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培优专题 01 借助数轴将数与形结合
【专题精讲】
在数学里“数”和“形”是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;
反过来,也借助于几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种“数”与“形”
之间的相互作用叫数形结合,它是一种重要的数学思想。运用数形结合思想解题
的关键是建立“数”与“形”之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主
要体现在以下几个方面：
(1)利用数轴能形象地表示有理数；
(2)利用数轴能直观地解释相反数;
(3)利用数轴比较有理数的大小;
(4)利用数轴解决与绝对值相关的问题;
(5)巧用数轴可以探究动点的规律;
(6)应用数轴解决行程问题
◎类型一：利用数轴比较有理数的大小
解题方法：利用“数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大”的性质把有理数
表示在数轴上,由相对位置得出大小.
1．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）在数轴上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－ ，并把这些数由小到大用“＜”号连接起来．
【答案】数轴见解析，-3＜-1＜- ＜0＜2.5＜3.5
【分析】先分别把各数在数轴上找出对应的点，再按从左到右的顺序排列即可．
【详解】解：在数轴上表示出来如图所示．
根据这些点在数轴上的排列顺序，从左至右分别用“＜”连接为：
-3＜-1＜- ＜0＜2.5＜3.5．
【点睛】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，由于引进了数轴，我们把数和点
对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的
问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（2021·江苏盐城·七年级期中）已知一组数： ， 0 ， －3.5， 3， ．
(1)把这些数在下面的数轴上表示出来：
(2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．
．
【答案】(1)见解析
(2)﹣3.5< < 0 < <3
【分析】（1）将数准确在数轴上表示出来，注意正负号；
（2）根据（1）中在数轴上表示的数，从左往右依次增大，用小于号连接即可．
（1）
解：如图所示，
；
（2）
顺序为： ．
【点睛】本题主要考查的是数轴表示数，重点在于准确将数在数轴上表示出来，注意符号．3．（2021·辽宁·彰武县第三初级中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：
，并用“<”把这些数连接起来．
【答案】数轴上表示各数见解析；
【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴
方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”符号连接起来即可．
【详解】解：如图所示：
用“<”符号连接为： ．
【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，利用数轴上的点表示的数右边的总比左
边的大是解题的关键．
4．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，
2，并用“＜”号连接．
【答案】见解析，
【分析】根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数；数轴正方向朝右，右边
的数总比左边的大，并用“<”号连接起来即可．
【详解】如图所示：
根据上图可知： ．
【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题
关键．
◎类型二：利用数轴表示相反数、绝对值
解题方法：确定数轴上点所表示的数,首先要确定原点的位置,再根据此点在原点
的左右得到其符号,根据此点到原点的距离得到绝对值。5．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相
反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点
表示的数．
【答案】(1)A表示-3，B表示3
(2)-6.5
(3)1
【分析】(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的
数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即
可得到答案．
（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，∴ ，∵A，B在数轴上互为相反数，A
在左，B在右，∴A表示-3，B表示3；
（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，∴C表示的数为 ；
（3）因为点D到A的距离为2，所以点D表示的数为-1和-5．因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为-1和7．综上，点D表示的数为-1．所以点D关于原点对称的点表示
的数为1．
【点睛】此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记
数轴上点移动的规律是解题的关键．
6．（2021·全国·七年级专题练习）如图．在一条不完整的数轴上一动点A向左移动5个单
位长度到达点B，再向右移动9个单位长度到达点C．
（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；
（2）若点C表示的数为6，求点B、点A表示的数；
（3）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数．
【答案】（1）﹣5，4；（2）﹣3，2；（3）-7．
【分析】（1）依据点A表示的数为0，利用两点间距离公式，可得点B、点C表示的数；
（2）依据点C表示的数为6，利用两点间距离公式，可得点B、点A表示的数；（3）依据点A、C表示的数互为相反数，利用两点间距离公式，可得点B表示的数．
【详解】解：（1）若点A表示的数为0，
∵0﹣5=﹣5，
∴点B表示的数为﹣5，
∵﹣5+9=4，
∴点C表示的数为4；
（2）若点C表示的数为6，
∵6﹣9=﹣3，
∴点B表示的数为﹣3，
∵﹣3+5=2，
∴点A表示的数为2；
（3）若点A、C表示的数互为相反数，
∵AC=9﹣5=4，
∴点A表示的数为﹣2，
∵﹣2﹣5=﹣7，
∴点B表示的数为﹣7．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的运算、数轴上两点间距离等，解题的关键是能根据题
意列出算式．
7．（2022·江苏·七年级专题练习）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示．
(1)在数轴上表示出a的相反数的位置．
(2)若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
(3)在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表
示的数是多少？
【答案】(1)数轴表示见解析；
(2)a表示的数是﹣10；
(3)b表示的数是5或15
【分析】（1）根据相反数的定义在数轴上表示出来即可；
（2）根据题意列出方程，求出方程的解即可；
（3）分为两种情况，列出算式，求出即可．
(1)
解：如图：
．
(2)
解：根据题意可列式，
﹣a﹣a＝20，解得a＝﹣10．
即a表示的数是﹣10．
(3)
解：∵﹣a＝10，
当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15，
当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5，
∴b表示的数是5或15．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，数轴上两点间的距离的应用，解题的关键是能根据题
意列出算式和方程．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点A向左移动4个单
位长度到达点B，再向右移动7个单位长度到达点C．
（1）若点A表示的数为0，求点B、点C表示的数；
（2）如果点A、C表示的数互为相反数，求点B表示的数.
【答案】（1）点B表示的数为−4，点C表示的数为3；（2）点B表示的数为−5.5.
【分析】（1）根据点A表示的数为0，利用数轴的特点，可得点B、点C表示的数；
（2）求出AC，根据点A、C表示的数互为相反数，可得点A表示的数，然后再求点B表
示的数.
【详解】解：（1）若点A表示的数为0，
∵0−4＝−4，
∴点B表示的数为−4，
∵−4＋7＝3，
∴点C表示的数为3；
（2）若点A、C表示的数互为相反数，
∵AC＝7−4＝3，
∴点A表示的数为−1.5，
∵−1.5−4＝−5.5，
∴点B表示的数为−5.5.
【点睛】本题考查了数轴以及相反数．关键是能根据题意列出算式，是一道比较基础的题
目．
◎类型三：利用数轴求整数点个数问题
解题方法：数轴上整数对应的点便是整数点,确定区间内整数点的个数,先要明确
区间内的最大整数与最小整数,再通过计算得到结果.9．（2021·黑龙江鸡西·七年级期末）在数轴上位于-3和3之间（不包括-3和3）的整数点
有（ ）
A．7个 B．5个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【分析】先列举出-3和3之间（不包括-3和3）的整数，然后再统计即可．
【详解】解：-3和3之间（不包括-3和3）的整数有：-2，-1,0,1,2，共5个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了再数轴上表示有理数，正确列举出符合题意得整数是解答本题的
关键．
10．（2018·天津·南开中学七年级阶段练习）在数轴上任取一条长度为 的线段，则
此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001
【答案】D
【分析】把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点记作0，再进行计算即可．
【详解】解：把这条线段的一个端点覆盖第一个整数点若记作0，则覆盖的最后一个数是
2000，因而共有从0到2000共有2001个数．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴上的点与实数的对应关系，能够理解什么情况最多是解决本
题的关键．
11．（2019·四川·三台博强外国语学校七年级阶段练习）数轴上从-3.9到它的相反数有a个
整数点，则a个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖（ ）个整数点.
A．8 B．7 C．6 D．4
【答案】C
【分析】根据数轴，以及相反数的定义，即可得到答案.
【详解】解：∵ 的相反数是 ，
∵ 与 之间有7个整数点，
∴ ，
∴7个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖6个整数点；
故选择：C.
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握在数轴表示的数.
12．（2014·湖北黄冈·七年级期中）在数轴上表示整数的点称为整数点,某数轴的单位长度
是1㎝，若在这个数轴上随意画出一条长2015㎝的线段AB，则被线段AB盖住的整数有（
）
A．2012个或2013个 B．2013个或2014个
C．2014个或2015个 D．2015个或2016个【答案】D
【详解】试题分析：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2016个数；②当线段AB
起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2015个数．故选D．
考点：数轴．
◎类型四：应用数轴解决行程问题
解题方法：点在数轴上运动时,如何表示点在数轴上的位置,是应用数轴解决行程
问题的关键,由于数轴以向右的方向为正方向,因此向右运动 a个单位长度看作
+a,向左运动a个单位长度看作-a,这样就可以结合两点之间的距离公式,再运用行
程问题的相遇公式即可解决。
13．（2019·河南南阳·七年级期中）如图：在数轴上 点表示数 点表示数 点表示数
是最小的正整数，且 满足 ．
（1）求 的值；
（2）若将数轴折叠，使 点与 点重合，则点 与数_______表示的点重合；
（3）点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度在数轴上向点 运动，当点 到达点
后立即返回，仍然以每秒 个单位长度的速度运动至 点停止，设运动时间为
①当 时，求点 表示的有理数；
②当点 表示的有理数与 点的距离为 个单位长度时，直接写出所有满足条件的 值．
【答案】（1） ， ， ；（2）10；（3）①2, ②14秒或16秒
【分析】（1）根据 可得 ， ，从而得出a，c的值，再根
据b是最小的正整数，得出b的值即可；
（2）根据B、C重合，计算出数轴沿着数4对折，再根据点A与数4之间的距离计算出与
点A重合的数；
（3）①根据时间计算出点P的运动方向及长度即可；
②对点P的位置进行分类讨论，一是当点P在点B的右侧1个单位时，二是当点P在点B
左侧1个单位时，分别计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
b是最小的正整数，
∴ ，∴ ， ，
（2）∵ ，
∴若B、C重合，则数轴沿着数4对折，
∴ ，
∴点A与数10重合，
故答案为：10
（3）∵AC的长度为 ，
∴当 时，点P已到达点C，并向点A运动了14-9=5（秒）
∴此时点P表示的数为：7-5=2，
∴当 时，点 表示的有理数是2
②当点P在点B的右侧1个单位时，
∵从A到C需要9秒，所以此时在点B右侧1个单位时，时间为9+（7-1）-1=14（秒）
当点P在点B左侧1个单位时，时间为9+（7-1）+1=16（秒）
故答案为：14秒或16秒．
【点睛】本题考查了数轴上的点所表示的数，以及数轴上动点问题，解题的关键是熟知数
轴上数的表示方法．
14．（2022·福建·福州教院二附中七年级期末）如图，已知点 ， ， 是数轴上三点，
点 对应的数为 ， ， ．
(1)求点 ， 对应的数；
(2)动点 ， 同时从 ， 出发，分别以每秒 个单位和 个单位的速度沿数轴正方向运
动， 为 的中点， 在 上，且 ，设运动时间为 。
①求点 ， 对应的数 用含 的式子表示 ；
② 为何值时，
【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2
(2)① 表示的数是 ， 表示的数是 ；
②当 秒或 秒时 ．
【分析】（1）根据点C对应的数为 ，有OC=6，根据BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即
点B表示的数是2；根据 ，可得OA=10，即问题得解；
（2）①根据动点P、Q运动特点可得 ， ，根据M为 的中点，，可得 ， ，结合A对应的数为-10，C表示的数是
6，即可求解；②根据（1）中 ， 表示的数，即可得 ， ，即
有 ，结合 ，可得 ，即可
作答．
（1）
∵点C对应的数为 ，
∴OC=6，
∵ ，
∴OB=OC-BC=6-4=2，
∴点B表示的数是2，
∵ ，
∴OA=AB-OB=12-2=10，
∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，
即A对应的数为-10，B对应的数为2；
（2）
①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒 个单位和 个单位的速度，时间是 ，
∴ ， ，
∵M为 的中点， 在 上，且 ，
∴ ， ，
∵A对应的数为-10，C表示的数是6，
∴ 表示的数是 ， 表示的数是 ；
②∵ 表示的数是 ，
∴ ，
∵ 表示的数是 ，
∴ ，
∵B对应的数为2，
∴OB=2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
故当 秒或 秒时 ．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离
等知识，得出 是解答本题的关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）综合与探究
阅读理解：
数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形
结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间
的距离与a，b两数的差有如下关系： 或 ．
问题解决：
如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2， ．
填空：
(1)A，B两点之间的距离为_______；
(2)点C为数轴上一点，在点A的左侧，且 ，则点C表示的数是_______；
(3)拓展应用：在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴
上匀速运动，设运动时间为t秒（ ），当t为何值时，P，C两点之间的距离为12个单
位长度？
【答案】(1)7
(2)
(3) 或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度
【分析】(1)根据公式计算即可 ．
(2) 设C表示的数为 ，根据公式AC=|2- |=6，计算后，结合定C的位置确定答案即可．
(3) 解答时，分点P向左运动和向右运动两种情况求解．
（1）∵数轴上的点A，B分别表示有理数2， ，∴AB=|-5-2|=7，故答案为：7．
（2）设C表示的数为 ，根据题意，得AC=|2- |=6，∴2- =6或2- = -6，解得 = -4
或 =8，∵点C在点A的左侧，∴ ＜ ，∴ = -4，故答案为：-4．
（3）①当点P向右运动时，点P表示的数为2+2t，根据题意，得 ，解这
个方程，得 ；②当点P向左运动时，点P表示的数为2-2t，根据题意，得
，解这个方程，得 ，故当 或9秒时，P，C两点之间的距离为12个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，分类思想，熟练掌握公式，正确
理解距离的意义是解题的关键．
16．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上有三点 ， ， 分别表示有理数 ，
， ，动点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向终点 移动，设点 移动时间为
．
（1）用含 的代数式表示点 分别到点 和点 的距离： ______， ______．
（2）当点 运动到点 时，点 从点 出发，以 个单位长度 的速度向点 运动，点
到达点 后，再立即以同样的速度返回，当点 运动到点 时，两点运动停止．当点 ，
运动停止时，求点 ， 间的距离．
【答案】（1） ， ；（2）24
【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；
（2）先求得点 从 点到 点的时间，进而求得点 运动 的路程，根据题意确定 的
位置，进而求得 的距离
【详解】（1） ，
故答案为： ， ；
（2）解：点 从 点到 点的时间为
点 运动 的路程为
点 ， 距离为
答：点 ， 距离为
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．
【巩固训练】
1．（2020·广东东莞·一模）如图，数轴上顺次有A，B，C三个整数点（即各点均表示整
数）且BC＝2AB．若A，C两点所表示的数分别是﹣3和3，则点B所表示的数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】D
【分析】先求出AC、AB的长，再根据A、B的位置即可求得点B所表示的数．
【详解】由题意得： ，∵ ，
∴ ，
又∵点B在点A的右边，且点A所表示的数是 ，
∴点B所表示的数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴的定义，掌握理解数轴的定义是解题关键．
2．（2020·山西太原·七年级期末）如图，数轴上有 ， ， ， 四个整数点（即各点均
表示整数），且 ．若 ， 两点所表示的数分别是 和 ，则线段 的中
点所表示的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设出 ，根据 表示出 、 ，求出线段 的长度，即可
得出答案．
【详解】解：设 ，
，
， ，
，
， 两点所表示的数分别是 和6，
，
解得： ，
， ，
， 两点所表示的数分别是 和6，
线段 的中点表示的数是2．
故选：A．
【点睛】题目考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，考查学生对数轴
知识的掌握情况，题目难易程度适中，适合学生课后训练．
3．（2021·福建·政和县第三中学七年级期中）在数轴上表示下列各数：0，﹣4，|﹣5|，
2，并用“＜”号连接．【答案】见解析，
【分析】根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数；数轴正方向朝右，右边
的数总比左边的大，并用“<”号连接起来即可．
【详解】如图所示：
根据上图可知： ．
【点睛】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，理解数轴上表示数的意义是解题
关键．
4．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）先以1厘米长为一个单位长度画一条数轴，
然后在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”把这些数按从小到大的顺序排列起来：
．
排列：______________________________．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】在数轴上表示出各数，根据数轴左边的数小于右边的数排列即可求解．
【详解】如图，数轴上画出表示 的点，
排列： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题
的关键．
5．（2020·河南新乡·七年级阶段练习）已知有理数 所表示的点与原点的距离为4个单位
长度， 互为相反数，且都不为零， 互为倒数．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） 或0
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；（2）根据相反数、倒数的性质算出相对应的值，带入求解即可；
【详解】（1）因为有理数 所表示的点与原点的距离为4个单位长度
所以 , 的值为 ;
（2）由题意可知: ，
所以, ，
，
，
，
当 时,原式 ；
当 时,原式 ；
综上所述, 的值为 或0．
【点睛】本题主要考查了相反数、绝对值、倒数的性质，准确计算是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原
点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析
【详解】【分析】（1）（2）根据相反数的定义可求原点；
（3）根据相反数的定义可求原点，再在数轴上表示出原点O的位置即可．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；
（3）如图所示：
故答案为：B；C．
7．（2022·江苏·七年级单元测试）如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣
3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的
速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
【答案】(1)3
(2) 或
【分析】（1）首先表示出点B运动t秒对应的数，再根据AB＝8列出方程，求解即可；
（2）首先表示出数轴上P'对应的数，再根据P'A＝3P'B列出方程，求解即可．
（1）
点B运动t秒对应的数为2＋t，
∵AB＝8，
∴2＋t﹣（﹣3）＝8，
解得t＝3．
故答案为：3；
（2）
由题意可得，数轴上P'对应的数为﹣6＋2t．
∵P'A＝3P'B，
∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，
即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），
解得t ，或t ．
故所求t的值为 或 ．
【点睛】本题结合动点问题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，表示
出点P、B在数轴上运动t秒后对应的数是解题的关键．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点O为数轴的原点，点A，B均在数轴上，点B
在点A的右侧，点A表示的数是﹣5，AB OA．
(1)求点B表示的数；
(2)将点B在数轴上平移3个单位，得到点C，点M是AC的中点，求点M表示的数．
【答案】(1)点B表示的数是1
(2)点M表示的数是﹣3.5或
【分析】（1）根据AB与OA的关系，得到B到A的距离，从而得出B到原点的距离即可；（2）分两种情况，利用中点的性质计算即可．
(1)
解：∵AB OA，OA＝5，
∴AB＝6，
∴BO＝AB﹣AO＝6﹣5＝1，
则点B表示的数是1；
(2)
解：当点B向左平移时，CB＝3，
∴点C表示的数是﹣2，
则AC=3，
∵点M是AC的中点，
∴CM=1.5
∴点M表示的数是-3.5；
当点B向右平移时，CB＝3，
∴C表示的数是4，且AC=9，
∵点M是AC的中点，
∴CM=4.5，
∴M表示的数是 ，
∴点M表示的数是﹣3.5或 ．
【点睛】本题考查了数轴上的点的表示，中点的意义，熟练掌握数轴上的点的表示方法，
以及中点的意义是解题的关键．注意数形结合．
