文档内容
初三数学期末测试卷
（时间100分钟）
一、选择题：（本大题共6题）
1. 下列图形，一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故选C．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是
解题的关键．
2. 已知抛物线 ，那么它的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．
【详解】解：由抛物线的顶点式 可得：
该抛物线的顶点坐标为 ，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
3. 在Rt 中， ，如果 ， ，那么AC的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
第1页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】如图：
在Rt 中，AC ．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．
4. 小杰在一个高为 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为 ，旗杆与地面接触点
的俯角为 ，那么该旗杆的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过A作 于E，在 中，已知了 的长，可利用俯角 的正切函数求出
的值；进而在 中，利用仰角 的正切函数求出 的长；从而可得答案．
【详解】解：如图，过A作 于E，则四边形 是矩形， ．
第2页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵在 中， ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ． 即旗杆的高度为 ．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义
解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
5. 已知二次函数 的图像如图所示，那么点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
第3页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对称轴的位置、开口方向、即可判断出a、b符号，进而求出 的位置．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∴ 在第二象限
故选：B
【点睛】本题考查的是二次函数 系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴
的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．
6. 如图， ， ，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可判断A，B，D，证明四边形 是平行四边形， ，
可得 ，再利用等线段代换也不能证明 ，可判断C，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
第4页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，故A符合题意；
∵ ，
∴ ，故B不符合题意；
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，故C不符合题意；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练
的利用平行线与相似三角形的性质证明成比例的线段是解本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题）
7. 如果 ，那么 __________．
【答案】
【解析】
第5页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【分析】设a=2k，得到b=3k，代入 化简即可求解．
【详解】解：设a=2k，
∵ ，
∴b=3k，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键．
8. 如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________
【答案】2：3##
【解析】
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
两个相似三角形的相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
9. 已知点P是线段 的黄金分割点， ，如果 ，那么 的长是 _____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．
【详解】解：∵点P是线段 的黄金分割点， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
第6页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部
分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值
叫做黄金比．
10. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距
离是 _____千米．
【答案】
【解析】
【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．
【详解】解：设A、B两地的实际距离为
则：
解得 千米
A、B两地的实际距离为 千米
故答案为：
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．
11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为 ，周长之和为 ，则较小的三角形的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似
比来解答．
【详解】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20× =8cm，
故答案为：8cm
【点睛】本题考查对相似三角形性质 的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比
等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12. 将抛物线 向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．
【答案】
第7页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．
【详解】解：由题意可知，将抛物线向右平移3个单位后得：
，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．
13. 如图，已知AD BE CF．如果 ， ， ，那么AC的长是 _____．
【答案】6.4##
【解析】
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
第8页/共33页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：6.4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．
14. 已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．
（备用数据tan31° = cot59°≈0.6， sin37° = cos 53°≈0.6)
【答案】37°．
【解析】
【分析】画出图形，设坡角为α，根据sinα= ，可求得α的度数．
【详解】由题意，作出图形，设坡角为α，
∵sina=
即sina= 0.6
∴a= 37°
故答案为: 37°.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.
15. 在 中， ，已知 ， ， 是 的平分线，那么 的长是
_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过B作 交 的延长线于E，先证 是等腰直角三角形，推出 ，
，再证 ，推出 ，代入数值即可求解．
【详解】解：过B作 交 的延长线于E，
第9页/共33页
学科网（北京）股份有限公司， 是 的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确添加辅
助线，构造相似三角形．
第10页/共33页
学科网（北京）股份有限公司16. 如图，点E、F分别在边长为1的正方形 的边 、 上， 、 ，正方
形 的四边分别经过正方形 的四个顶点，已知 ，那么正方形 的边长
是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据边长为1的正方形 中， 、 ，得到 ，
，根据勾股定理得到 ，根据 ，得到 ，
结合 ，推出 ，得到 ，求出 ，同理求出：
，推出 ．
【详解】解：∵ 、 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
第11页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可求： ，
∴ ，
∴正方形 的边长为 ．
故答案 ：为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形，相似三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，相
似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
17. 在 中， ，如果 ， ，那么 的长是 _____．
【答案】6
【解析】
【分析】过C作 ，垂足为H，在 上取点D，连接 ，使 ，然后根据等腰三
角形的性质和三角形外角的性质得出 的值，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】过C作 ，垂足为H，在 上取点D，连接 ，使 ，
第12页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质和勾股定理，画出图形，合理构建辅助线是解
题的关键．
18. 如图，正方形 的边长为5，点E是边 上的一点，将正方形 沿直线 翻折后，点D
的对应点是点 ，联结 交正方形 的边 于点F，如果 ，那么 的长是
______________．
第13页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】连接 ，由折叠的性质及直角三角形的性质可得 ，再可证明
，则可得点 是 的中点，设 ，则可得 ，再可证明 ，
由相似三角形的性质建立关于x的方程，解方程即可求得x，从而求得结果．
【详解】解：连接 ，如图，
四边形 是正方形，
， ，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
第14页/共33页
学科网（北京）股份有限公司，
即点 是 的中点，
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
即
解得： ， （舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
第15页/共33页
学科网（北京）股份有限公司解一元二次方程，直角三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质建立一元二次方程是本题的关键与难
点．
三、解答题：（本大题共7题）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.
解：原式=4× -2× × +
=2 -1+2
=2
20. 如图，在 中， 平分 ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）设 ， 求向量 （用向量 表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
第16页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【 分 析 】 （ 1 ） 先 证 明 ， ， 结 合 角 平 分 线 的 定 义 可 得
，证明 ，结合相似三角形的性质可得答案；
（2）先求解 ，结合（1）可得 ，可得 ，再利用
，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第17页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的方法，难度一
般．
21. 如图，在 中， ， ，点B在边 上， ，垂足为D，点F
在 延长线上， ， ．求：
（1） 的长；
（2） 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由各角之间的关系得出 ，再由正切函数及勾股定理求解得出
，最后利用三角形等面积法求解即可；
（2）由等面积法得出 ，结合图形得出 ，再由余切函数的定义求解即可．
第18页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
令 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
在 中， ，
∴ ，
第19页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关
键．
的
22. 某地一段长为50米 混泥土堤坝，堤坝的横断面 是等腰梯形（如图所示），坝顶 宽为8
米，坝高为4米，斜坡 的坡度为 ．
（1）求横断面 的面积；
（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米
的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）
【答案】（1）横断面 的面积为 ．
第20页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（2）加高堤坝需要的混泥土为： ．
【解析】
【分析】（1）如图，过 作 于 ，过 作 于 ，再证明 ，
，再利用梯形面积公式进行计算即可；
（2）先画出图形，如图，过 作 于 ，过 作 于 ，结合题意可得：
，斜坡 的坡度是 ，四边形 ，四边形 都是等腰梯形，同理可得：
， ，再求解 ， ，可得四边形 的面积为： ，
从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
由等腰梯形是轴对称图形可得： ， ，四边形 是矩形，
∴ ，
∵斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第21页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴横断面 的面积为 ．
【小问2详解】
如图，过 作 于 ，过 作 于 ，
结合题意可得： ，斜坡 的坡度是 ，
四边形 ，四边形 都是等腰梯形，
同理可得： ， ，
由斜坡 的坡度是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为： ，
∴加高堤坝需要的混泥土为： ．
【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，坡度的应用，堤坝体积的计算，理解题意，作出符合题意的图形，
利用数形结合的方法解题是关键．
23. 如图，在 中，点D、F分别是边 、 上的点， 和 交于点E．
第22页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（1）如果 ，求证： ；
（2）如果 ，求证： 是 的中线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先将等式化为比例式，可得到 ，再根据角相等，证得 、
，从而能证得 ；
（2）过D作 交 于G，则 ，再根据比例式的代换得到 ，从而得出
结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ；
【小问2详解】
过D作 交 于G，则 ，
第23页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴D为 的中点， 是 的中线．
【点睛】本题考查了相似三角形 的判定和性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y
轴交于点C，已知 ， ， ．
第24页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、 交于点E、F，求 的长；
（3）在（2）的条件下，联结 ，如果点P在该抛物线的对称轴上，当 和 相似时，求点P
的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为： 或 ．
【解析】
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解 C 的坐标，再求解 B 的坐标，A 的坐标，设设抛物线为
，把 代入即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为直线 ，再求解直线 为 ，可得F的坐标，从
而可得答案；
（3）如图，过 作 于 ，证明 ，可得 ，而 ，可得
，则 ，当 和 相似时，显然 与对称轴没有交点， 不
在 的下方，只能在 的上方，且 与 是对应角，再分两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 ，
当 ，则 ，即 ，
∵ ，
第25页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
设抛物线为 ，把 代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ， ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
第26页/共33页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
∴ ．
【小问3详解】
如图，过 作 于 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
当 和 相似时，显然 与对称轴没有交点，
第27页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ 不在 的下方，只能在 的上方，且 与 是对应角，
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
综上：P的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应
用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明 与
是对应角是解（3）的关键．
25. 如图，在 中， ， ， ，点D是斜边 上的动点，连接
， 垂直平分 交射线 于点F，交边 于点E．
第28页/共33页
学科网（北京）股份有限公司（1）如图，当点D是斜边 上的中点时，求 的长；
（2）连接 ，如果 和 相似，求 的长；
（3）当点F在边 的延长线上，且 时，求 的长．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，记 ， 的交点为 ，证明 ， ，再利用
锐角三角函数分别求解 ， 即可；
（2）先求解 ， ，由 和 相似，分两种情况讨论即可；
（3）如图，连接 ，过 作 交 的延长线于 ，由 ，
可得 ，求解 ， ，结合垂直平分线的性质可得： ，由勾
股定理可得 ，从而可得答案．
第29页/共33页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：如图，记 ， 的交点为 ，
∵ ，点D是斜边 上的中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ， ， ，
第30页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，设 ，则 ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∵ 和 相似，如图，当 时，
∴ ，
由垂直平分线的性质可得： ，
∴ ，解得： ，
如图，当 时，
∴ ，
∴ ，解得： ．
【小问3详解】
第31页/共33页
学科网（北京）股份有限公司如图，连接 ，过 作 交 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，而 ，
同理可得： ， ，
由垂直平分线的性质可得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角
函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键．
第32页/共33页
学科网（北京）股份有限公司第33页/共33页
学科网（北京）股份有限公司
