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第 02 讲 解直角三角形
课程标准 学习目标
1. 掌握直角三角形的性质，并能够熟练的应用直角三
角形的性质解直角三角形。
①直角三角形的性质及其解直角三角形
2. 掌握解直角三角形的基本类型。
③解直角三角形的实际应用
3. 掌握解直角三角形的实际应用问题，仰角俯角问
题，方向角问题，坡度问题。
知识点01 直角三角形的性质
1. 直角三角形的性质：
①直角三角形角的性质：两锐角 互余 。
②直角三角形边的性质：直角三角形的三边满足 勾股定理 。
③直角三角形的边角关系：三种锐角三角形函数。 ；
； 。
2. 解直角三角形的定义：利用直角三角形的性质，根据直角三角形的已知量求未知量的过程。
题型考点：①解直角三角形。
【即学即练1】
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝ ，b＝ ．解这个直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，a＝ ，b＝
∴c＝8 ，
∵tanA＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
【即学即练2】
2．在△ABC中，已知∠C＝90°，b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．解这个直角三角形．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∵sin30°＝ ＝ ，
∴b＝ c，
∵b+c＝30，
∴ c+c＝30，
解得c＝20，
则b＝10，
a＝ ＝10 ．
【即学即练3】
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a＝8 ，b＝8 ；
（2）∠B＝45°，c＝14．
【解答】解：（1）∵a＝8 ，b＝8 ，∠C＝90°；
∴c＝ ，∠A＝30°，∠B＝60°，
（2）∵∠B＝45°，c＝14，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，a＝b＝ ．【即学即练4】
4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝ ，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∴sinC＝ ＝ ，BC2﹣AB2＝AC2，
∴可设AB＝3k，则BC＝5k，
∵AC＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k＝2（负值舍去），
∴AB＝3×2＝6；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．
∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，
∴DE＝AD＝x．
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE＝BA＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝90°，
∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AD＝3，
∴tan∠DBA＝ ＝ ＝ ．
【即学即练5】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）得 ，
设AD为x，则 ，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
知识点02 解直角三角形的应用—仰角俯角问题1. 仰角与俯角的认识：
向上看物体的视线与水平线的夹角叫 仰角 ；向下看物体的视线与水平线的夹角叫 俯角 。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角
形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把
实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
题型考点：①解直角三角形在仰角俯角中的应用。
【即学即练1】
6．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝45°，从C处观测A，B两
处的视角∠ACB是多少度？
【解答】解：方法1：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°．
方法2：由邻补角的定义可得
∠CBA＝180°﹣∠CBD＝180°﹣45°＝135°．
∵∠CAD＝30°，∠CBA＝135°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠CAD
＝180°﹣30°﹣135°
＝180°﹣165°
＝15°．
【即学即练2】
7．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点 B处测得楼顶A的仰角为22°，他正
对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．
（1）求城门大楼的高度；
（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在 A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出
A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ）
【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如图所示，
由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，
∵tan∠B＝ ，
∴tan22°＝ ，
即 ，
解得，a＝12，
答：城门大楼的高度是12米；
（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝ ，
∴sin22°＝ ，
∴AB ＝32，
即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．
【即学即练3】
8．如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他
沿着正对树PQ的方向前进6m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ
垂直于AB，且垂足为C．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ≈1.732）．
【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∠PBC＝60°，
∴∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝xm．在Rt△APC中，∠PAC＝45°，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴AC＝PC＝x；
∵∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝30°．
在Rt△BPC中，BC＝ PC＝ x，
∵AB＝AC﹣BC＝6，
∴x﹣ x＝6，
解得：x＝9+3 ，
则BC＝3 +3，
在Rt△BCQ中，QC＝ BC＝ （3 +3）＝3+ ，
∴PQ＝PC﹣QC＝9+3 ﹣（3+ ）＝6+2 ≈9.5（m）．
答：树PQ的高度约为9.5m．
知识点03 解直角三角形的应用—方向角问题
1. 方向角的定义：
方向角一般是以 南北 方向为起始，向 东西 方向进行转动形成的夹角。通常表示为方向加
上角度。
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在
直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
题型考点：①解直角三角形在方向角问题中的应用。
【即学即练1】
9．如图所示，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明从湖边的C处测得A在北偏
西45°方向上，测量B在北偏东32°方向上，且量得B，C之间的距离是100m，则A、B之间的距离为
138 m．（结果精确到1m，参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480）
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D．
∵BC＝100m，
∴在Rt△CBD中，BD＝BC•sin32°＝100×0.5299＝52.99（m）．
DC＝BC•cos∠DCB＝100•cos32°＝100×0.8480＝84.80（m）．在Rt△ADC中，tan∠ACD＝ ．
AD＝CD•tan∠ACD＝84.80×tan45°＝84.80（m）．
AB＝AD+DB＝84.80+52.99≈138（m）．
【即学即练2】
10．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的 A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B
处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，
再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果
不取近似值）．
【解答】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D
作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝ BC＝ ×1000＝500米；
在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝BC＝1000米，
∴CF＝ CD＝500 米，
∴DA＝BE+CF＝（500+500 ）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米．
【即学即练3】
11．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1
小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50，
在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50× ＝25 ，
∵25 ＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
知识点04 解直角三角形的应用—坡度问题
1. 坡角的概念：
斜坡与 水平面 的夹角叫做坡角。
2. 坡度（或坡比）：
斜坡的 铅垂高度 与 水平宽度 的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一个比值，用字母i
来表示，常写成i＝ 的形式。坡度或者坡比等于坡角的 正切值 。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的
正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
题型考点：①解直角三角形
【即学即练1】
12．如图，已知梯形ABCD是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽AD＝6米．坝高18米，迎水坡CD的坡度i ＝1：1，背水坡AB的坡度i ＝1： ，求坝底宽BC．
1 2
【解答】解：分别作AG⊥BC于点G，作GH⊥BC于点H，
∵i ＝1：1，i ＝1： ＝2：3，
1 2
故设DH＝AG＝2x，则CH＝2x，BG＝3x，
则AG＝18＝2x，
则x＝9，
则BC＝BG+GH+HC＝3x+2x+6＝51（米），
则坝底宽BC为51米．
【即学即练2】
13．如图是一座人行天桥引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行且与地面成30°角的楼梯AD、CE
和一段水平平台DE构成．已知水平平台DE＝3m，引桥水平跨度AB＝12m．若与地面垂直的平台立柱
MN的高度为3.5m，求AD、CE的长度．（结果保留根号）
【解答】解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，EF⊥BC于点F，
则DG＝EH＝FB＝MN＝3.5m，GH＝DE＝3m，EF＝BH，
在Rt△DAG中，∠A＝30°，DG＝3.5m，
则AD＝2DG＝7m，AG＝ DG＝ m，
∴BH＝AB﹣AG﹣GH＝12﹣ ﹣3＝（9﹣ ）m，
∴EF＝（9﹣ ）m，
在Rt△DAG中，∠CEF＝30°，则CE＝ ＝ ＝（6 ﹣7）m，
答：AD的长度为7m，CE的长度为（6 ﹣7）m．
【即学即练3】
14．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度 CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8
米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面 BC的坡度，把倾斜角由45°
减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的长度；
（2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AC＝2CD＝2×6＝12（米），
答：新坡面AC的长度为12米；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝6米，
∴BD＝CD＝6米，
∵NB＝8米，
∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
则AD＝ ＝6 （米），
∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6 ）米，
答：新坡面底部点A到建筑物MN的距离为（14﹣6 ）米．题型01 解直角三角形
【典例1】
在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．2
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故选：B．
【典例2】
如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，E，F 分别为 AB，AC 的中点，G 为边 BC 上一点，∠EGB＝
∠FDC，连结EF．若 ，tanC＝2，BC＝14，则GD的长为 3 ．【解答】解：在△ABC中，BC＝14，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝ BC＝7，
∵AD⊥BC，
∴△ACD和△ABD均为直角三角形，
又∵点D为Rt△ACD斜边AC的中点，
∴DF＝CF＝AF，
∴∠C＝∠FDC，
∵∠EGB＝∠FDC，
∴∠EGB＝∠C，
∴EG∥CF，
∴四边形EFCG为平行四边形，
∴CG＝EF＝7，
设CD＝x，则GD＝CG﹣CD＝7﹣x，
在Rt△ACD中，tanC＝ ＝2，
∴AD＝2CD＝2x，
在Rt△ABD中，tanB＝ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ×2x＝2.5x，
∴BC＝CD+BD＝x+2.5x＝3.5x＝14，
解得：x＝4，
∴CD＝x＝4，
∴GD＝CG﹣CD＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【典例3】
根据下列条件解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8 ，∠A＝60°；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3 ，b＝9 ．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴b＝ c＝4 ，
∴a＝ b＝12，
∴∠B＝30°，b＝4 ，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3 ，b＝9 ，
∴tanA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
c＝2a＝6 ，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6 ．
【典例4】
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，BC＝5．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠OCA与tan∠B的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，CO＝6.5，
∴AB＝2CO＝13，
∵BC＝5，
∴AC＝ ＝12，
（2）∵∠ACB＝90°，O是AB的中点，
∴OC＝ AB，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴cos∠OCA＝cos∠A＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ．
【典例5】
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，D是边AC的中点，联结BD．
（1）已知BC＝ ，求AB的长；
（2）求cot∠ABD的值．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵cosA＝ ＝ ，
∴AC＝ AB．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴ AB2+ 2＝AB2．
∴AB＝3或﹣3（﹣3不合题意舍去）．
∴AB＝3．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．
由（1）知AB＝3，
∴AC＝ AB＝2．
∵D是边AC的中点，
∴CD＝AD＝ AC＝1，
S△BCD ＝S△ABD ＝ CD•BC＝ ×1× ＝ .
∴ AB•DE＝ ．
∴DE＝ ．
在Rt△DAE中，
∵AE＝ ＝ ＝ ，
∴BE＝3﹣ ＝ ．
在Rt△DBE中，
cot∠ABD＝ ＝ ＝ ．
题型02 仰角俯角问题【典例1】
小明利用所学三角函数知识对小区楼房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点
的仰角为30°，向楼房前行30m在B点处测得楼房顶端D点的仰角为60°，已知测角仪的高度是1.5m
（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（ ，结果保留一位小
数）
【解答】解：由题意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝30m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME
＝30°，
∵∠DNE是△DMN 的外角，
∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝30m，
在Rt△DNE中，DE＝DN•sin60°＝30× ＝15 （m），
∴DC＝DE+CE＝15 +1.5≈25.95+1.5≈27.5（m）．
答：楼房CD的高度约为27.5m．
【典例2】
如图，无人机在塔树上方Q处悬停，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为12米，
无人机竖直高度PQ为60米，B、P、C在一条直线上，且P点到塔底B的距离比到树底C的距离多8
米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：如图：延长CD交GH于点E，延长BA交GH于点F，由题意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，
∵CD＝12米，
∴DE＝CE﹣CD＝48（米），
在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°，
∴EQ＝ ＝ ＝16 （米），
∵PB﹣PC＝8，
∴QF﹣QE＝8，
∴QF＝QE+8＝（16 +8）米，
在Rt△QFA中，∠FQA＝37°，
∴AF＝QF•tan37°≈0.75（16 +8）米，
∴AB＝BF﹣AF＝60﹣0.75（16 +8）＝（54﹣12 ）米，
∴塔高AB的值为（54﹣12 ）米．
【典例3】
随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进，某天，数学小达
人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A．B位于同一水平地面上），如图所示，小
婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为 ，无人机的飞行高度为41.6m，并且无人机C测
得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（点A，B，C，D在同一平面内）．
α
（1）求仰角 的正切值；
（2）求A，Bα两点之间的距离．（结果精确到1m， ）【解答】解：（1）如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F，
∵无人机的飞行高度为41.6m，
∴CE＝41.6m，
由题意可得，四边形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6m，
∴CF＝CE﹣EF＝40m，
∵DF⊥CE，CD＝50m，
∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30m，
∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，
∴∠CBE＝60°，
∴ ，
即 ，
解得BE≈24，
∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，
∴A，B两点之间的距离54m．
【典例4】
如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面 30m的D处，
操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过
人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼 BC 的高度（结果取整数）（参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AE＝ DE＝30 （m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30 ）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30 ）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣30 ）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30 ）×0.75＝（45﹣22.5 ）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5 ）＝22.5 ﹣15≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【典例5】
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼
AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部 24 米的C处，遥控无人
机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目
高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 米/秒的速度继续向前匀速飞行．求经过多少
秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．【解答】解：（1）过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，
在Rt△BDM中，BM＝AC＝24 米，∠DBM＝30°，
∴DM＝BM•tan∠DBM＝24 × ＝24（米），
∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．
答：教学楼AB的高度为25.6米；
（2）延长EB交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，
在Rt△EMB中，BM＝AC＝24 米，EM＝CM﹣CE＝24米，
∴tan∠MBE＝ ＝ ＝ ，
∴∠MBE＝30°＝∠DGE，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米，
∴DG＝ED•tan60°＝48 （米），
∴48 ÷4 ＝12（秒），
∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线．
题型03 方向角问题
【典例1】
如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，该船以30海里时的速度向正北航行，9时30分
到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D
处．【解答】解：由题意得：AB＝1.5×30＝45（海里），CD⊥AD，∠DBC＝60°，∠BAC＝30°，
∵∠DBC是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴AB＝BC＝45海里，
在Rt△BCD中，BD＝BC•cos60°＝45× ＝ （海里），
∴ ÷30＝ （时）＝45（分钟），
∴9时30分+45分＝10时15分，
∴轮船10时15分到达灯塔C的正东方向D处．
【典例2】
如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，
此时测得小岛P在北偏东60°的方向上．
（1）求BP的距离；
（2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险．
【解答】解：（1）∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝40（海里），
（2）作PD⊥AC于点D，
在直角△PBC中，PD＝ PB＝40× ＝20＜22，
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险．【典例3】
某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为900m的圆形纪念园．如图，纪念园
中心A位于C村西南方向和B村南偏东61°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.8km．有关部
门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说
明．（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80， ）
【解答】解：该公路不会穿越纪念园，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，
由题意得：∠ACD＝45°，∠ABE＝61°，BC＝2.8km，AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝61°，
设AD＝x km，
在Rt△ABD中，BD＝AD•tan61°≈1.80x（km），
在Rt△ACD中，CD＝ ＝x（km），
∵BD+CD＝BC，
∴1.80x+x＝2.8，
解得：x＝1，
∴AD＝1km＝1000m，
∵1000m＞900m，
∴该公路不会穿越纪念园．
【典例4】
如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．经
测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB＝240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向．
（1）求B、D两地的距离；（结果精确到0.1m）
（2）大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据
线到大门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【解答】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P，
由题意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，
∴BD＝2BP，AP＝BP，
在Rt△ABP中，AB＝240，
∴AP＝BP＝ ＝120 ，
∴BD＝2BP＝240 ≈339.4．
答：B、D两地的距离约为339.4m；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，
由（1）得BD＝2BP＝240 ，
∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，
∴∠DBM＝45°＝∠CDB，
∴BM＝DM，
在Rt△BDN中，BD＝240 ，sin45°＝ ，
∴BM＝DM＝BD•sin45°＝240 × ＝240，
在Rt△BCM中，CBM＝75°﹣45°＝30°，
∴CM＝BM•tan30°＝80 ，
∴DC＝DM+CM＝240+80 ≈378.56，∵380＞378.56，
答：公园管理部门采购的380米数据线够用．
【典例5】
如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，
点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点E的正北方，
∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55）
（1）求AE的长度（结果精确到1米）；
（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方
向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行．两人约定同时出发，
那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由．
【解答】解：（1）如图：过点B作BF⊥DE，垂足为F，∴∠BFE＝∠BFD＝90°，
由题意得：∠GBD＝74°，∠A＝∠E＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB＝FE＝935米，AE＝BF，AB∥EF，
∴∠GBD＝∠BDF＝74°，
∵∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米
∴BD＝ ＝ ＝1000（米），
在Rt△BFD中，BF＝BD•sin74°≈1000×0.96＝960（米），
∴BF＝AE＝960米，
∴AE的长度约为960米；
（2）爸爸先到达A点，
理由：在Rt△BFD中，∠BDF＝74°，BD＝1000米，
∴DF＝BD•cos74°≈1000×0.27＝270（米），
∵EF＝935米，
∴DE＝DF+EF＝935+270＝1205（米），
∴小明从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行需要的时间＝ ＝ ＝
22.5（分钟），
爸爸从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行需要的时间＝ ＝ ＝21.1（分钟），
∵21.1分钟＜22.5分钟，
∴爸爸先到达A点．
题型04 坡度问题【典例1】
北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地，拥有国际标准雪道19条，其中青云大道某段坡长AB为800米，坡
角∠BAC＝25°，求垂直落差BC的高度．
（结果保留整数：参考数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°＝0.466）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝25°，AB＝800米，
∵sin∠BAC＝ ，
∴BC＝AB•sin∠BAC≈800×0.423≈338（米），
答：垂直落差BC的高度约为338米．
【典例2】
如图是一防洪堤背水坡的横截面，斜坡AB的长为12m，它的坡角度数为45°．为了提高该堤的防洪能力，
现将背水坡改造成坡度为 的斜坡 AD，在 CB 方向距点 B6m 处有一座房屋．（参考数据：
， ．）
（1）求∠DAB的度数；
（2）在改造背水坡的施工过程中，此房屋是否需要拆除？并说明理由．
【解答】解：（1）∵坡度为 的斜坡AD，
∴tan∠ADC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ADC＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵AB的坡角为45°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵AB＝12m，∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝ ×12＝6 （m），∴tan30°＝ ＝ ，
解得：DC＝6 ，
故DB＝DC﹣BC＝6 ﹣6 ≈6.216（米），
∵6.216＞6，
∴此处房屋需要拆除．
【典例3】
如图，长500米的水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽3m，坝高 ，斜坡AB的坡比i ＝1：2，斜坡CD
1
的坡比i ＝1：3．
2
（1）求坝底宽AD的长；
（2）修筑这个堤坝需要土方多少立方米？
【解答】解：（1）由题意得：BE⊥AD，CF⊥AD，BE＝CF＝4 m，BC＝EF＝3m，
∵斜坡AB的坡比i ＝1：2，斜坡CD的坡比i ＝1：3．
1 2
∴ ＝ ， ＝ ，
∴AE＝2BE＝8 （m），DF＝3CF＝12 （m），
∴AD＝AE+EF+DF＝8 +3+12 ＝（20 +3）m，
∴坝底宽AD的长为（20 +3）m；
（2）∵BC＝3m，AD＝（20 +3）m，BE＝4 m，
∴梯形ABCD的面积＝ （AD+BC）•BE＝ ×（20 +3+3）×4 ＝（120+12 ）m2，
∴修筑这个堤坝需要土方＝500×（120+12 ）＝（60000+6000 ）m3，
∴修筑这个堤坝需要土方（60000+6000 ）立方米．
【典例4】
科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，
AM为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流AC与水平面夹角为63°时，水流落点正好为水盆的边
缘C处；将出水装置水平移动10cm至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘
D处，MC＝AB．
（1）求连接水管AM的长．（结果保留整数）
（2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0， ≈1.73）【解答】解：（1）∵MC＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，
∴AM＝MC⋅tan∠ACM＝MC⋅tan63°≈10×2.0＝20cm．
答：连接水管AM的长为20cm．
（2）如图，连接BC．
∵AB∥MC，AB＝MC，
∴四边形ABCM为平行四边形．
∵∠AMC＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝40cm，
∴ ．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为34.6cm．
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝ ，则AB的长为（ ）
αA．msin B．mcosa C． D．
【解答】解：如图所示：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AC＝m，
α
α
∴cos ＝ ，
α
∴AB＝ ，
故选：D．
2．已知△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，现将每条边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角
A的余弦值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
【解答】解：∵将△ABC三边AC，BC，AB的长度分别5，12，13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠C＝90°，
∴cosA＝ ＝ ，
现将每条边的长度都扩大为原来的5倍，则 ＝
∴cosA的值不变．
故选：A．
3．小明沿着坡比为 的山坡向上走了300m，则他升高了（ ）
A． m B．150m C． m D．100m
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i＝1： ，
∴tan∠A＝1： ＝ ，
∴∠A＝30°，
∵AB＝300m，
∴BE＝ AB＝150（m）．∴他升高了150m．
故选：B．
4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则cos∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
∵∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，CD＝5，
∴CD＝AD＝BD＝5，
∴AB＝10，∠ACD＝∠A，
∵BC＝6，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴cos∠ACD＝cos∠A＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
5．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的
长为（ ）米．
A． B． C．200cos20° D．200sin20°
【解答】解：∵ ，
∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°，
故选：D．
6．如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方
向的夹角为 （0°＜ ＜90°），地下停车场层高CD＝3米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高
度是（ ）
α αA．3 B． C．3sin D．3cosa
【解答】解：过C作CE⊥AD，垂足为E，
α
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵斜坡AD与水平方向的夹角为 ，
∴∠BAD＝ ，
α
∴∠DCE＝ ，
α
在Rt△CDE中，CE＝CD•cos ＝3cos （米），
α
故在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是3cos 米．
α α
故选：D．
α
7．如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，则cos 的值为（
）
α α
A． B． C． D．
【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较短的直角边为a，则较长的直角边是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a ＝3，a ＝﹣4（不合题意，舍去）．
1 2
∴a+1＝4，
∴ ．
故选：D．
8．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝
30° ， 延 长 CB 使 BD ＝ AB ， 连 接 AD ， 可 得 到 ∠ D ＝ 15° ， 所 以 tan15° ＝ ＝ ＝
＝2﹣ ．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（ ）
A． +1 B． ﹣1 C． D．
【解答】解：如图：
在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，
∴∠BAD＝∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝ AC＝ ，
∴CD＝BC+BD＝1+ ，
在Rt△ADC中，tan22.5°＝ ＝ ＝ ﹣1，
故选：B．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，点D是AB边上一点，BD＝5， ，则AC＝ 6 或
．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：∵sin∠DCB＝ ，
在Rt△CDE中，sin∠DCB＝ ，
∴ ＝ ，
设DE＝3k，CD＝5k，
由勾股定理得：CE＝ ＝4k，
∵BC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，
在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，
由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，
即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，
整理得：25k2﹣64k+39＝0，
解得：k＝1，或k＝ ，
当k＝1时，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC，
即3：AC＝4：8，
∴AC＝6，
当k＝ ，DE＝3k＝ ，BE＝8﹣4k＝ ，
同理：DE：AC＝BE：BC，
即 ，
∴AC＝ ．综上所述：AC＝6或 ．
10．如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在格点上，AB、CD 相交于点 O，则
sin∠BOC为 ．
【解答】解：连接AE、BE，如图：
∵由图可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠CDE＝45°，
∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°，BE∥CD，
∴∠BOC＝∠ABE，
∵小正方形的边长为1，
在Rt△ABE中，AB＝ ＝ ，AE＝ ＝2 ，
∴sin∠ABE＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠BOC＝sin∠ABE＝ ．
故答案为： ．
11．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰
好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝1，∠ADB＝30°， ，则BC的长为
1 ．【解答】解：∵AB＝1，
在Rt△OAB中， ，
∴ ，
在Rt△DBC中， ，
∴BC＝1．
故答案为：1．
12．“淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，济南的小李乘坐高铁由济南来淄博
吃烧烤时，在距离铁轨200米的B处，观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．他
观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到
达C处，恰好位于B处的西北方向上．小李根据所学知识求得，这时段动车的平均速度是 20 （
+1 ） 米/秒．
【解答】解：过B作BD⊥AC，垂足为点D，
在Rt△BCD中，BD＝200米，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴CD＝BD＝200（米），
在Rt△ABD中，BD＝200米，∠DBA＝90°，∠ABD＝60°，
∴AD＝BDtan60°＝200 （米），
∴AC＝AD+DC＝200 +200＝200（1+ ）米，
则这时段动车的平均速度是 ×200（1+ ）＝20（ +1）米/秒．
故答案为：20（ +1）
13．超速行驶被称为“马路第一杀手”．为了让驾驶员自觉遵守交通规则，公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到
C处所用时间为2.7s．已知∠B＝45°，∠C＝30°．
（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）．
（2）如果此地限速为 70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据 ≈1.7，
【解答】解：（1）作AD⊥BC，则AD＝20m，
∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝20m，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝20 m，
∴BC＝BD+CD＝（20+20 ）m，
∴B，C之间的距离是20+20 ）m．
（2）这辆汽车超速，理由如下：
≈ ＝20（m/s），
∵20m/s＝72km/h＞70km/h，
∴这辆汽车超速．
14．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，
遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面
的夹角∠BAD＝72°．（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长
（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078， ≈1.732）
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中， ，即 ，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中， ，即 ，
∴AE＝cos72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中， ，即 ，
∴ ，∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
15．如图，在小明家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡BC，已知小山坡的坡面距离BC为200米，坡
度i＝1：0.75，在B点处测得楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°．
（1）求AB的长度；（结果精确到整数）
（2）一天傍晚，小明从A出发散步去山顶C，已知小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC
上山的速度为每分钟25米，若他6：00出发，请通过计算说明他在6：20前能否到达山顶C处？
（A，B，C，D在同一平面内，参考数据：tan15°≈0.27，sin15°≈0.26，tan15°≈0.96）
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
由题意得：CE＝AF，CF＝AE，
∵小山坡BC的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
∴设CE＝4x米，则BE＝3x米，
在Rt△CEB中，BC＝ ＝ ＝5x（米），
∵BC＝200米，
∴5x＝200，
解得：x＝40，
∴CE＝AF＝160米，BE＝120米，
设AB＝y米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝（120+y）米，
在Rt△CFD中，∠DCF＝15°，
∴DF＝CF•tan15°≈0.96（120+y）米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB•tan45°＝y（米），
∵AF+DF＝AD，
∴160+0.96（120+y）＝y，
解得：y≈264，
∴AB＝264米，
∴AB的长度约为264米；
（2）若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处，
理由：∵小明从A到B的速度为每分钟44米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，
∴小明从A出发散步去山顶C需要的时间＝ + ＝14（分钟），
∴若他6：00出发，他在6：20前能到达山顶C处．
