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培优专题 12 角中的动态问题
类型一：运动的三角尺问题
1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋
转180°．
【解决问题】
（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？
（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．
（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度
数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．
①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？
②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满
足条件的t值．
【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；
（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12
【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；
（2）分别计算出角的度数可得结论；
（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．
【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB（2）有，理由如下：
射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．
当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°
则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°
因为∠COD=90°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°
∠BOC=∠BOD=45°
所以射线OB平分∠COD
又因为∠BOD=45°= ∠AOB
所以射线OD平分∠AOB
（3）①是，理由如下：
第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°
则∠AOB=2∠BOC
所以OC是∠AOB的“优线”．
②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，
当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°，
∴15t＝30，解得t＝2；
当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°，
∴15t＝45，解得t＝3；
当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°，
∴15t＝60，解得t＝4；
当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°，
∴15t＝135，解得t＝9；
当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°，
∴15t＝180，解得t＝12．
综上，t＝2，3，4，9，12．
【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑
所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°
中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）
(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板
画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点，与60°角
（∠COD）的顶点互相重合，且边OA，OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三
角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时
停止，是否存在一个时间t（秒）使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①④
(2)存在当 或 时， ，理由见解析
【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；
（2）分两种情况当OA在∠DOE内时，当OA在∠DOE外部时，利用角之间的关系求解即
可．
（1）
解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，
∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能
画出25°，35°，65°，
故答案为：①④；
（2）
解：存在当 或 时， ，理由如下：
由题意得： ， ， ，
∴ ， ，
分两种情况：
当OA在∠DOE内时，如图2-1所示，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 符合题意；
当OA在∠DOE外部时，如图2-2所示
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ 符合题意；
∴当 或 时， ．
【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的
关键．
3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B＝∠AOB＝45°，∠A＝90°和
∠D＝30°，∠COD＝60°，∠C＝90°）按如图所示摆放使得B、O、D三点共线．将三角尺
ABO绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO与OD重合时停止运动，设三角尺ABO
的运动时间为t秒．
(1)当t＝10时，∠AOD＝ °．
(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．
(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，
当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻
使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)95
(2) 秒
(3)21秒或27秒【分析】（1）根据t=10算出旋转的度数，从而得到∠AOD；
（2）画出图形，求出∠AOD的度数，再求出旋转角，除以转动速度即可；
（3）分当OB在OC左侧和当OB在OC右侧两种情形，结合图形分别求解．
(1)
解：当t＝10时，
三角尺ABO旋转了4×10=40°，
∴∠AOD=180°-45°-40°=95°；
(2)
当边AO平分∠COD时，
∵∠COD=60°，
∴∠AOC=∠AOD=30°，
∴旋转角为：180°-45°-30°=105°，
∴t=105÷4= ；
(3)
存在，理由是：
在旋转过程中，
∠AOD=180°-45°-（4+1）t=135°-5t，
当OB在OC左侧时，
∠BOC=180°-60°-（4+1）t=120°-5t，
135°-5t=2（120°-5t），
解得：t=21；
当OB在OC右侧时，
∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°，
∴∠AOD= ×15°=10°，
∴t=（180°-45°）÷（4+1）=27；综上：t的值为21秒或27秒．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，
利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．
4．（2021·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边 与量
角器 刻度线重合，边 与量角器 刻度线重合，将三角尺 绕量角器中心点 以每
秒 的速度顺时针旋转，当边 与 刻度线重合时停止运动.设三角尺 的运动时间为
（秒）
（1）当 秒时，边 经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;
（2） 秒时，边 平分 ;
（3）若在三角尺 开始旋转的同时，三角尺 也绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，
当三角尺 停止旋转时，三角尺 也停止旋转，
①当 为何值时，边 平分 ;
②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得 .若存在，请求出 的值;若
不存在，请说明理由.
【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，② 秒或 秒
【分析】（1） 秒时，边 经过量角器刻度对应的度数是 ，由由旋转知，
，进而即可得到答案；
（2）由旋转知，旋转角为 度，根据题意，列出关于t的方程，即可求解；
（3）①类似（2）题方法，列出关于t的方程，即可求解；
②分两种情况：当边 在边 左侧时，当边 在边 右侧时，用含t的代数式分别表
示出 与 ，进而列出方程，即可求解．
【详解】 当 秒时，由旋转知， ，
是等腰直角三角形，
，
即： 秒时，边 经过量角器刻度对应的度数是 ，
旋转 秒时，边 经过量角器刻度对应的度数是 ，故答案为： ；
由旋转知，旋转角为 度，
边 平分 且 ，
，解得： ，
故答案为: ；
①同 的方法得： ，解得： ；
②当边 在边 左侧时，
由旋转知， ， ，
，
，解得： ，
当边 在边 右侧时，
由旋转知， ，
或 ，
，
或 ，
解得： (不合题意舍去)或 ，
综上所述： 秒或 秒时， ．
【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一
元一次方程，是解题的关键．
类型二：角的动线问题
5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线 上依次有 、 、 三点，若射线
绕点 沿顺时针方向以每秒 的速度旋转，同时射线 绕点 沿逆时针方向以每秒
的速度旋转，如图②，设旋转时间为 秒（ ）．
（1） __________度， __________度．（用含 的代数式表示）
（2）在运动过程中，当 等于 时，求 的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的 ，使得射线 平分 或 ( ，
均为小于 的角)？如果存在，直接写出 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1） 度， 度；（2）当 等于 时，t=20或40；
（3）射线 平分 或 时，t=18或36.
【分析】（1）∠POA的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠QOB的度数等于OB旋
转速度乘以旋转时间；
（2）分OA与OB相遇前，∠AOB=60°，和OA与OB相遇后，∠AOB=60°，两种情况，
列出关于t的等式，解出即可；
（3）分OB平分∠AOQ和OB平分∠AOP两种情况，列出关于t的等式，解出即可.
【详解】（1） 度，
度；
（2）①OA与OB相遇前，∠AOB=60°，
；
②OA与OB相遇后，∠AOB=60°，
，
综上，当 等于 时，t=20或40；
（3）①OB平分∠AOQ时，
∠AOQ=2∠BOQ，
；
②OB平分∠AOP时，
∠AOP=2∠BOP，
，
综上，射线 平分 或 时，t=18或36.
【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.
6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且
∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机
器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间
后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时
间为t，
(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示
∠BOC，则∠BOC=________
(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？
(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．
【答案】(1)60° ；30+5t
(2)22秒
(3)4秒，16秒，28秒
【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；
（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；
（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；
（1）
当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，
故答案为60°，（30+5t）°；
（2）
甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，
∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，
∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°
∴5t+10t+30=360，
解得：t=22．
所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．
（3）
分三种情况讨论：
①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t=90，
解得：t=4；
②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，
设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t+90=360，
解得：t=16；
③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，
设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，
∵∠COD=90°，∠AOB=30°，
∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；
综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，
学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的
伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝
∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOD，称射线OD是射
线OB的伴随线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若
∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC
的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时
针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与
射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，
请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【答案】（1） ；（2）存在，t＝20秒或25秒；（3） 或 或 或30s
【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】解：（1）如图， 射线是OA的伴随射线，
,
，同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
,
射线OC是∠AOB的平分线，
,
= ，
故答案为：
（2）射线OD与OA重合时，t＝ ＝36（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝ ∠COD
即 3t＝ （180﹣5t﹣3t）
∴t＝
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，则∠COD＝ ∠AOC
即180﹣5t﹣3t＝ 3t
∴t＝
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
则∠COD＝ ∠AOD
即5t+3t﹣180＝ （180﹣5t）
∴t＝
（iv）如图4，
OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝ ∠COD
即180﹣5t＝ （3t+5t﹣180）
∴t＝30
所以，综上所述，当t＝ ， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两
条射线的伴随线．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
8．（2020·江苏徐州·七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，点C在AB
的上方．MON为直角三角板，O为直角顶点， ，ON在射线OC上．将三角板
MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC绕点O以每秒11°的
速度沿逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA重合时，所有运动都停止．设运动的时间为
t秒，
（1）旋转开始前，∠MOC＝ °，∠BOM＝ °；
（2）运动t秒时，OM转动了 °，t为 秒时，OC与OM重合；
（3）t为何值时，∠MOC=35°？请说明理由．
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） 秒或 秒.
【分析】（1）根据 ， 为直角三角板， 在射线 上，即可得出答案；
（2）根据 为直角三角板，得 ，构建方程求出 即可解决问题；
（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.
【详解】（1）旋转前， 为直角三角板， 在射线 上
，
；
故答案为： ； .
（2）
由题意得： ，
，
故 转动： ；
故答案为： ； .
（3） ，
由题意： 或 ，
解得： 或 ，
或 时， .
【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题
意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
