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专题 2.2 数字变化类规律问题
a a 1 a a 1 1
【典例1】观察下列等式：第一个等式：x = = (1− )；第二个等式：x = = ( − )；第
1 1×4 3 4 2 4×7 3 4 7
a a 1 1 a a 1 1
三个等式：x = = ( − )；第四个等式：x = = ( − )；其中a为常数，按照上
3 7×10 3 7 10 4 10×13 3 10 13
面的规律，则x ＝ ；x ＝ ；若a＝
5 n
6067，则x
1
+x
2
+x
3
+⋅⋅⋅+x
2022
＝ ．
【思路点拨】
a
根据所给的等式的形式，不难总结出第 n个等式为： ，再利用相应的规律进行求解即
(3n−2)×(3n+1)
可．
【解题过程】
a a 1
解：∵第一个等式：x = = (1− )；
1 1×4 3 4
a a 1 1
第二个等式：x = = ( − )；
2 4×7 3 4 7
a a 1 1
第三个等式：x = = ( − )；
3 7×10 3 7 10
a a 1 1
第四个等式：x = = ( − )；
4 10×13 3 10 13
...，
a a 1 1
∴第五个等式为：x = = ( − )，
5
13×16 3 13 16
a a 1 1
第n个等式为：x = = ( − )，
n (3n−2)(3n+1) 3 3n−2 3n+1
∴x
1
+x
2
+x
3
+⋅⋅⋅+x
2022
a 1 1 1 1 1 1 1
= （1− + − + − +...+ − ）
3 4 4 7 7 10 6064 6067
a 1
= (1− )
3 6067a 6066
= ×
3 6067
2022a
= ，
6067
∵a＝6067，
2022×6067
∴原式=
6067
＝2022．
a a 1 1 a a 1 1
故答案为：x = = ( − )；x = = ( − )；2022．
5 13×16 3 13 16 n (3n−2)×(3n+1) 3 3n−2 3n+1
3 5 7 9 11
1．（2022春•昭通期末）观察下列一组数：− ， ，− ， ，− ，…，它们是按一定规律排列的，
2 4 6 8 10
那么这组数的第2022个数是（ ）
2022 2024 4043 4045
A．− B． C．− D．
2021 2023 4044 4044
1 1 1 1
2．（2022春•麒麟区期末）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ⋯⋯按此规律排列下去，
6 12 20 30
这列数的第9个数是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
19 110 90 9
1 2 3 4 5
3．（2022•牡丹江）观察下列数据： ，− ， ，− ， ，…，则第12个数是（ ）
2 5 10 17 26
12 12 12 12
A． B．− C． D．−
143 143 145 145
4．（2022•文山市模拟）一组按规律排列的单项式：﹣4x，7x2，﹣10x3，13x4，﹣16x5，…，根据其中的规
律，第12个单项式是（ ）
A．﹣31x12 B．34x12 C．37x12 D．﹣40x11
1 1
5．（2022春•庆云县期末）一列数a ，a ，a ，…，a ，其中a ＝﹣1，a = ，a = ，…，a
1 2 3 n 1 2 1−a 3 1−a n
1 2
1
= ，则a +a +a +…+a 的值为（ ）
1−a 1 2 3 2021
n−13 2019
A．1009 B． C． D．1008
2 2
6．（2022春•惠城区期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出 a，b的值
分别为（ ）
A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161
7．（2022•太平区一模）小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数
到2022时对应的指头是（ ）
A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指
8．（2022•公安县模拟）现有一列数a ，a ，a ，…，a ，a ，a ，其中a ＝2022，a ＝﹣2020，a ＝
1 2 3 98 99 100 1 2 7
2018，a ＝﹣2016，且满足任意相邻四个数的和为同一个常数，则 a +a +a +…+a +a +a 的值为
96 1 2 3 98 99 100
（ ）
A．﹣2020 B．100 C．2018 D．2022
9．（2022春•两江新区期末）对于任意一个正整数 x 可以按规则生成无穷数串：x ，x ，x ，…，x ，
1 1 2 3 n
{ 1
x n+1 ，…（其中n为正整数），规则为：x n+1= 2 x n (当x n 为偶数) ．
3x +1(当x 为奇数)
n n
下列说法：
①若x ＝4，则生成的这数串中必有x＝x （i为正整数）；
1 i i+3
②若x ＝6，生成的前2022个数之和为55；
1
③若生成的数中有一个x ＝16，则它的前一个数x 应为32；
i+1 i④若x ＝7，则x 的值只能是9．
4 1
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2022•麦积区模拟）观察下列等式：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42…，则1+3+5+7+…
+2021＝ ．
11．（2022•蓝田县二模）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入 x的值是1，可发现第一次输出的
结果是4，第二次输出的结果是2，……，请你探索第2021次输出的结果是 ．
12．（2022•富川县三模）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，则
3+32+33+34+…+32022+1的末位数字是 ．
13．（2022春•和平县期末）为了求 1+2+22+23+……+299的值，可令 S＝1+2+22+23+……+299，则 2S＝
2+22+23+……+299+2100，因此，2S﹣S＝2100﹣1，所以S＝2100﹣1．即1+2+22+23+……+299的值为2100﹣1．
仿照以上推理计算：1+3+32+33+……+399的值为 ．
1 2
14．（2022•恩施州）观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a ，且满足
n
2 7
1 1 2
+ = ．则a ＝ ，a ＝ ．
a a a 4 2022
n n+2 n+1
15．（2022春•绥棱县期末）下列式子：32+42＝52，82+62＝102，152+82＝172，242+102＝262…．请你利用
发现的规律写出第五个等式 ．
16．（2022春•市北区期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴
藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n ＝3，计算n 2+2得a ；
1 1 1
第二步：计算出a 的各位数字之和得n ，再计算n 2+2得a ；
1 2 2 2
第三步：计算出a 的各位数字之和得n ，再计算n 2+2得a ；
2 3 3 3
……
依此类推，则a ＝ ．
2020
17．（2022•兴庆区校级二模）用符号f（x）表示关于自然数x的代数式，我们规定：当x为偶数时，fx 8
（x）= ；当x为奇数时，f（x）＝3x+1．例如：f（1）＝3×1+1，f（8）= =4．设x ＝8，x ＝f（x ），
1 2 1
2 2
x
3
＝f（x
2
），⋯，x
n
＝f（x
n﹣1
）．以此规律，得到一列数 x
1
、x
2
、x
3
，⋯，x
2022
，则这2022个数之和
x
1
+x
2
+x
3
+⋯+x
2021
+x
2022
等于 ．
18．（2022•陇西县二模）观察以下等式：
2 1 1
第1个等式： ×（2− ）＝1+ ；
1 1 1
3 1 1
第2个等式： ×（2− ）＝1+ ；
3 2 2
4 1 1
第3个等式： ×（2− ）＝1+ ；
5 3 3
5 1 1
第4个等式： ×（2− ）＝1+ ；
7 4 4
第2021个等式： ．
19．（2022春•广陵区期中）如果记 y x2 f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，且f（1）
= =
1+x2
1 2
( )
12 1 1 1 1 2 1
= = ； f( )表 示 当 x= 时 y 的 值 ， 且 f( )= = ； 那 么
1+12 2 2 2 2 1 2 5
1+( )
2
1 1 1 1
f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+⋯+f（2021）+f( )+f(2022)+f( )= ．
2 3 2021 2022
20．（2022春•南京期中）（1）阅读并填空：
22﹣21＝21×（2﹣1）＝21，
23﹣22＝22×（2﹣1）＝22，
24﹣23＝23×（2﹣1）＝23，
…
2n+1﹣2n＝ ＝ （n为正整数）．
（2）计算：
①2100﹣299＝ ；
②210+210﹣211＝ ．
（3）计算：21+22+…+21000．21．（2022春•成武县期末）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这
句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．
请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①13＝12；
②13+23＝32；
③13+23+33＝62；
④13+23+33+43＝102；
（1）等式⑤是 ．
（2）应用规律探究：63+73+83+93+103的值．
22．（2021秋•广饶县期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为： =1− ， = − ， = − ，…， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 9×10 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所 以 ： + + +⋯+ =（ 1− ） + （ − ） + （ − ） +…+ （ − ） ＝ 1
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 3 4 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 9
− + − + − +⋯+ − =1− = ．
2 2 3 3 4 9 10 10 10
化简下列各式并求值：
1 1 1 1
（1） + + +⋯+ ；
1×2 2×3 3×4 2021×2022
1 1 1 1
（2） + + +⋯+ ．
1×3 3×5 5×7 2019×202123．（2022•淮北一模）观察下列等式：
1 1 1 1
第1个等式：a = = ×( − )，
1 1×5 4 1 5
1 1 1 1
第2个等式：a = = ×( − )，
2 5×9 4 5 9
1 1 1 1
第3个等式：a = = ×( − )，
3 9×13 4 9 13
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a ＝ ＝ ．
5
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a ＝ ＝ ．（n为正整数）
n
（3）求a +a +a +……+a 的值．
1 2 3 2022
24．（2021秋•思明区校级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：
以0.⋅为例，设0.⋅ x，
3 3=
1 ⋅ 1
由0. ⋅ 0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3+x，解得x= ，于是0.3= ．
3=
3 3
（1）请把无限循环小数0.⋅化为分数是 ；
7
（2）请把无限循环小数0.⋅⋅化为分数；
75
（3）将0.⋅1⋅与0.⋅的积化为小数，则小数点后第999位数字是 ．
2 6 525．（2022春•莱芜区月考）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻
格子中所填整数之和都相等．
9 & # x ﹣6 2 …
（1）可求得x＝ ，第2009个格子中的数为 ；
（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（3）如果a，b为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣&|+|9﹣#|+|&﹣#|+|
&﹣9|+|#﹣9|+|#﹣&|得到，若a，b为前19个格子中的任意两个数，则所有的|a﹣b|的和为 ．
26．（2021秋•垦利区期末）如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十
字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．
（1）若x＝17，则a+b+c+d＝ ；
（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；
（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系： ；
（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．
27．（2021秋•公安县期末）把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用图2所示的方框在图1
中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．
（1）在图1中，数2022排在第几行第几列？
（2）若a+2b+3c＝387，求出d所表示的数；
（3）将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时 a﹣b﹣c+d的值能否为2700？如果能，请求
出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．
28．（2021秋•长春期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2
列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝ ，[8，10]＝ ；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝ ；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
