文档内容
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】
第一次月考阶段性测试卷01（3月卷，八下人教16-17章）
班级：_______________ 姓名：____________________ 得分：__________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋•伊川县期末）下列各式是最简二次根式的是（ ）
√5
A．√12 B．√13 C．√a2 D．
3
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、√12=√4×3=2√3，不是最简二次根式；
B、√13是最简二次根式；
C、 |a|，不是最简二次根式；
√a2=
√5
D、 ，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
3
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式的二次根式，叫做最简二次根式．
√ 1
2．（2022•黄石模拟）二次根式 有意义，则x满足的条件是（ ）
x−2
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，
解得，x＞2．
故选：B．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中
的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时
被开方数大于0．
3．（2021秋•湖口县期中）如图为小明的答卷，他的得分应是（ ）A．40 B．60 C．80 D．100
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加法，乘法，除法法则进行计算即可解答．
【解答】解：1、√25=5，正确；
2、（−√2）2＝2，正确；
3、√6÷√2=√3，小明计算错误；
4、2√3×3√2=6√6，正确；
5、√9a+√25a=3√a+5√a=8√a，小明计算错误；
综上所述：小明的得分应是60分，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2022秋•海港区期末）若 ，则x的取值范围是（ ）
√(x−3) 2=x−3
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【解答】解：∵ ，
√(x−3) 2=x−3
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
【点评】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．
5．（2022春•白碱滩区期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的
边长为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【解答】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289﹣225＝64，
∴字母A所代表的正方形的边长为√64=8，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2．
6．（2023•义乌市校级开学）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角
三角形的是（ ）
A．∠B＝50°，∠C＝40° B．∠A＝2∠B＝3∠C
C．a＝4，b=√41，c＝5 D．a：b：c＝1：√2：√3
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：A、∵∠B＝50°，∠C＝40°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
B、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴∠A≠∠B+∠C，
∴△ABC不是直角三角形；
C、∵a＝4，b=√41，c＝5，
∴a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
D、∵a：b：c＝1：√2：√3，
∴可以假设a＝k，b=√2k，c=√3k，
∴a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属
于中考常考题型．
7．（2021•张家口一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均
在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（ ）A．30° B．42° C．45° D．50°
【分析】根据勾股定理得出AD，CD，进而利用勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，进而利用
三角形内角和解答．
【解答】解：连接AC，AD，如图，
根据勾股定理可得：AD＝AC＝BC ，CD ，
=√12+22=√5 =√12+32=√10
∴∠ABC＝∠BAC，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
在△ACD中， ， ，
AD2+AC2=(√5) 2+(√5) 2=10 CD2=(√10) 2=10
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∵AB∥EC，
∴∠ABC+∠BCE＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠ABC+（180°﹣2∠ABC）+45°+∠DCE＝180°，
∴∠ABC﹣∠DCE＝45°，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和三角形内角和以及等腰直角三角形的判定和性质解
答．
8．（2022春•邹城市校级月考） 的值等于（ ）
(√3+2) 2022 (√3−2) 2023A．2 B．﹣2 C．√3−2 D．2−√3
【分析】逆用积的乘方公式，将原式变形后可算得答案．
【解答】解：原式＝[（√3+2）（√3−2）]2022×（√3−2）
＝（﹣1）2022×（√3−2）
=√3−2，
故选：C．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是能逆用积的乘方公式．
9．（2022秋•平顶山期末）如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构
造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H
到OI的距离是（ ）
2√2 √33 3√10 √110
A． B． C． D．
3 6 10 11
【分析】根据勾股定理得OB ，OC ，OD
=√AO2+AB2=√22+12=√5 =√OB2+BC2=√5+1=√6 =√7
，按照这个规律，根据勾股定理得OI=√12=2√3，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求
出答案．
【解答】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1，
根据勾股定理得OB ，
=√AO2+AB2=√22+12=√5
在Rt△OBC，根据勾股定理得OC ，
=√OB2+BC2=√5+1=√6
在Rt△OCD，根据勾股定理得OD=√7，
按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI=√12=2√3，
如图，作HM⊥OI于点M，1 1
∴ OI•HM= OH•HI，
2 2
1 1
∴ ×2√3×HM= ×√11×1，
2 2
√33
∴HM= ，
6
√33
∴点H到OI的距离是 ．
6
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和规律是解题的关键．
10．（2022•渠县二模）若 ax＝N（a＞0且a≠1），则 x＝log N，结出如下几个结论：①log 1＝
a 2022
log 1；② ；③log 101+1og 4+log 5＝1；④式子 有意
2021 (√2021) log √2021 2022=2022 2022 2022 2022 log √4−x
(x−1)
义，则2≤x≤4，其中正确的共有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据已知的定义判断即可．
【解答】解：∵20220＝1，则log 1＝0，同理log 1＝0，故①正确；
2022 2021
设log 2022＝m，根据定义得 2022，即 ，故②正确；
√2021 (√2021) m= (√2021) log √2021 2022=2022
设log 101＝a，1og 4＝b，log 5＝c，
2022 2022 2022
则2022a＝101，2022b＝4，2022c＝5；2022a×2022b×2022c＝2022a+b+c＝101×4×5＝2020，
∴a+b+c≠1，
∴log 101+1og 4+log 5≠1，故③错误；
2022 2022 2022
根据定义，式子 有意义，则有x﹣1＞0且x﹣1≠1且4﹣x≥0，
log √4−x
(x−1)
解得1＜x≤4且x≠2，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义和有理数的乘方，正确理解定义和掌握有理数的乘方和运算法则是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•广信区期末）若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 1 0 ．
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【解答】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长 10，
=√62+82=
故答案为 10．
【点评】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
12．（2022秋•宁德期末）若最简二次根式3√2m+5与5√4m−3可以合并，则m＝ 4 ．
【分析】根据同类二次根式定义可得2m+5＝4m﹣3，再解即可．
【解答】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，
解得：m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相
同，则称为同类二次根式．
13．（2022春•南陵县校级月考）如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段
AE的长为 2 ．
【分析】由AB垂直于BC，得到三角形ABC为直角三角形，进而由AB及BC的长，利用勾股定理求出
AC的长，由AC垂直于CD，得到三角形ACD为直角三角形，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD
的长，由DE垂直于AD，得到三角形ADE为直角三角形，由AD及DE的长，利用勾股定理即可求出
AE的长．
【解答】解：∵BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，
∴∠B＝∠ACD＝∠ADE＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，
根据勾股定理得：AC ，
=√AB2+BC2=√2
在Rt△ACD中，CD＝1，AD=√2，
根据勾股定理得：AD ，
=√AC2+CD2=√3
在Rt△ADE中，DE＝1，AD=√3，根据勾股定理得：AE 2．
=√AD2+DE2=
【点评】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．（2021秋•双阳区期末）如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直
径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝ 2 4 cm 2 ．
【分析】阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的
半圆的面积．
【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6cm，8cm，
∴AB 10（cm），
=√62+82=
1 8
∵以BC为直径的半圆的面积是 （ ）2＝8 （cm2），
2 2
π π
1 9π
以AC为直径的半圆的面积是 （3）2= （cm2），
2 2
π
1 25π
以AB为直径的面积是 × （5）2= （cm2），
2 2
π
1
△ABC的面积是 AC•BC＝24（cm2），
2
9π 25π
∴阴影部分的面积是8 + +24− =24cm2．
2 2
π
故答案为24．
【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积
的和或差的问题．
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3
15．（2022秋•长安区校级期末）小明做数学题时，发现 1− = ； 2− =2 ； 3− =3 ；
2 2 5 5 10 10
√ 4 √ 4 √ 8 √8
4− =4 ；…；按此规律，若 a− =a （a，b为正整数），则a+b＝ 7 3 ．
17 17 b b
【分析】找出一系列等式的规律为√ n n√ n （n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，
n− =
n2+1 n2+1即可确定出a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点评】此题考查了二次根式的性质及化简，找出题中的规律是解本题的关键．
16．（2011•綦江县）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡
14
角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2
3
＝AE2+BC2．
【分析】根据已知得出设 AE＝x米，可得EC＝（12﹣x）米，利用勾股定理得出 DC2＝DE2+EC2＝
4+（12﹣x）2，AE2+BC2＝x2+36，即可求出x的值．
【解答】解：如图，连接CD，
设AE＝x米，
∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
∴EC＝（12﹣x）米，
∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，
∴DC2＝DE2+EC2＝4+（12﹣x）2，
AE2+BC2＝x2+36，
∵DC2＝AE2+BC2，
∴4+（12﹣x）2＝x2+36，
14
解得：x= 米．
3
14
故答案为： ．
3【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是
解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022春•邹城市校级月考）计算：
√1
（1）(√6−2√15)×√3−6 ；
2
（2）√12−√9÷√3；
（3）√3(√3−√6)；
（4） ．
(2√5−√3)(2√5+√3)−(√2−√10) 2
【分析】（1）先用乘法分配律，再把各数化为最简二次根式，合并即可；
（2）先作除法，化为最简二次根式，再合并；
（3）用乘法分配律计算即可；
（4）先用平方差、完全平方公式展开，再去括号，合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3√2−6√5−3√2
＝﹣6√5；
（2）原式＝2√3−√3
=√3；
（3）原式＝3﹣3√2；
（4）原式＝20﹣3﹣（2﹣4√5+10）
＝20﹣3﹣2+4√5−10
＝5+4√5．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序及相关运算的法则．
18．（2022秋•海曙区期中）如图，4×4的方格中，每个小正方形的边长为1．（1）图①中正方形ABCD的边长为 √5 ；
（2）在图②中画一个面积为10的正方形；
（3）把图②中的数轴补充完整，再利用圆规在数轴上找出表示√10的点．
【分析】（1）结合网格和利用勾股定理即可算出正方形ABCD的边长；
（2）画出边长为3和1的长方形的对角线，对角线长就是√10，再画一个边长为√10的正方形即可；
（3）以原点为圆心，√10为半径画弧交数轴于点E，则点E表示的数为√10．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长CD ，
=√22+12=√5
故答案为：√5；
（2）如图所示：
（3）如图所示，点E表示的数为√10．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角
形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
19．（2021秋•汝阳县期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC、AB的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．【分析】（1）在Rt△BCD中利用勾股定理求得CD的长，然后在Rt△ADC中求得AD的长，根据AB＝
AD+DB即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：（1）∵在Rt△BCD中，BC＝15，BD＝9，
∴CD 12．
=√BC2−BD2=√152−92=
在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12，
∴AD 16．
=√AC2−CD2=√202−122=
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
（2）∵AB＝25，AC＝20，BC＝15，
∴AB2＝252＝625，AC2+BC2＝202+152＝625，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．
20．（2022秋•天元区校级期末）已知a＝4﹣2√3，b＝4+2√3．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算
即可．
【解答】解：（1）∵a＝4﹣2√3，b＝4+2√3，
∴ab＝（4﹣2√3）×（4+2√3）
＝42﹣（2√3）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣2√3）﹣（4+2√3）
＝4﹣2√3−4﹣2√3
＝﹣4√3；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣4√3，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣4√3）2+2×4]﹣4×（﹣4√3）
＝2×（48+8）+16√3
＝2×56+16√3
＝112+16√3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值和乘法公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此
题的关键．
21．（2021秋•昆明期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端
气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点
C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆
心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F
时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED 70（km），
=√EC2−CD2=
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利
用勾股定理解答．
22．（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于
c的共轭二次根式．
（1）若a与√2是关于4的共轭二次根式，则a＝ 2√2 ；
（2）若3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，先列出关于a的等式，再求出a；
（2）根据共轭二次根式的定义，先列出关于m的方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵a与√2是关于4的共轭二次根式，
∴√2a=4．
4
∴a= =2√2；
√2
故答案为：2√2；
（2））∵3+√3与6+√3m是关于12的共轭二次根式，
∴(3+√3)(6+√3m)=12．
∴18+6√3+3√3m+3m＝12．
∴m（3√3+3）＝﹣6﹣6√3．
∴m＝﹣2．【点评】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则，理解共轭二次根式的定义是解决
本题的关键．
23．（2022秋·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1
的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长
为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为
24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形
EFGH，正方形MNKT的面积分别为S 、S 、S ，若S +2S +S =20，则S = ．
1 2 3 1 2 3 2
【答案】(1)证明见详解
(2)“勾股风车”图案的面积为24
(3)5
【分析】（1）根据图形可知S =4S +S ，由此即可求解；
大正方形 △ABC 小正方形
（2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知OC=3，则可求出直角三角形的两条直角边，
由此即可求出“勾股风车”图案的面积；
（3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，S +2S +S =20，设直角三角形
1 2 3
的两条直角边分别为m，n，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由图①可知S =4S +S ，
大正方形 △ABC 小正方形
1
∵S =c2，S = ab，S =(a−b) 2，
大正方形 △ABC 2 小正方形
1
∴c2=4× ab+(a−b) 2=2ab+a2−2ab+b2，
2即c2=a2+b2．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4 AB+4 AC=24，即4 AB+4x=24，
∴AB=6−x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴ ，解方程得， ，即 ，
(6−x) 2=32+(3+x) 2 x=1 AC=1
∴OA=3+1=4，OB=3，
1
∴S = ×3×4=6，
△OAB 2
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24．
（3）解：设AE=m，AH=n，
1
∴S =4× mn+m2+n2，S =m2+n2，S =(n−m) 2=n2−2mn+m2，
1 2 2 3
∴ ，
S +2S +S =2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2−2mn+n2=4m2+4n2=4S =20
1 2 3 2
∴S =5．
2
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键．
