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专题 14 锐角三角形函数及应用之六大题型
网格里求正弦、余弦、正切值
例题：（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在 的正方形网格中，
的顶点都在格点上，则 的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解： ， ， ，
，
为直角三角形，且 ，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小
正方形的边长均为1，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，利用勾股定理得到 ，进而得到 是直角三角形，
从而求解.
【详解】解：连接 ，如图所示，
由勾股定理可得： ，
∴
∴ 是直角三角形，即
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾
股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．
2．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A、B、C都在格点上，则 的正切值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点C作 于D，利用勾股定理得到 ，
利用等面积法求出 的长，进而求出 的长，再根据正切的定义求出答案即可．
【详解】解：如图所示，过点C作 于D，
由网格的特点和勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．特殊角的三角函数值
例题：（2023上·湖南益阳·九年级校考期末）计算： ．
【答案】3
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）计算： ．
【答案】2
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
2．（2023上·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各项，再算乘法，最后从左往右依次进行计算即可得；
（2）先化简各项，再算除法、乘法，最后从左往右依次进行计算即可得．【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是正确化简各项，掌握运算顺序．
解非直角三角形
例题：（2023上·江苏南通·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作 于 ，根据 ， ，算出 和 ，再根据 ，
算出 ，最后根据 计算即可．
【详解】如下图，作 于 ，
在 中， ， ，， ，
在 中， ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图， 是 的中线，
求：
(1) 的长；
(2) 的正弦值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：
（1）作 于 ．在 中，求出 ，在 中，求出 即可解决
问题；
（2）在 中，求出 ， 即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，作 于 ．在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
．
（2） ，
， ， ，
在 中， ．
的正弦值为 ．
2．（2023上·江苏·九年级统考期末）已知 中， ．
(1)如图1，若 ，则 ________（结果保留根号）
(2)如图2，若 ，求AC的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解 ，即可求解；（2）过点 作 于点 ，解 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．
坡度坡比问题
例题：（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）如图，河提横断面迎水坡 的坡比（坡比也叫坡度，
指点B向水平面做垂线 ，垂足为C， ）是 ，河提的高 米，则坡面
的长度是 米．【答案】20
【分析】由题意得： ，由勾股定理即可求得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 米，
由勾股定理得： （米），
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡比的含义是关键．
【变式训练】
1．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼 临近斜坡 ，斜坡 的坡度为
，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为 ，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，
测得楼顶M的仰角刚好为 ，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保
留根号）．
【答案】 米/ 米
【分析】过点P作 于点E， 于点F．由斜坡 的坡度为 ，可得出
，结合题意即可得出 米， 米．由所作辅助线结合题意可知四边形 为矩形，得出 ， ．又易证 是等腰直角三角形，即可设
米，则 米， 米．最后在 中，根据正切的定义可
列出关于m的等式，解出m的值，即可求出 的长．
【详解】解：如图，过点P作 于点E， 于点F，
∵山坡 的坡度为 ， 米，
∴ ．
∵ ，
∴ 米， 米．
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
由所作辅助线结合题意可知四边形 为矩形，
∴ ， ．
设 米，则 米， 米．
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ 米．即该居民楼的高度为 米，
故答案为： 米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确连接辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023上·广西柳州·九年级统考期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡 ，它的坡度为
，斜坡 的长为 ，斜坡的高度为 ，为了让行车更安全，现将斜坡的
坡角改造为 （图中的 ）．
(1)求车库的高度 ；
(2)求点 与点 之间的距离（结果精确到 ，参考数据： ， ，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据坡度，可求得 的值，根据 可求得答案．
（2）根据 ， ，可分别求得 ， 的长度．
【详解】（1）根据题意，得
．
所以， ．
所以， ．
所以，车库的高度 为 ．
（2）根据题意，得
， ．
所以， ．
所以，点 与点 之间的距离为 ．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．
方位角问题、仰角俯角问题
例题：（2023下·重庆九龙坡·八年级统考期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航
系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供
高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导
航显示车辆应沿北偏西 方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区
C，小敏发现风景区C在A地的北偏东 方向．
(1)求 的度数；
(2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号）
【答案】(1)
(2) 千米．
【分析】（1）如图，由 得 ，再求得 ，由三角形内角和
定理即可得到答案；
（2）过点B作 于点H，则 ，在 中，求出 ，在
中，由 即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
即 的度数为 ；
（2）过点B作 于点H，
则 ，
在 中， ，
在 中， （米），
即B，C两地的距离为 千米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是前提，熟练掌握特
殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·重庆丰都·八年级统考期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸
的岩壁上保留着古希腊人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧！如果你想强壮，跑步吧！如果你
想健康，跑步吧！”古人对聪明、强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承．
跑步已经成为一种大众化运动，越来越多的人从跑步中受益．如图，四边形 是一个环湖公园
的步行道， ，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东
方向．(1)求 的长度（结果保留根号）；
(2)小强和小刚同时从A出发，小强沿A→D→C方向跑，小刚沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，
问谁先到达终点C？（参考数据： ， ）
【答案】(1)
(2)小刚
【分析】（1）过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，在 中，
求出 ，再在 中，求出 即可；
（2）在 中，求出 ，在 中，求出 ，进而求出 ， ，再分别求出小强
沿A→D→C方向跑的路程，小刚沿A→B→C方向跑的路程，比较即可求解．
【详解】（1）过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 于点 ，
由题意知， ，
四边形 是矩形，
， ，
在 中，
， km，
，km，
km，
在 中，
千米， ， ，
km，
答： 的长度为 km．
（2）在 中，
，
，
（千米），
在 中，
千米， ，
∴ （千米）
∴小刚沿A→B→C方向跑的路程为： （千米），
∵ ，
（千米），
（千米），
∴小强沿A→D→C方向跑的路程为： （千米），
∵两人速度相同，
∴小刚先到达终点C．
【点睛】本题考查解直角三角形的 方向角问题，作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
2．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）某工厂的平面示意图如下，四边形
为厂房区域，三角形广场 紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向， 米，
点B，C在点E的正东方向， 米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向
且在点C的北偏西45°方向．（参考数据： ，(1)求 的长度（结果精确到个位）；
(2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房 四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降
噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够．
【答案】(1)141米；
(2)足够，见解析．
【分析】（１）如图，过点D作 ，垂足为点F，则 ，解 ，得
（米）；
（2）解 ， ， ， ，从而
， ，计算 （米），总造
价 ，得出结论．
【详解】（1）如图，过点D作 ，垂足为点F，则
中，∴ （米）；
（2） 中， ，
∴ ，
而
∴
∴
∴ （米）
∴总造价 ；
∴预算满足需求．
【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键．
构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
例题：（2022上·上海虹口·九年级统考期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构
成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托
板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当 ， 时，求托板顶点A到底座
CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据： ， ，
， ， ）
【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm．
【分析】过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交BE于点F，由平
行线的性质可得 ，得出 ，在 与 中，分别利用锐
角三角函数求解得出 ， ，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出．
【详解】解：如图所示：过点B作 ， ，交CD于点G，过点A作 ，交
BE于点F，
，
∵ ，
∴ ，
∴在 中，
，
，
∴
在 中，
，
，
∴ ，
∴答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为 ．
【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，
综合运用锐角三角函数是解题关键．
【变式训练】
1．（2021上·江苏无锡·九年级统考期末）江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装
路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，
路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为
∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝ ．（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）路灯B到地面的距离8m；（2）灯柱OA的高度为（8﹣ ）m．
【分析】（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．解直角三角形求得OF＝ x，CF＝ x，由OC
＝8求得x＝8，据此知BF＝8m；
（2）再过点A作AG⊥BF于点G，求得∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝30°．解直角三角形可得BG，进
而即可求得OA．
【详解】解：（1）过点B作BF⊥OC于F，设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝ ＝4，
∴OF＝ x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝ ，
∴CF＝ x，
∵OC＝8，
∴ x+ x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8m，
即路灯B到地面的距离8m；
（2）过点A作AG⊥BF于点G，可知四边形AGFO是矩形，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．∵OF＝ ×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BAG中，∵tan∠BAG＝ ，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣ ）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣ ）m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形 仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟
练掌握三角函数的定义及其应用能力．
2．（2023下·河南安阳·八年级统考期末）如图，学校操场边有一块四边形空地 ，其中
， ， ， ．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划
将这块四边形空地进行绿化整理．
(1)求证： ．(2)求需要绿化的空地 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得 ，根据勾股定理的逆定理即可推得 ；
（2）根据 代入公式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：在 中， ，
在 中， ．
∴ ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股
定理的逆定理是解题的关键．
一、单选题
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若锐角 ，则 的值是（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据30度角的正弦值为 即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知30度角的正弦值是解题的关键．
2．（2023下·四川绵阳·八年级统考期末）在 中， ， ， ，则 边
上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断直角三角形，再根据面积求解．
【详解】 ，
，
故 边上的高，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握勾股定理的逆定理及三角形的面积公式是解题的关键．
3．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图， 的三个顶点都在正方形网格
的格点上，则 的值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理可求出 的长，利用余弦的定义即可得答案．
【详解】由图可知，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是
角的邻边与斜边的比，正切是角的对边与邻边的比；余切是角的邻边与对边的比，熟练掌握各三角
函数的定义是解题的关键．
4．（2023上·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片 ，两直角边 ， ，现将
纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得出 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定
理得出 ，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．
【详解】解：∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，解得： ，
∴ ，故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边
相等．
5．（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来
确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱
根部与圭表的冬至线之间的距离（即 的长）为 ．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射
角 约为 ，则光线 长约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据∠ 的余弦函数求解即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是
解题的关键．
二、填空题
6．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）若 为锐角，且 ， ．
【答案】 /45度
【分析】直接根据 进行解答即可．
【详解】解：∵ 为锐角，且 ， ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
7．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）如图，斜坡坡面 的坡比 ，坡面 米，
则水平宽度 的长为 米．
【答案】6
【分析】先根据题意得到 ，设 米，则 米，利用勾股定理建立方程
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵斜坡坡面 的坡比 ，
∴ ，即 ，
设 米，则 米，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ 米，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确推出 是解题的关键．
8．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在 内，连接 ，在
中，如果存在一个三角形与 相似，那么就称点P为 的自相似点，
如图，在直角 中， ，如果点P为直角 的自相似点，那么
．【答案】
【分析】先找到 的内相似点，再根据三角函数的定义计算 即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故可在 内作 ，
又∵点P为 的自相似点，
∴过点C作 ，并延长 交 于点D，
则 ，
∴点P为 的自相似点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键．
9．（2023下·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在 中， ， ，
若点A在反比例函数 图像上，则经过点B的反比例函数表达式为 ．【答案】 /
【分析】设经过点 的反比例函数表达式为 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴
于点 ，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及 的几何意义，即可求解．
【详解】解：设经过点 的反比例函数表达式为 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，经过点 的反比例函数表达式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题的关键
是运用数形结合的思想方法，掌握辅助线的作法．
10．（2023上·山西运城·九年级统考期末）如图，在 中， ，点D是 的中
点，连接 ，过点D作 交 于点E，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】15
【分析】由 ，可设 ，由勾股定理得到 ，由直角角
三角形斜边上中线的性质得到 ，再证 ，求得 ，据
此求解即可得到答案．
【详解】解： ，
∴设 ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直
角三角形中线的性质是解题的关键．
三、解答题
10．（2023上·安徽滁州·九年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入特殊角度的三角函数值再计算即可；
（2）代入特殊角度的三角函数值再计算即可．
【详解】（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值，熟记相关度数的三角函数值是解题的关键．12．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，某商场大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的
长为18米，求大厅两层之间的距离BC的长．（精确到0.1米）（参考数据： ，
， ）
【答案】大厅两层之间的距离BC的长约为 米．
【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求
出BC的长．
【详解】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．
在 中，
∵ ，
∴ （米）．
即大厅两层之间的距离 的长约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在
解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的
正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
13．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由
A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部
门的通知，一台风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西 方向移动，距台风中心200海里
的圆形区域（包括边界）都会受到影响．(1)问B处是否会受到台风的影响，请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（参考数据： ， ）
【答案】(1)会受台风影响，理由见解析
(2)该船应在 小时内卸完货
【分析】（1）B处是否会受到台风影响，其实就是B到 的垂直距离是否超过200海里，如果超
过则不会影响，反之受影响．
（2）根据已知及三角函数求得 的长，再根据路程公式求得时间即可．
【详解】（1）解：如图1，过点B作 交 于点D，
∵在 中，
∴ ，
∵ 海里
∴ 海里
∵ ，
∴会受台风影响．
（2）解：如图2，在 中， 海里， 海里，
∴ 海里，
∵要使卸货不受台风影响，
∴必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，
如图， 海里，在 中，
海里，
∴ 海里，
∵台风速度为40海里/小时，
∴时间 小时，
答：为避免受到台风影响，该船应在 小时内卸完货
【点睛】本题考查解直角三角形应用的问题，将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关
的直角三角形是解题的关键．
14．（2023上·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换
乘，准备在底层至 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与 层平行，层高 为9米， 、
间的距离为6米， ．(1)请问身高 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 处会不会碰到头部？请说明理由．
(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台 ，且 段和 段的坡度 ，
求平台 的长度．（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)不会，理由见解析
(2)7米
【分析】（1）先过点 作 ，交 于点 ，根据 ， ，得出
，再根据正切定理求出 的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；
（2）根据 的长求出 ，再过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为
点 ，设 ，则 ，根据 段和 段的坡度 ，求出 和 的长，最后根
据 ，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点 作 ，交 于点 ，
， ，
，
不会碰到头部；
（2） ，
，
过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，设 ，则 ，
段和 段的坡度 ，
， ，
，
（米）．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，
构造直角三角形．
15．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．
她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车
侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖 可以
绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为 时，箱盖 落在 的位置的示意图；王红测得
厘米， 厘米， 厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
(1)求点 到 的距离；
(2)求点E运动的距离．
【答案】(1) 厘米
(2) 厘米【分析】（1）过点 作 交 于F，在 中，可求得 ，由题意得四边形
是矩形，且 ，从而可求得 的长；
（2）连接 ，由勾股定理求得扇形半径 长，由弧长公式即可求得结果．
【详解】（1）解：过点 作 交 于F，如图，
由旋转知， 厘米
∵ ， 厘米，
∴在 中， 厘米，
由题意得四边形 是矩形，
∴ 厘米，
∴ 厘米；
即点 到BC的距离 厘米；
（2）解：连接 ，如图，
由题意得： ，
在 中，由勾股定理得： （厘米），
∴点E运动的距离为： （厘米）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求点运动路径长等知识，把实际问题转化为数学问题是
问题的关键．
