约资金，学校应选择方案1：购买 种品牌的足球
23个， 种品牌的足球27个．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）根据方程可得 表示的是B品牌足球的单价，据此可得答案；
（2）直接解方程即可得到答案；
（3）设 种品牌足球的单价是 元， 种品牌足球的单价是 元，根据“购买 种品牌的足球25个，
种品牌的足球50个，共花费4500元； 种品牌足球的单价比 种品牌足球的单价高30元”，即可得出关
于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（4）设购买 种品牌的足球 个，则购买 种品牌的足球 个，根据“购买 、 两种品牌足球的
总费用不超过2750元，且购买 种品牌的足球不少于23个”，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范围，结合 为正整数，即可得出共有3种购买方案，再求出各方案所需总费用，比
较后即可得出结论．
【详解】解：（1）根据方程可知， 表示的是B品牌足球的单价，
∴A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
（2）解方程 ，
解得 ，
∴ （元）
答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元；
（3）根据题意得 ．
解得
答：A种品牌足球的单价为80元．B种品牌足球的单价为50元；
（4）解：设购买 种品牌的足球 个，则购买 种品牌的足球 个，
依题意得： ，解得： ，
又 为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买 种品牌的足球23个， 种品牌的足球27个，所需总费用为
（元）；
方案2：购买 种品牌的足球24个， 种品牌的足球26个，所需总费用为
（元）；
方案3：购买 种品牌的足球25个， 种品牌的足球25个，所需总费用为（元）；
，
为了节约资金，学校应选择方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个．
