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专题 14 难点探究专题：整式中的规律探究问题之七大类型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 数字类规律探索之单项式问题】....................................................................................................1
【类型二 数字类规律探索之排列问题】........................................................................................................4
【类型三 数字类规律探索之末尾数字问题】................................................................................................8
【类型四 数字类规律探索之新运算问题】..................................................................................................10
【类型五 数字类规律探索之等式问题】......................................................................................................14
【类型六 图形类规律探索之数字问题】......................................................................................................19
【类型七 图形类规律探索之数量问题】......................................................................................................22
【典型例题】
【类型一 数字类规律探索之单项式问题】
例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点： ， ， ，
，…那么第8个单项式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式： 、 、 、 、 、…，
根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A． B． C． D．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式： ， ， ， ， ，……，第n
个单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·甘肃陇南·校考一模）按一定规律排列的式子： ，……第n个式子是
．
4．（2023秋·辽宁锦州·七年级统考期末）一组按规律排列的两项式： ， ， ， ， ，
则第 个两项式为 ．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列单项式： ．
(1)请你写出第 个，第 个单项式．
(2)第 个单项式的系数是多少？
(3)第 个单项式的次数是多少？
(4)根据上面的归纳，请写出第 个单项式．
【类型二 数字类规律探索之排列问题】
例题：（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为 ．
（1）第 行第 列的数字是 ．
（2）数字 在图中的第 行，第 列．【变式训练】
1．（2023秋·广西玉林·九年级统考期末）观察下面由正整数组成的数阵：
照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第11行的第11个数是（ ）
A．92 B．110 C．111 D．132
2．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，将从1开始的自然数按以下规律
排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第3列的数是 ．
3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4， ，16， ，64，……①
0，7， ，21， ，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的
和为 ．
4．（2023·安徽·校联考三模）观察下列正整数的排列顺序：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列
第1行 1 2 9 10 25 26
第2行 4 3 8 11 24 27
第3行 5 6 7 12 23 28
第4行 16 15 14 13 22 29
第5行 17 18 19 20 21 …
第6行 … … … … … …
解得以下问题：(1)35排在第几行第几列?
(2)第10行第10列的数是多少?第n行n列的数呢?（用含n的代数式表示）
(3)2023排在第几行第几列?
【类型三 数字类规律探索之末尾数字问题】
例题：（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式： ， ， ， ，
， ， ， …归纳各计算结果中个位数字的规律，可得 的个位数字是
（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）计算： ，…归纳各计算结果中的个
位数字规律，猜测 的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
3．（2023·云南昭通·统考二模）观察下列等式：
， ， ， ， ，…，
根据其中的规律可得 的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．2 C．7 D．9
3．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式： ， ， ， ， ，
，根据上述算式中的规律，你认为 的末位数字是 ．
【类型四 数字类规律探索之新运算问题】
例题：（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为 ；
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取 ，
第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若，则第2020次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【变式训练】
1.（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把 称为a的“哈利数”．如：
3的“哈利数”是 ， 的“哈利数”是 ，已知 ， 是 的“哈利数”， 是
的“哈利数”， 是 的“哈利数”，．．．，依此类推，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川·九年级专题练习）对于正数x，规定 ，例如： ，
， ， ，计算：
（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
3．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）已知一列数 ， ， ， ， ， 满足条件： ，
（ ，且 为整数），则 ．
4．（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则 ；若a
为偶数，则 ，例如 ， ，若 ， ， ，，…，依此规律进行下去，得到一列数 （n为正整数），则
．
数字类规律探索之等式问题
【类型五 】
例题：（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列等式：
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4个等式： ．
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·江苏连云港·八年级统考期中）观察下列算式：
①
②
③
④ ……
(1)根据规律，第5个式子是__________；
(2)猜想第n个式子为__________，请证明你的猜想成立；(3)计算 _______．
2．（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
(1)请填出第5个等式： ________=________；
(2)用含n（n为正整数）的代数式表示 ________=_______；
(3)求 的值．
3．（2023春·安徽·九年级专题练习）观察下列算式，你会发现什么规律？
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)找出规律并计算： ______=（ ）2
(2)用含有 的式子表示上面的规律：______；
(3)用找到的规律解决下面的问题：计算： ______．
【类型六 图形类规律探索之数字问题】
例题：（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a的值为（ ）
A．128 B．216 C．226 D．240
【变式训练】
1．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）填在下面各方框中的三个数之间都具有相同的规律．根据图
中数字的规律， （ ）
2 4 6 8
5 12 17 72 37 228
A．450 B．463 C．465 D．526
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，m的
值是（ ）
A．86 B．52 C．38 D．74
3.（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n个图中 的值为196，则
（ ）A．12 B．13 C．14 D．15
4.（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根
据此规律，则第 （ 为正整数）个三角形中，用 表示 的式子为（ ）
A． B． C． D．
【类型七 图形类规律探索之数量问题】
例题：（2023·全国·七年级假期作业）用火柴棒按如图的方式搭图形．
(1)按图示规律完成下表：
…
图形标号 ① ② ③ ④ ⑤
…
…
火柴棒根数 5 9 ______ ______ ______
…
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？
(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律
拼成下列图案，1个黑色图案有4个白色图案，2个黑色图案有7个白色图案，3个黑色图案有10个白色图
案，观察规律，请问20个黑色图案有（ ）个白色图案．
A．59 B．60 C．61 D．62
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃
料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸
烷（当碳原子数目超过 个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 ，乙
烷的化学式为 ，丙烷的化学式为 ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学
式为 ．
3．（2023秋·山东威海·六年级统考期末）用正方形和圆按照一定规律摆出下列一组图形：
(1)请填写下表：
图形编号 ① ② ③ ④ …
正方形/个 1 …
圆/个 4 …(2)第2023个图形中，有____________个圆；
(3)若第n个图形中有100个圆，则从第1个图形到第n个图形中共有多少个正方形？
4．（2023·全国·七年级假期作业）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9
颗棋子，第4个图中有13颗棋子，…．，以此类推．
(1)第6个图中有______棋子；
(2)用含 的代数式表示第 个图中棋子的颗数；
(3)第多少个图中有 颗棋子？
