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专题03 轴对称图形（培优卷）
1.（2019秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P P ，P P ，P P ，P P …
1 2 2 3 3 4 4 5
来加固钢架．若P A＝P P ，且恰好用了4根钢条，则 的取值范围是（ ）
1 1 2
α
A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18°
C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5°
2．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC
＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190° B．195° C．200° D．210°
3．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，
AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的
最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在
BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为
（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是 ．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分
别作正三角形，已知S甲 ＝8，S乙 ＝6，S丙 ＝3，则△ABC的面积是 ．
7．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC
延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，
则边DC长度的最大值为 ．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC
上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ．10．（1）如图 1，△ABC 中，作∠ABC、∠ACB 的角平分线相交于点 O，过点 O 作
EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，
试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
11．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交
AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指
出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点
作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又
如 何 ？ 说 明 你 的 理 由 ．12．（2021•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向
C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向
CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变
化请说明理由．
13.（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC
上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．14．（2021•香洲区校级模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、
BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交
点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
15.（2020秋•湖南期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB
上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时
出发并且运动速度相同．连接CD、DE．（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE＝DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．
16．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别
是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
17．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移
动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，
请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
18．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，
直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：
∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，
分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接
CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请
说明理由，若不变化，请求出BP的长度．专题03 轴对称图形（培优卷）
1.（2019秋•杭州期中）如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P P ，P P ，P P ，P P …
1 2 2 3 3 4 4 5
来加固钢架．若P A＝P P ，且恰好用了4根钢条，则 的取值范围是（ ）
1 1 2
α
A．15°≤a＜18° B．15°＜a≤18°
C．18°≤a＜22.5° D．18°＜a≤22.5°
【答案】C【解答】解：∵AP ＝P P ，P P ＝P P ，P P ＝P P ，P P ＝P P ，
1 1 2 1 2 2 3 3 4 2 3 3 4 4 5
∴∠A＝∠P P A，∠P P P ＝∠P P P ，∠P P P ＝∠P P P ，∠P P P ＝∠P P P ，
1 2 2 1 3 2 3 1 3 2 4 3 4 2 4 3 5 4 5 3
∴∠P P P ＝4∠A＝4 °，
3 5 4
∵要使得这样的钢条只α能焊上4根，
∴∠P P B＝5 °，
5 4
α
由题意 ，
∴18°≤ ＜22.5°．
故选：Cα．
2．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC
＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（ ）
A．190° B．195° C．200° D．210°
【答案】D
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，延长BO交CD与点P，连接AP，
∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°，
∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°，
∵∠CAB＝∠CBA＝48°，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°，
∵∠AOP是△AOB的一个外角，
∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°，∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°，
∴∠AOP＝∠ACD，
∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°，
∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°，
∴∠CAP＝∠OAP，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△AOP（AAS），
∴AC＝AO，
∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°，
∴∠ACO＝∠AOC＝72°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°，
∴∠ACO+∠AOB＝210°，
故选：D．
3．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，
AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的
最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝6+ ×6＝6+3＝9．
故选：C．
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在
BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为
（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】B
【解答】解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，
延长AE至A″，使A″E＝AE，
则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，
∴AM＝A′M，AN＝A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM＝A′M，AN＝A″N，
∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，
在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，
∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，
∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，
故选：B．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上
的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是 ．
【答案】30°
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故答案为30°．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分
别作正三角形，已知S甲 ＝8，S乙 ＝6，S丙 ＝3，则△ABC的面积是 ．
【答案】11
【解答】解：由图可知，S△ABC ＝S
ABD
﹣S丙 ﹣（S△ACE ﹣S甲 ）﹣（S△BCF ﹣S乙 ），
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2．
∵△ACE，△ABD，△BCF是等边三角形，
则S△ACE ＝ b2，S△ABD ＝ c2，S△BCF ＝ a2，
∴S△ABC ＝ c2﹣3﹣（ b2﹣8）﹣（ a2﹣6）＝11．
故答案为：11．
7．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC
延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为 ．【答案】
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFM和△QCM中，
，
∴△PFM≌△QCM（AAS），
∴FM＝CM，
∵AE＝EF，
∴EF+FM＝AE+CM，
∴AE+CM＝ME＝ AC，
∵AC＝3，
∴ME＝ ，
故答案为： ．8．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，
则边DC长度的最大值为 ．
【答案】9
【解答】解：如图，将△ADE 沿 DE 翻折得到△MDE，将△BCE 沿 EC 翻折得到
△NCE，连接MN．
由翻折的性质可知，AD＝DM＝3．AE＝EB＝EM＝EN＝3，CB＝CN＝3，∠AED＝
∠MEB，∠EBC＝∠NEC，
∵∠DEC＝120°，
∴∠AED+∠BEC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DEM+∠NEC＝60°，
∴∠MEN＝60°，
∴△EMN是等边三角形，
∴MN＝EM＝EN＝3，
∵CD≤DM+MN+CN，
∴CD≤9，
∴CD的最大值为9，
故答案为：9．
9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC
上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 ．【答案】
【解答】解：如图，作点 P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，
FN，AE，AF．
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝ ＝ ＝5，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝ ＝ ，
∴PM+MN+PN≥ ，
∴PM+MN+PN的最小值为 ．故答案为： ．
10．（1）如图 1，△ABC 中，作∠ABC、∠ACB 的角平分线相交于点 O，过点 O 作
EF∥BC分别交AB、AC于E、F．
①求证：OE＝BE；
②若△ABC 的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，
试探求∠BAC 与∠PAC的数量关系式．
【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；
②△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；
（2）解：延长BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∴∠FAP＝∠PAC，
∴∠FAC＝2∠PAC，
∵∠FAC+∠BAC＝180°，
∴2∠PAC+∠BAC＝180°．11．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交
AB、AC于E、F．
（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指
出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点
作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又
如 何 ？ 说 明 你 的 理 由 ．
【解答】解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF＝BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF＝EO+FO＝BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO，
如下图所示：∵EF∥BC，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证．
∴EF＝BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF＝BE﹣CF，
∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5＝∠6，
又∠4＝∠5，∴∠4＝∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC，
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF
12．（2021•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向
C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向
CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变
化请说明理由．【答案】（1） AP＝2 （2）不会变
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝ QC，即6﹣x＝ （6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝ EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝ AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
13.（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC
上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关
系？并说明理由．
【答案】详见解答
【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．14．（2021•香洲区校级模拟）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、
BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交
点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
【答案】(1) 60° (2) 秒或第 (3) 120°
【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝ ；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝ ；
∴当第 秒或第 秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
15.（2020秋•湖南期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB
上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时
出发并且运动速度相同．连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE＝DC．（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关
系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．
【答案】详见解答
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD＝DB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝30°，AD＝DB，
由题意得，AD＝BE，
∴BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BED＝30°，
∴∠DCE＝∠BED，
∴DE＝DC．
（2）解：DE＝DC，
理由如下：作DF∥AC交BC于F，
则∠BDF＝∠A＝60°，∠DFB＝∠ACB＝60°，
∴△DBF为等边三角形，
∴DB＝DF＝BF，∠DBF＝∠DFB＝60°，
∴FC＝AD＝BE，∠DBE＝∠DFC，
在△DBE和△DFC中，
，
∴△DBE≌△DFC（SAS），
∴DE＝DC；
（3）解：在BE上截取BH＝BD，连接DH，
∵∠DBH＝∠ABC＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴DH＝DB，∠BDH＝∠BHD＝60°，
∴∠DHE＝∠DBC＝120°，
∵AD＝BE，BH＝BD，AB＝BC，
∴HE＝BC，在△DHE和△DBC中，
，
∴△DHE≌△DBC（SAS），
∴∠HDE＝∠BDC，
∵∠EDC＝90°，∠HDB＝60°，
∴∠HDE+∠BDC＝30°，
∴∠HDE＝∠BDC＝15°，
∴∠DEC＝∠DHC﹣∠HDE＝45°．
16．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别
是线段AD、BE的中点．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）求证：△MNC是等边三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等边三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度数是60°．
（3）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM＝ AD，BN＝ BE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等边三角形．
17．如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向B点以2cm/s的速度移
动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动
的时间为t秒钟．
（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，
请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝9cm，
∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，
∴CP＝2t，
则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；
∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，
∴BQ＝5t；
（2）若△PBQ为等边三角形，
则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，
解得t＝ ，所以当t＝ s时，△PBQ为等边三角形；
（3）设ts时，Q与P第一次相遇，
根据题意得：5t﹣2t＝18，
解得t＝6，
则6s时，两点第一次相遇．
当t＝6s时，P走过得路程为2×6＝12cm，
而9＜12＜18，即此时P在AB边上，
则两点在AB上第一次相遇．
18．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，
直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；
（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：
∠ADB＝∠CDE；
（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，
分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接
CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请
说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，
∴∠ACF＝∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF＝OA＝1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠AGC＝∠ADO，
在△ACG和△ABD中， ，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，
∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠DCE＝∠GCE＝45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE＝∠G，
∴∠ADB＝∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABO＝90°．
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE＝BO，BE＝AO＝4．
∵BD＝BO，
∴CE＝BD．
∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP＝EP＝2．
