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专题 05 整式中加减无关型的三种考法
类型一、不含某一项的问题
例．已知多项式 不含 和 的项，试写出这个多项式，再
求当 时该多项式的值．
【答案】多项式为 ，4
【分析】根据题意可知 ，求出m和n的值，然后将 代入计算即可．
【详解】∵多项式 不含 和 的项，
∴ ，
∴ ，
∴多项式为 ，
当 时，多项式为 ．
【点睛】本题考查了多项式中的无关项，解题的关键是理解题意，确定m，n的值．
【变式训练1】已知A、B分别是关于 ， 的多项式，一同学在计算多项式 结果的
时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道 ，
．
(1)请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
(2)若多项式 中不含 项，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知 ，然后根据整式的运算法则计算即
可求出答案．
（2）根据整式的运算法则计算 ，然后令含y的项的系数为0，即可求出a的值．
【详解】（1）解： ， ，
，，
；
（2）解：
．
∵多项式 中不含 项，
．
解得： ．
【点睛】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式的加减运算
法则是解题关键．
【变式训练2】已知关于x，y的两个多项式 与 的和中不含二次
项，则m＝ ．
【答案】3
【分析】先将两个多项式相加，然后合并同类项，根据二次项系数为0，求出m的值即可.
【详解】
∵和中不含二次项，
解得
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了整式的加减.要理解：和中不含二次项即二次项系数为0，是解题
的关键.
【变式训练3】若关于a，b的多项式 中不含有 项，则
．
【答案】6
【分析】去括号合并同类项根据不含 项令其系数为0即可得到答案．
【详解】解：原式
，
∵多项式 中不含有 项，
∴ ， ，
故答案为6．
【点睛】本题考查去括号，合并同类项，多项式不含某项求待定系数问题，解题的关键是
熟练掌握多项式不含某项，某项系数为0．类型二、取值与字母无关
例．若多项式 的值与字母x无关，试求多项式
的值．
【答案】12
【分析】先将多项式进行合并，根据值与字母x无关，得到含 的项的系数均为0，求出
的值，再去括号，合并同类项进行多项式的化简，然后代值计算即可．
【详解】解： ，
∵多项式 的值与字母x无关，
∴ ， ，
解得 ， ；
∴
．
【点睛】本题考查整式加减中的无关型问题以及化简求值．解题的关键是熟练掌握整式加
减的运算法则，正确的进行计算．
【变式训练1】已知： ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若代数式的 的值与 无关，求此时 的值．
【答案】(1)52；(2)
【分析】（1）若 ，则 ， ，求出 、 的值各是多少，即
可求出 的值是多少；
（2）化简代数式 ，令a的系数为0，即可；
【详解】（1）由题可得 ， ，所以 ，
把 ， ，代入得：原式
（2）
由题可得 ，得
【点睛】此题主要考查了整式的加减 化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【变式训练2】已知 ， ．
(1)求 ；并把化简结果按字母x升幂排列
(2)若 的值与y的取值无关，求x的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）将 ， 代入计算即可；
（2）令y的系数为0可得关于x的方程，即可解得x的值．
【详解】（1）解：当 ， 时，
，
，
；
（2）解：∵ ，
，
，
∴ 的值与y的取值无关，即 ，
解得：
【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握取值无关题型的解题思路是解题关键．
【变式训练3】已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 的值与字母 的取值无关，求 的值；
(3)利用（2）中的数学方法解决问题：
经销公司计划购进甲、乙两种型号的口罩共30箱，甲型号口罩每箱进价为700元，销售利
润为 ；乙型号口罩每箱进价为500元，售价为每箱750元．购进口罩后，该公司决定，
每出售一箱甲型号口罩，返还顾客现金 元，乙型号口罩售价不变．如果购进甲型号口罩
箱，那么购进乙型号口罩 箱，
①当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为多少元?（用含 的式子表示）
②若无论购进甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同，求 的值．
【答案】(1) ；(2)5
(3)① ；②30【分析】（1）由题意知 ；
（2）由（1）知 ，由 的值与字母 的取值无关，
可得 ，计算求解即可；
（3）①由题意知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为
元；②由①知，当购进的30箱口
罩全部售出后，所获利润为 元，由题意知 ，计算
求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴ 的值为 ；
（2）解：由（1）知 ，
∵ 的值与字母 的取值无关，
∴ ，解得 ，
∴ 的值为5；
（3）①解：由题意知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为
元，
∴利润为 元；
②解：由①知，当购进的30箱口罩全部售出后，所获利润为
元，
∵无论甲型号口罩是多少箱，最终获利都相同，
∴ ，解得 ，
∴ 的值为30．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减中的化简求值，整式加减中的无关型问题．解
题的关键在于对知识的熟练掌握．
类型三、问题探究型
例．有这样一道题：当 ， 时，求多项式
的值，小明同学说：题中给出的条件“ ，
”是多余的．你认为他的说法有道理吗？为什么？
【答案】有道理，见详解
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．【详解】解：原式
，
结果与 的取值无关，有道理．
【点睛】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练1】已知 ．
(1)若 ，按要求完成下列各小题．
①化简 ；
②若 ，y为2的倒数，求 的值；
(2)若多项式 的值与字母x的取值无关，求a，b的值．
【答案】(1)① ，②
(2) ，
【分析】（1）将两个多项式加起来化简，然后将 代入即可，求出 的数值代
入 即可；
（2）多项式的值与字母x的取值无关，即让含有 的项系数为零．
【详解】（1）解：①
② ，y为2的倒数
，
（2）解：
多项式 的值与字母x的取值无关
，，
【点睛】本题考查了多项式的加减与求代数式的值，相关知识点有：绝对值的计算、倒数
等，多项式的准确运算是本题正确的关键．
【变式训练2】（1）若关于 ， 的多项式 是一次二项式，则
_________
（2）一堂数学课上，教师给学生出了一道题：
当 ， 时，求 的值．题目刚出完，小红说，
老师给的条件 ， 是多余的；小明则认为，不给这两个条件，就不能求出结
果，所以不是多余的．你认为谁说得对，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）小红说得对，理由见解析
【分析】（1）首先把多项式合并同类项，根据化简后是一次二项式，则二次项系数等于
0，据此即可得出答案．
（2）先合并同类项，再根据结果判断即可．
【详解】解：（1）
根据题意可得： ，
解得：
故答案为：3 ．
（2）小红说得对，
理由如下：
=5．
因此，该代数式化简后不含a，b，值与a，b的取值无关，即条件 ， 是多
余的．
【点睛】本题考查了多项式的化简，整式的加减，理解化简后是一次二项式，则二次项系
数等于0是关键．
【变式训练3】有这样一道计算题： 的值，
其中 ， ．
(1)小明同学把“ ”错看成“ ”，但计算结果仍正确；小华同学把“ ”错
看成“ ”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明；
(2)求该多项式的值．
【答案】(1)理由见解析；(2) ．【分析】（1）原式去括号合并同类项得到最简的结果，即可作出判断；
（2）把 代入化简后的整式中计算即可．
【详解】（1）解：
化简后的结果不含 ，所以取值与 无关，故小明看错 结果也会是正确的；
又 时， ，
故小华看错 ，结果也是正确的；
（2）解：原式 ．
【点睛】此题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
课后训练
1．若多项式 的值与 和 无关，求
的值．
【答案】
【分析】先根据整式加减运算法则将多项式 变形为
，根据多项式 的值与 和 无关，求
出a、b的值，将 合并同类项，最后代入数值求解即可．
【详解】解：
，
∵多项式 的值与 和 无关，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算的应用，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，
求出a、b的值．2．已知 ，当A与 的差与 的取值无关时，求代数式
的值．
【答案】 ， ．
【分析】表示出 ，利用当A与 的差与 的取值无关可得：
， ，再化简 ，将 ， 时代入
计算即可．
【详解】解：由题可得：
， ，
又 原式
．
当 ， 时．
原式 ．
【点睛】本题考查整式加减中的无关性，已知字母的值，求代数式的值，解题的关键是熟
练掌握以上相关知识并熟练应用．
3．已知A，B是关于x，y的多项式，某同学在计算多项式 的结果时，不小心把表示
B的多项式弄脏了，现在只知道 ， ．
(1)试求B表示的多项式．
(2)若多项式 的值与字母x的取值无关，求 的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据减法的意义先列式求解 ，可得 ，从而可得答
案；
（2）由于多项式 的值与 的取值无关，可得含 的一次项与二次项的系数为0，可得
， 的值，再代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：
∴ ．（2）由于多项式 的值与 的取值无关，且 ，
所以 ， ，
解得： ， ．
∴ ．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，求解代数式的值，
理解题意，列出运算式与方程是解本题的关键．
4．化简求值
(1) ，其中 ， ．
(2)已知 ， ．若式子 的值与a的取值无关，
求b的值．
【答案】(1) ； ；(2)
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，将 ， 代入代数式求值即可求解，
（2）先计算 ，根据化简后值与 的取值无关，即可求得 的值．
【详解】（1）解：
；
当 ， 时，
原式
；
（2）解：∵ ，
∴∵ 的值与a的取值无关，
∴
解得
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握整式的加减法则并正确的去括号是解题
的关键．
5．先化简，再求值．
(1)已知 ，求多项式 的值；
(2)已知 ， ，当 的值与x的取值无关时，求多项式
的值．
【答案】(1)8；(2)
【分析】（1）先去括号，合并同类项，即可化简整式．再根据绝对值和平方的非负性求出
a和b的值，最后代入化简后的式子计算即可．
（2）化简 ，根据“与x的取值无关”可求出m和n的值．再化简所求多项式，代
入m和n的值计算即可．
【详解】（1）解：
．
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴原式 ；
（2）解：
．
∵ 的值与x的取值无关，
∴ ，
解得： ，
∴．
【点睛】此题考查整式加减中的化简求值，整式加减中的无关型问题，绝对值的非负性和
平方的非负性．熟练掌握整式加减混合运算的法则是解本题的关键．
