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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.2二次根式的乘除专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
1
A．1 B．√7 C．√12 D．
√3
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，
分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；
B、√7是最简二次根式，故B符合题意；
C、√12=2√3，故C不符合题意；
1 √3
D、 = ，故D不符合题意；
√3 3
故选：B．
2．（2022秋•北碚区校级期中）下列计算中，正确的是（ ）
√6
A．(−√2) 2=−2 B．√(−2) 2=−2 C． =❑√2 D．√8×√2=4
3
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（−√2）2＝2≠﹣2，故A错误；
2≠﹣2，故B错误；
√(−2) 2=
√6
是最简二次根式，故C错误；
3
√8×√2=√16=4，故D正确．
故选D．
1
3．（2022秋•辉县市校级月考）计算：3÷√3× 的值为（ ）
√5
√15
A． B．3 C．√3 D．9
5【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简，进而得出答案．
1
【解答】解：3÷√3×
√5
1
=√3×
√5
√3
=
√5
√3×√5
=
√5×√5
√15
= ．
5
故选：A．
4．（2022秋•渝中区校级月考）下列计算正确的是（ ）
A．√(−3) 2=−3 B．√12÷√3=2 C． √ 4 1 =2 1 D．(−2√5) 2=10
9 3
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【解答】解：A． 3，故此选项不合题意；
√(−3) 2=
B．√12÷√3=2，故此选项符合题意；
√ 1 √37 √37
C． 4 = = ，故此选项不合题意；
9 9 3
D．（﹣2√5）2＝20，故此选项不合题意；
故选：B．
5．（2022秋•小店区校级月考）下列各式的化简正确的是（ ）
A．√(−4)⋅(−49)=√−4⋅√−49=（﹣2）×（﹣7）＝14
B．√32=√25+7=√25×√7=5√7
C．√ 1 √37 √37 √37
4 = = =
9 9 √9 3
√ 7 √7
D．√0.7= =
10 10
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式=√(−4)×(−49)=√4×√49=2×7＝14，故A不符合题意．
B、原式=√32=4√2，故B不符合题意．√37 √37
C、原式= = ，故C符合题意．
9 3
√ 7 √70
D、原式= = ，故D不符合题意．
10 10
故选：C．
6．（2022•吴中区模拟）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 |a+b|结果为（ ）
√a2+
A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．
【解答】解：由题意：b＜a＜0，
∴a＜0，a+b＜0．
∴ |a+b|
√a2+
＝﹣a﹣a﹣b
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
7．（2022春•遵义期中）当x＝﹣3时，m 的值为 ，则m等于（ ）
√2x2+5x+7 √5
√2 √5
A．√2 B． C． D．√5
2 5
【分析】把x＝﹣3代入解答即可．
【解答】解：当x＝﹣3时，
原式＝m√18−15+7
＝m√10，
∵m√10=√5，
√2
∴m= ，
2
故选：B．
8．（2022春•新抚区期末）能使等式√x−2 √x−2成立的x的取值范围是（ ）
=
x √x
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【解答】解：由题意得：
{x−2≥0
，
x＞0
解得：x≥2，
故选：D．
9．（2022春•云阳县期中）若2＜a＜3，则 等于（ ）
√a2−4a+4−√(a−3) 2
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【分析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
√a2−4a+4−√(a−3) 2
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
10．（2022春•长兴县月考）已知a＝2020×2022﹣2020×2021，b ，c ，则
=√20232−4×2022 =√20212−1
a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】分别将a、b、c分别平方，再利用完全平方公式化简后对平方进行比较即可．
【解答】解：∵a＝2020×2022﹣2020×2021＝2020×（2022﹣2021）＝2020，
∴a2＝20202，
∵b ，
=√20232−4×2022
∴b2＝20232﹣4×2022＝（2022+1）2﹣4×2022＝（2022﹣1）2＝20212，
∵c ，
=√20212−1
∴c2＝20212﹣1，
∵20202＜20212﹣1＜20212，即a2＜c2＜b2，
∵a、b、c都是大于0的数，
∴a＜c＜b．
故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•朝阳区期中）计算： 1 3 ．
(√13) 2=
【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解： 13．
(√13) 2=
故答案为：13．
√ 5 √5
12．（2022秋•临汾期中） 化为最简二次根式是 ．
16 4
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：√ 5 √5 √5，
= =
16 √16 4
√5
故答案为： ．
4
13．（2022秋•商河县期中）若 3﹣x成立，则x满足的条件是 x ≤ 3 ．
√(x−3) 2=
【分析】利用得到 3﹣x，得到x﹣3≤0，然后解不等式即可．
√(x−3) 2=
【解答】解：∵ 3﹣x，
√(x−3) 2=
∴x﹣3≤0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
√ 1 √ 1
14．（2022秋•嘉定区校级月考）计算：− 1 ÷3 = −√2 ．
5 15
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
1√6
【解答】解：原式=− ×15
3 5
1
=− ×3√2
3
=−√2．
故答案为：−√2．
15．（2022秋•武侯区校级期中）已知：如图，化简代数式 2 a ．
√(a+2) 2−√(b−2) 2+√(a−b) 2=【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】解：∵b＜a＜0＜﹣a＜2＜﹣b，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝|a+2|﹣|b﹣2|+|a﹣b|
＝a+2+（b﹣2）+a﹣b
＝a+2+b﹣2+a﹣b
＝2a，
故答案为：2a．
16．（2022•南京模拟）若a＜b，则 可化简为 b ﹣ a ．
√(a−b) 2
【分析】直接根据 a（a＜0）化简即可．
√a2=−
【解答】解：∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
∴ b﹣a，
√(a−b) 2=
故答案为b﹣a．
17．（2022春•聊城期末）若√2x+1 √2x+1，则x的取值范围为 1 x ＜ 1 ．
= − ≤
1−x √1−x 2
【分析】根据商的算术平方根的性质即可得到结果．
【解答】解：∵√2x+1 √2x+1，
=
1−x √1−x
{2x+1≥0
∴ ，
1−x＞0
1
解得：− ≤x＜1，
2
1
故答案为：− ≤x＜1．
2
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3
18．（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现 1− = ； 2− =2 ； 3− =3 ；
2 2 5 5 10 10√ 4 √ 4 √ 8 √8
4− =4 ；…；按此规律，若 a− =a （a，b为正整数），则a+b＝ 7 3 ．
17 17 b b
【分析】找出一系列等式的规律为√ n n√ n （n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，
n− =
n2+1 n2+1
即可确定出a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•清水县校级月考）把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）√32；
（2）√1.5；
√4
（3） ；
3
1
（4） ．
√2+1
【分析】依据二次根式的性质以及分母有理化进行化简，即可得到最简二次根式．
【解答】解：（1）√32=√16×2=4√2；
√3 √6 √6
（2）√1.5= = = ；
2 4 2
√4 √4×3 2
（3） = = √3；
3 9 3
1 √2−1 √2−1
（4） = = =√2−1．
√2+1 (√2+1)(√2−1) 2−1
20．（2022春•宁武县期末）计算：
2√ 3
（1） 3 ×(−9√45)；
3 4
√1 √ 1 √1
（2） × 1 ÷(−3 )．
3 2 8
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
2 √15
【解答】解：（1）原式= × ×（﹣27√5）
3 42 √15
= × ×（﹣27√5）
3 2
√15
= ×（﹣27√5）
3
＝﹣45√3．
√1 √3 3√2
（2）原式= × ÷（− ）
3 2 4
√1 3√2
= ÷（− ）
2 4
1 4
= ×（− ）
√2 3√2
2
=− ．
3
21．（2022春•赵县月考）化简：
1√4
（1） ；
2 7
（2）√202−152；
√32×9
（3） ；
25
（4）√20.5．
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（4）根据二次根式的性质即可求出答案．
1 2
【解答】解：（1）原式= ×
2 √7
√7
= ．
7
（2）原式=√50
＝5√2．
3×4√2
（3）原式=
5
12√2
= ．
5√41
（4）原式=
2
√82
= ．
2
22．（2022春•江阴市校级月考）计算或化简：
（1）4 3√a2•2a√a；
√6a3÷
3 3
（2）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： ．
√a2−√b2−√(a−b) 2
【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算即可；
（2）根据数轴求出a、b的范围，根据二次根式的性质、绝对值的性质计算即可．
2a√3a
【解答】解：（1）原式＝4a√6a÷√3a•
3
2a√3a
＝4√2a•
3
8√6a2
= ；
3
（2）由数轴可知：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
则原式＝﹣a﹣b﹣（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣b+a＝﹣2b．
√2 2
23．（2022秋•新蔡县校级月考）发现①计算（√2）2＝ 2 ，（ ）2＝ ；
3 3
√ 2 2
②计算：√22= 2 ； (− ) 2= ；
3 3
总结 通过①②的计算，分别探索（ ）2（a≥0）与a、 与a的数量关系规律，请用自己的语言表
√a √a2
述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算 （ ）2的值．
√4(m+2) 2+√(m−1) 2+ √3−m
【分析】发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；
②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；
应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．
√2 2
【解答】解：发现：①（√2）2＝2，（ ）2= ，
3 3
2
故答案为：2， ；
3
√ 2 2 2
②√22=|2|＝2， (− ) 2=|− |= ，
3 3 3
2
故答案为：2， ；
3
总结：（ ）2＝a（a≥0）， |a| { a(a≥0) ；
√a √a2= =
−a(a＜0)
应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，
∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，
∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，
答： （ ）2＝8．
√4(m+2) 2+√(m−1) 2+ √3−m
24．（2022秋•晋江市月考）材料一：定义：√x√y=√xy（x，y为正整数）．
材料二：观察、思考、解答： ；反之 3﹣2
(√2−1) 2=(√2) 2−2×1×√2+12=2−2√2+1=3−2√2
．
√2=2−2√2+1=(√2−1) 2
∴3﹣2 ；
√2=(√2−1) 2
∴√3−2√2=√2−1．
（1）仿照材料二，化简：√6−2√5；
（2）结合两个材料，若√a+2√b=√m+√n（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表
示a和b；
（3）由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2+n2的值．
【分析】（1）把6写成5+1，利用上面的材料可得结论；
（2）观察上面的两个材料得结论；
（3）根据（2）先得到m、n与a、b的关系，再利用完全平方公式的变形得结论．
【解答】解：（1）√6−2√5=√5−2√5+1
=√ (√5) 2 −2√5+1
=√(√5−1) 2
=√5−1．
（2）综合两个材料：当若√a+2√b=√m+√n（a，b，m，n均为正整数），
则m+n＝a，mn＝b．
（3）由于m、n、a、b满足√a+2√b=√m+√n（a，b，m，n均为正整数），
∴m+n＝4，mn＝3．
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn
＝16﹣2×3
＝10．
