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专题 2.3 图形变化类规律问题
【典例1】下列图形是用五角星摆成的，如果按照此规律继续摆下去：
（1）第4个图形需要用 个五角星；第5个图形需要用 个五角星；
（2）第n个图形需要用 个五角星；
（3）用6064个五角星摆出的图案应该是第 个图形；
（4）现有1059个五角星，能否摆成符合以上规律的图形（1059个五角星要求全部用上），请说明理由．
【思路点拨】
（1）不难看出后一个图形比前一个图形多3个五角星，据此进行求解即可；
（2）结合（1）进行分析即可得出结果；
（3）利用（2）中的结论进行求解即可；
（4）利用（2）进行求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得：第1个图形需要用五角星的个数为：4，
第2个图形需要用五角星的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图形需要用五角星的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
第4个图形需要用五角星的个数为：13＝4+3+3+3＝4+3×3，
第5个图形需要用五角星的个数为：16＝4+3+3+3+3＝4+3×4，
故答案为：13，16；
（2）由（1）得：第n个图形需要用五角星的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
故答案为：（3n+1）；
（3）由题意得：3n+1＝6064，
解得：n＝2021，
故答案为：2021；
（4）不能，理由如下：由题意得：3n+1＝1059，
1058
解得：n= ，不是整数，
3
∴1059个五角星不能摆成符合以上规律的图形．
1．（2022•沙坪坝区校级二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 4个黑色圆点，
第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中
黑色圆点的个数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．（2022•桐梓县模拟）观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图树枝数用Y 表示，则Y ﹣Y ＝（ ）
n 9 4
A．55个 B．65个 C．75个 D．496个
3．（2022•沙坪坝区校级开学）将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第 1个图形有5朵梅花，
第2个图形有8朵梅花，第 3个图形有13朵梅花，…按此规律，则第 7个图形中共有梅花的朵数是
（ ）
A．39 B．40 C．53 D．68
4．（2022•西山区二模）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第100个图形中共有（ ）个点．
A．297 B．300 C．303 D．306
5．（2022春•九龙坡区期末）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共
有10个点，第3个图中共有19个点，……按此规律，则第5个图中共有点的个数是（ ）
A．31 B．46 C．51 D．66
6．（2022•庆阳二模）如图，小明依次画了一组有规律的图案，其中第①个图由 4个◆组成的，第②个图
图案由7个◆组成的，那么图案n是由 个◆组成的．
7．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根．
8．（2022•绥化二模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2022个图形中有 颗黑
色棋子．
9．（2022•大庆模拟）如图，第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9
个三角形……则第2022个图形中有 个三角形．
10．（2022•大东区一模）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第10个“龟图”中有 个“〇”．
11．（2022•乐陵市模拟）如图所示，将形状大小完全相同的“
▱
”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图
中“
▱
”的个数为a
1
，第2幅图中“
▱
”的个数为a
2
，第3幅图中“
▱
”的个数为a
3
，…，以此类推，
2022 2022 2022 2022 2022
+ + + +⋯+ 的值为 ．
a a a a a
1 2 3 4 2021
12．（2021秋•安庆期末）如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）4节链条拉直后长度为 ；
（2）n节链条拉直后长度为 ；
（3）如果一辆自行车的链条由50节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是多少？13．（2021秋•新昌县期末）某学校食堂新购进了一批梯形餐桌，如图1所示，每张桌子可坐5人．
（1）七（2）班41名学生同时就餐，当餐桌按如图2摆放时，至少需要多少张梯形餐桌？
（2）现班级要举办一个活动，计划用4张餐桌无缝拼接，刚好能坐满10个人，请设计一个餐桌摆放的方
案，并画出方案示意图．
14．（2021秋•金水区校级期末）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ …
火柴棒根数 5 9 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
（3）搭第2022个图形需要多少根火柴棒？
15．（2021秋•肥西县月考）数学兴趣小组活动上，宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．
（1）按照这种规律，第5个“100”字样的棋子个数是 ，第n个“100”字样的棋子个数是 ；
（2）若有2022个这样的棋子，按这种摆法是否正好摆成一个“100”，若能，求摆出是第几个“100”？若
不能，说明理由．
16．（2021秋•长安区期末）将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第 1个图由5
个白色小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接起
来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．
（1）第4个图白色小正方形的个数为 ；
（2）第10个图白色小正方形的个数为 ；
（3）第n个图白色小正方形的个数为 （用含n的代数式表示，结果应化简）；
（4）是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请
说明理由．
17．（2021秋•乐平市期中）如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、
对比、总结，找出规律，解答下列问题．（1）摆成图1需要 枚棋子，摆成图2需要 枚棋子，摆成图3需要 枚棋子；
（2）摆成图n需要 枚棋子；
（3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好
站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由．
18．（2021秋•连云港月考）下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
（1）第6个图中共有 根火柴；
（2）第n个图形中共有 根火柴；（用含n的式子表示）
（3）第2021个图形中共有多少根火柴？
19．（2021秋•安次区校级期中）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案．（1）第1个图案中有6根小棒；第2个图案中有 根小棒；第3个图案中有 根小棒；
（2）第n个图案中有 根小棒；
（3）第45个图案中有 根小棒；
（4）是否存在某个符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成？如果有，指出是第几个图案；如果没有，
请说明理由．
20．（2021秋•金水区校级期末）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依
此规律完成此题．
图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个
涂有阴影的小正 5 a 13 b
方形的个数
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）按照这种规律继续下去，则第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为 ；（用含n的代数式
来表示）；
（3）按照这种规律继续下去，用（2）中的代数式求第2021个图形中涂有阴影的小正方形的个数．
21．（2022•马鞍山二模）观察图：
下列每一幅图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位
为1的小方格）．（1）根据规律，第4个图中共有 个方格，其中黑方格 个．
（2）第n个图形中，白方格共有 个．（用n表示，n为正整数）
（3）有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．
22．（2022•包河区一模）如图，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规
格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的
边长均为0.5米．
（1）按图示规律，第3图案的长度L ＝ ；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为 ；
3
（2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为 块（用含n的代数式表示）；
（3）若学校读书长廊的长度为L ＝100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块．
n
