文档内容
培优专题 13 旋转综合的 4 大几何变换
（本专题难度较大，部分解题方法需要后面学习内容，根据情况选做）
◎类型一：线段问题
1．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）如图①，在等腰 和等腰 中，
， ， ， 为 的中点， 为 的中点，连接 ， ， ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若将 绕点 旋转到如图②所示的位置，请证明 ， ；
(3)如图③，在 绕点 旋转的过程中，再将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，若
，请直接写出 的最大值．2．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，
∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，
连接 CP，将 绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到 ，连接 PQ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时， 的周长是否存在最小值？若存在，求出 周长的
最小值；若不存在，请说明理由；
◎类型二：面积问题
3．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图在 中， ，点D，E分别在边 上，
，连接 ， ，点M，P，N分别为 的中点，连接 ， ．
(1)图1中，线段 与 的数量关系是___________；位置关系是____________．
(2)将 绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接 ，判断 的形状，并说明理由．(3)将 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．
4．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室八年级期末）如图1，在 中， ， ，点
， 分别在边 ， 上， ，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值．
◎类型三：角度问题
5．（2022·山东聊城·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中， ．对角线
相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
6．（2022·河北唐山·八年级期末）如图1所示，将一个边长为2的正方形 和一个长为2、宽为1的
长方形 拼在一起，构成一个大的长方形 ．现将小长方形 绕点C顺时针旋转至 ，
旋转角为 ．
(1)当点 恰好落在边 上时，点 到边 的距离为____________，旋转角 ____________ ；
(2)如图2，G为 的中点，且 ，求证： ；
(3)小长方形 绕点C顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角
的值；若不能，说明理由．
◎类型四：其它问题
7．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图1，在 ABC中， ，点DE、分别在边
AB、AC上， ，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC△、DC的中点，连接MQ、PM．(1)求证： ；
(2)当 时，求PMQ的度数；
(3)将 ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置，若 ，判断 ADE的形状，并说明理由．
△ △
8．（2022·江苏淮安·二模）二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，顶点为 ．
(1)二次函数的表达式为________，点 的坐标为_________；
(2)如图①， 是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当 的垂直平分线恰好经过点 时，求点 的坐
标；
(3)如图②， 是直线 上方的二次函数图像上的一个动点，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，，当 的面积为 时，求点 的坐标．
(4)连接 ， 是平面内一点，将 绕点 沿逆时针方向旋转 后，得到 ，点 、 、
的对应点分别是点 、 、 ．若 的 、 两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 的横
坐标．
