文档内容
初三数学期末练习卷
考生注意：
1．本试卷共25题，试卷满分150分，建议考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律
无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如 、
、 为常数， 的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C． 是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 已知在 中， ， ， ，那么下列等式正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：如图所示：
， ， ，
，
，故A错误；
，故B错误；
；故 错误；
，故D正确；
故选：D．
3. 已知 ，而且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．
【详解】解：∵ ，而且 和 的方向相反，∴ 3 ，
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. 如果两个相似三角形的周长比为 ，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故选：A．
的
【点睛】本题考查了对相似三角形性质 理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形
面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相
似比．
5. 下列关于二次函数 的图像与性质的描述，正确的是( )
A. 该函数图像经过原点 B. 该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C. 该函数图像的开口向下 D. 该函数图像可由函数 的图像平移得到
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可
得．
【详解】解： 二次函数 ，
抛物线开口向下，对称轴为 轴，
当 时， 随 的增大而减小，故选项B错误，选项C正确；
时， ，该函数图象经过点 ，故选项A错误；
该函数图象可由函数 的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误；
故选：C．
6. 下列命题中，说法正确的是（ ）
A. 如果一个直角三角形中有两边之比为 ，那么所有这样的直角三角形一定相似
B. 如果一个等腰三角形中有两边之比为 ，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C. 如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为 ，那么所有这样的直角三角形一定相似
D. 如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为 ，那么所有这样的等腰三角形一定相似
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质．
根据直角三角形中有两边之比为 ，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根
据等腰三角形中有两
边之比为 ，只能是底与腰 的比为 ，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定
B；若一个直角三角形
是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的 2倍，
则两锐角为 和 ，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和 ，
则三个内角分别为x， ， 或x，x，
；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D．
【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为 ，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：
一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且 ，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且 ，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形中有两边之比为 ，那么等腰三角形只能是底与腰的比是 ，所以所有这样
的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；
C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为 ，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三
角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为 和 ，所以所有
这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为 ，设这两角为x和 ，则三个内角分别为x，
， 或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 已知 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用比例的性质即可得出答案．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．
8. 计算： __________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的运算法则求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
9. 已知线段 ， 是线段 的黄金分割点， ，那么线段 的长度等于___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义：把线段 分成两条线段 和 ，且使 是 和 的
比例中项，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点．
【详解】解：根据黄金分割的定义，得
，
，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
10. 如果点 是 的重心， ，那么 边上的中线长为_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍求得DG=3，继而求得 边上的
中线长为9．
【详解】∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，
∴DG= AG= ×6=3，
∴AD=AG+GD=6+3=9．即 边上的中线长为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍
是解决问题的关键．
11. 在 中， ， ， ，则 _______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是已知正弦求解三角形的边长，熟记正弦的定义是解本题的关键．
【详解】解：在 中，
∵ ， ，
∴由 ，可得： ．
故答案为：8．
12. 如图， 是边长为3的等边三角形， 分别是边 上的点， ，如果
，那么 _________
【答案】
【解析】【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出
则可求出答案．
【详解】解：∵ 是边长为3的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是
解题的关键．
的
13. 小明沿着坡度 斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了__________米．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理；
根据题意画图，过点 作 于 ，由坡度得到 ，设 ，则 ，
在 中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，由题意得 米，
∵坡度 ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： （负值已舍去），
∴他距离地面的垂直高度升高了 米，
故答案为： ．
14. 在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为 的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那
么y关于x的函数解析式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的面积 大正方形的面积 小正方形
的面积，即可得出 关于 的函数解析式．【详解】解：根据题意得： 关于 的函数解析式是 ，
即 ．
故答案为： ．
15. 已知点 、 都在二次函数 的图象上，那么 的大小关系是：
__________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对
称轴为直线 ，从而得到当 时， 随 的增大而减小，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数图
象上点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：由二次函数 可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而减小，
点 、 都在二次函数 的图象上，且 ，
，
故答案为： ．
16. 如图，正方形 的边 在 的直角边 上，顶点E、F分别在边 、 上．已
知两条直角边 、 的长分别为5和12，那么正方形 的边长为__________．【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决
问题，属于中考常考题型．根据正方形的性质得出 ， ，即可判定
，根据相似三角形的性质可得 ，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
、 的长分别为5和12，
，
，
即正方形 的边长为 ，
故答案为： ．
17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线
段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且
EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么 =_____．【答案】
【解析】
【分析】先利用比例中线的定义，求出 EF 的长度，然后由梯形 ADFE 相似与梯形 EFCB，得到
，即可得到答案.
【详解】解：如图，
∵EF是梯形的比例中线，
∴ ，
∴ ，
∵AD//BC，
∴梯形ADFE相似与梯形EFCB，
∴ ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质
和比例中线的性质.
18. 在菱形 中，点E为边 的中点．联结 ，将 沿着 所在的直线翻折得到 ，
点B落在点F处，延长 交边 于点G．如果 的延长线恰好经过点D，那么 的值为
__________．
【答案】 ##0.75
【解析】【分析】延长 、 交于点 ，由菱形的性质得 ， ， ，
则 ，由折叠得 ， ，则 ， ，
而 ， 所 以 ， 推 导 出 ， 可 证 明
， 得 ， 则 ， 所 以 ， 则 ， 再 证 明
，得 ，再证明 ，得 ，则 ，而
，即可求得 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：延长 、 交于点 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
由折叠得 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
点 为边 的中点，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，的值为 ．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形
的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明 是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了特殊角 的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函
数值分别代入求出答案．
详解】解：原式
【
．
20. 如图，已知在 中，点D、E分别在边 、 上，且 ， ， ， ．（1）求 的值；
（2）连接 ，如果 ， ，试用 、 表示向量 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关
知识是解题关键．
（1）先判定 ，再根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可．
【小问1详解】
解： ， ， ， ，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）中可知，
，，
∴ ．
21. 如图，已知在四边形 中， ， ，对角线 、 相交于点O，
， ， ．
（1）求 的面积；
（2）求 的正弦值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形
（1）可过点 作 的平行线，借助于相似三角形的性质求出 边上的高即可解决问题．
（2）过点 作 边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题．
【小问1详解】
解：过点 作 的平行线，分别与 ， 交于点 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形，， ．
，
，
，
又 ，
， ，
．
【小问2详解】
解：在 中，
．
过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 垂线，垂足为 ，
在 中，
．
，
．
在 中，
．22. 上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．
2．如图，图中提供了一种求 的方法，阅读并填空：
先作 ，其中 ， ；然后延长 到点D，使
，结连接 ．
2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中
∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）
∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）
tan15°=2−3． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作
Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接
AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），
BD=2t，（3）tan15°=2−3．
（1） ．
（2）设 ，那么 （用t的代数式表示，以下同）， ，
（3） ．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】
如图1，在 中， ， ；
然后延长 到点D，使 ，连接 ．
（1） __________ ．
（2）设 ，那么 （用t的代数式表示，以下同）， __________．（3） __________．
【知识迁移】
如图2，在 中， ， ．然后延长 到点D，使 ，连接 ．
请用习题中求 的方法求 ．
【拓展应用】
如图3，在 中， ， ， ，点D、E分别在边 、 上，且
， ，连接 、 交于点P．求证： ．
【答案】【问题探究】 ， ， ；【知识迁移】 【拓展应用】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理熟练掌
握锐角三角函数的定义是解题的关键．【问题探究】
（1）由等腰三角形的性质得出答案；
（2）由股定理可得出答案；
（3）由锐角三角函数的定义可得出答案；
【知识迁移】
设 ， 得出， 由此求出答案；
【拓展应用】
连接 ，证出 ， ， ，设 ， ，
， ，求出 ，则可得出答案．
【详解】【问题探究】
解：（1） ，
，
， ，
，
故答案为： ；
（2）在 中， ， ， ， ，
，
，
故答案为： ；
（3）在 中， ， ，
， ，
，
故答案为： ；【知识迁移】
解：在 中 ， ，
，
，
，
中， ，
即 ，
设 ，
则 ，
，
，
；
【拓展应用】
证明：连接 ，， ，
，
， ，
，
，
，
， ；
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
．
23. 已知：如图，在梯形 中， ，对角线 、 相交于点E，且 ．
（1）求证： ；
（2）点F在 的延长线上，联结 ， ．求证： ．【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定：
（1）证明 得出 ， ，进而证明 得出
，两个比例式联立，即可得证；
（2）证明 得出 ，得出 ，根据已知条件得出
，证明 可得 ，等量代换即可得证．
【小问1详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ , ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
证明： ∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 、点 ，顶点为点
C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．（1）求抛物线M的表达式和点C的坐标；
（2）点P在x轴上，当 与 相似时，求点P坐标；
（3）将抛物线M向下平移 个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时
针旋转 得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．
【答案】（1） ，点
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当 时，则 ，即 ，即可求解；当 时，同理可解；
（3）根据图像平移和旋转求出点 ，代入函数解析式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
∵
∴顶点 ；
【小问2详解】
解：由（1）知， ，
又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，∴点 ，
∵ 、 ， ， ，
∴ 、 、 、 ，
，
又∵ 与 相似，
∴点O与点C对应，
当 时，
则 ，即 ，
解得： ，
即点 ；
当 时，
则 ，即 ，
解得： ，
则点 ；
综上，点 的坐标为： 或 ；【小问3详解】
解：如图，过点 作 交 于点 ，则 ，
设平移后的抛物线表达式为： ，
则 ，
在等腰 中， ，
则 ，
则点 ，
将点 的坐标代入函数表达式得： ，
解得： （舍去）或 ，
故 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，
旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键．
25. 如图，已知正方形 的边长为 ，点 是射线 上一点(点 不与点 、 重合)，过点 作
，交边 的延长线于点 ，直线 分别交射线 、射线 于点 、 ．（1）当点 在边 上时，如果 ，求 的余切值；
（2）当点 在边 延长线上时，设线段 ， ，求 关于 的函数解析式，并写出函
数定义域；
（3）当 时，求 的面积．
【答案】（1） 的余切值为 或 ；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明 ，根据全等三角形得出 ， 、根
据平行线分线段成比例得出 ，进而求得 或 ，进而根据锐角三角函数的定义即可
求解；
（2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出 ，再根据勾股定理得出
即可；
（3）分类讨论，当 在 上和 的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出 的边上的高 即可．
【小问1详解】
解：如图1，
正方形 ，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
设 则，
解得 或 ，
经检验， ， 都是原方程的根，
或 ，
在 中，
或 ；
【小问2详解】
如图2，由（1）得 ，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
即 ；
【小问3详解】
当点 在 上时，如图 ，过点 作 ，垂足为 ，
，
，
由（ ）可知，当 时， ，
，
，，
，
，
，
在 中， ，
的面积为
当点 在 的延长线上时，如图 ，过点 作 ，垂足为 ，
由（ ）可得， ，
，
，即 ，
解得： ，，
，即 ，
解得：
的面积为
综上所述， 的面积为 或 ．
【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角
函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的
定义是解题的关键．
