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中考大题 06 圆中的证明与计算问题
中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常
选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个
别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结
合考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时
一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.
题型一： 圆中的角度和线段计算问题
1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC,AD,BC，作
CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O,B重合），连接OF．
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(1)若BE=1，求GE的长．
(2)求证：BC2=BG⋅BO．
(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
2．（2023·山东·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过点C作
CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．
(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段
MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
圆的基础定理: 垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的
特征，综合应用起来解决相关问题.
垂径定理模型（知二得三）
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ AC=AD ⑤ BC=BD
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C
A O E B
D
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的
弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出
其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
【利用圆周角定理解题思路】
1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以
利用圆周角定理进行角的转化.
2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.
3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧
的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
1．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点B作
BC∥PA交⊙O于点C，连接AB，AC．
(1)求证：AB=AC；
(2)若AP=6，AB=4，求⊙O的半径．
2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D
作圆的切线交AC于E．
求证：
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(1)AE=CE；
(2)CD•CB=4DE2．
题型二： 求弓形面积或不规则图形面积
1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°，⊙O和底边AB相切于点
C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE．
(1)求证：四边形ODCE是菱形；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，
点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．
从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整
（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积．
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设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR O
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180 R
n°
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
l
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S =πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） n°
圆锥侧
l
圆锥全面积公式 S =πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） h
圆锥全
r
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【阴影部分面积求解问题解题思路】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则
的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，点A为DC延长线上一点，
过点O作OE∥BC交AB的延长线于点E，且∠D=∠E
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若线段OE与⊙O的交点F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
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2．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB'C'的位置，那
么可以得到：AB=AB'，AC=AC'，BC=B'C'，∠BAC=∠B' AC'，∠ABC=∠AB'C'，
∠ACB=∠AC'B'．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着
“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
(1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________；
(2)如图2，将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A'B'C'
的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB'=6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为______________cm；
(3)如果将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在
弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少(如
图3)？
题型三： 正多边形与圆
（2021·湖北随州·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面
积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面
积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，
解题过程简便快捷．
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（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的
半径长为______；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分
1
别为h ，h ，h ，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知 a(h +h +h )=S =3S ，可得
1 2 3 2 1 2 3 △ABC △OAB
h +h +h = _____；（结果用含a的式子表示）
1 2 3
②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h ，h ，
1 2
8
h ，h ，h ，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h +h +h +h +h 的值．（参考数据：tan36°≈ ，
3 4 5 1 2 3 4 5 11
11
tan54°≈ ）
8
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC//OA，连
接AC，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形
ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理
由．
正多边形的常用公式
边长 1800
a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径）
n n n
周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360°
n
面积 1 对角线条数 n(n−3)
Sn= an⋅rn⋅n
2 2
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边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°.
rn=Rn⋅cos
n
（内角和÷180°）＋2
内角度数 （n−2）×180° n边形的边数
n
a 、Rn、rn的关系
a2
n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个
n n 4
值可以借助勾股定理求解.）
【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成
2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正 n边形各元素间的关
系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
1．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形
状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接
成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．
【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4 …
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，
猜想其图象是二次函数图象的一部分．
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为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边
形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到
一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补
全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的
个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，A´B的长为
2
πcm，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略
3
不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（√3≈1.732）
2．（2023·河北邯郸·二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和
六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在
大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．
(1)∠NOP=________°
(2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
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③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
题型四： 切线的性质与判定
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD
交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC
交于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：AF⋅AC=AE⋅AH；
4 AH
(3)若sin∠DEA= ，求 的值．
5 FH
2．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连
接CO交⊙O于点E， ⊙O与AC相切于点D．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC=4√2，求FG的长．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
性质
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
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算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判定
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；
3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
1．（2023·广西梧州·二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC
相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
4
(2)若AB=10，sin∠ABC= ，求AD的长．
5
2．（22-23九年级上·河北保定·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
O是边AB上的点，经过点A，D的⊙O交AB于点E．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若∠B=30°，BD=√3．
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①求OE的长；
②求阴影部分的面积．
题型五： 四点共圆
1．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在
平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，
C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与
点M距离的最小值．
2．（2023·广东·中考真题）综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，如图2，将正方形OABC绕点O
逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<45°)，AB交直线y=x于点E，BC交y轴于点F．
(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE=OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
(2)若点A(4,3)，求FC的长；
(3)如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y=x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为
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S 与S ，设S=S −S ，AN=n，求S关于n的函数表达式．
1 2 1 2
判定方法 图形 证明过程
若四个点到一个定点的距离相 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
等，则这四个点共圆（圆的定 D （圆的定义）
A
义）.
适用范围：题目出现共端点，等 O C
线段时，可利用圆的定义构造辅 B
助圆.
若一个四边形的一组对角互补， D 反证法
A
则这个四边形的四个点共圆.
O
B
C
若一个四边形的外角等于它的内 D 反证法
A
对角，则这个四边形的四个点共
圆.
O
B
C E
同侧共边三角形且公共边所对角 A D 反证法
相等的四个顶点共圆.
O
B
C
连接AO、OD
共斜边的两个直角三角形的四个 A D
A
顶点共圆. 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
可得AO=BO=CO=DO
B
适用范围：双直角三角形共斜边 O C B O C
∴点A、B、C、D四点共圆
模型.
D
在△APB和△CPD中
在⊙O中，若弦AB、CD相交于点
C
P,且 AP•DP=BP•CP，则 A,B,C,D A AP•DP=BP•CP
四点共圆（相交弦定理的逆定 2
13 4 ∠3=∠4
理） P
B
O D ∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
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在△APC和△DPB中
在⊙O中，若AB、CD两线段延长 P
A
后相交于点P,且AP•BP=DP•CP， 3 AP•BP=CP•DP
则 A,B,C,D 四点共圆（割线定 2 C
理） B 1 O ∠P=∠P ∴△APC∽△DPB
∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
D
则A、B、C、D四点共圆
若四边形两组对边乘积的和等于 C
对角线的乘积，则四边形的四个
D
顶点共圆(托勒密定理的逆定
理).
O
B
A
1．（2023·河南南阳·三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形
的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让
复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
(1)如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转
∠ADC的度数，交直线BC于点Q．
小明的思考如下：
连接DQ，
∵AD∥CQ，∠ADC=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DAC，（依据1）
∵∠DPQ=90°，
∴∠DPQ+∠DCQ=180°，
∴点D、P、Q、C共圆，
∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，
（依据2）
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∴∠PDQ=∠DQP，
∴DP=QP．（依据3）
填空：①依据1应为___________，
②依据2应为___________，
③依据3应为___________；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以
图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)如图2，若∠ADC=120°，AD=3，当△PQC为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．
2．（2023·云南昆明·模拟预测）【问题引入】
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点B作直线MN，过点A作AE⊥MN于点E，判断：点E一定
Rt△ABC外接圆⊙O上（填“在”或“不在”）．
【问题探索】
如图2，以线段AB上一点O为圆心，OB为半径画圆，交AB于点C，点D是异于点B，C的⊙O上一点，
f
E为BD的延长线上一点.当AE有最小值f时，此时DE= ，且∠DAE=∠B．
2
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若f =8；以A为圆心，AD为半径画弧交射线BD于点F（与D不重合），G为BD的中点，判断点A，
O，G，F是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的面积；如果不在，请说明理由．
题型六： 圆幂定理
1．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边
AD上，连接EF．
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(1)求证：△ABE∽△DCE；
AE DE AF FE
(2)当D´C=C´B，∠DFE=2∠CDB时，则 − = ___________； + = ___________；
BE CE AB AD
1 1 1
+ − = ___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
AB AD AF
(3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S,S ,S ，若满足√S=√S +√S ，试判断，
1 2 1 2
△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当D´C=C´B，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示AE⋅CE．
2．（2022·湖南·中考真题）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是^BD的中点，延长AD交
BC的延长线于点E．
(1)求证：CE=CD；
(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
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已知 图形 结论 证明过程
C 在△APB和△CPD中
【基础】在⊙O A AP•DP=BP•CP
2 ∠1=∠2（同弧所对圆周角相
中，弦AB、CD相
13 4
交于点P P 等）
B
O D
∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD
AP BP
∴ = 则AP•DP=BP•CP
CP DP
【进阶】在⊙O M C BP•CP=MP•NP 同上
中，OP 所在直线
=(r-OP)( r+OP)
与⊙O 交于 M、N
两点，r为⊙O的 B P O = r2−OP2
半径
N
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.
1．（2024·福建龙岩·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是圆上一点，过点D作⊙O的切线交BA
延长线于点C，连接AD，DC．
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(1)求证：CD2=CA⋅CB．
3
(2)已知AD=3，sin∠B= ，求AC的长．
5
2．（2023·河南商丘·一模）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，
带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是⊙O外一点，PC是⊙O的切线，PA是⊙O的一条割线，与⊙O的另一个交点为B，则
PC2=PA⋅PB．
证明：如图2，连接AC、BC，过点C作⊙O的直径CD，连接AD．
∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CD，
∴∠PCD=90°，即∠PCB+∠BCD=90°．
……
任务：
(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长与⊙O交于点B、C，∠P=∠BAD，BC=8，
AP=3BP，连接CD．
①CD与AP的位置关系是 ．
②求BD的长．
3．（2023·河南周口·三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A是⊙O外一点，过点A作直线AC，AE分别交⊙O于点B，C，D，E，则有
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AB⋅AC=AD⋅AE．
证明：如图，连接BE，DC．
∵∠BCD=∠BED（依据：①________________），∠CAD=∠EAB，
∴△ACD∼△AEB．
AD
∴ =②_________________．
AB
∴AB⋅AC=AD⋅AE．
任务：
(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．
已知：如图，A是⊙O外一点，过点A的直线交⊙O于点B，C，__________．
求证：AE2＝ ___________．
题型七： 圆与全等/相似三角形的综合
1．（2023·浙江台州·中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直
线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆
上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
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⏜
(1)如图1，当AB=6，
BP
的长为π时，求BC的长．
AQ 3 BC
(2)如图2，当 = ，B´P=P´Q时，求 的值．
AB 4 CD
√6 PQ
(3)如图3，当sin∠BAQ= ，BC=CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
4 BP
2．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中， AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，
AB=2√3，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B
在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM=4√3．
(1)求证：△PQM≌△CHD；
(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋
转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度
为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含
d的式子表示）．
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全等三角形的判定：
1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）；
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角
边”或“HL”）．
判定两个三角形全等的思路：
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图①，OA是⊙O的半径，点P是OA上一动点，过P作弦BD⊥弦AC，
垂足为E，连结AB，BC，CD，DA．
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(1)求证：∠BAO=∠CAD．
(2)当OA∥CD时，求证：AC=BC．
(3)如图②，在（2）的条件下，连结OC．
4
①若△ABC的面积为12，cos∠ADB= ，求△APD的面积．
5
BD
②当P是OA的中点时，求 的值．
AC
2．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AF为∠BAC的外角平分线，
过点A，C及线段AB上一点E作圆O，交射线AF于点D．
(1)求证：DE=DC．
AD
(2)试判断 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
BE
(3)作点A关于CD的对称点A'，当点A'落在△ADE任一边所在直线上时，求所有满足条件的BE长．
题型八： 圆与四边形综合
1．（2023·广东·中考真题）综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接
AA'交BD于点E，连接CA'．
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(1)求证：AA'⊥CA'；
(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA'=√3CA'；
②如图3，⊙O与CA'相切，AD=1，求⊙O的面积．
2．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE．
(1)若AE=CE，
①证明ABCD为菱形；
②若AB=5，AE=3，求BD的长．
(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=√2AE．若F在
AB
直线CE上，求 的值．
BC
1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形ABCD中，已知BC=6，连接BD，∠CBD=30°，点O是
边BC上的一动点，⊙O的半径为定值r．
(1)如下图，当⊙O经过点C时，恰好与BD相切，求⊙O的半径r；
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(2)如下图，点M是⊙O上的一动点，求三角形ADM面积的最大值：
(3)若⊙O从B出发，沿BC方向以每秒一个单位长度向C点运动，同时，动点E，F分别从点A，点C出
发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线CB方向运动，速度为每
秒2个单位长度，连接EF，如下图所示，当⊙O平移至点C（圆心O与点C重合）时停止运动，点E，F
也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．在运动过程中，是否存在某一时间t，使⊙O与EF相切，若存
在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·重庆大渡口·三模）如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
(1)如图1，连接PD，若∠PDC=60°，AD=4，求tan∠APB的值；
(2)如图2，点F在DC上，连接AF．作∠APB的平分线PE交AF于点E，连接DE、CE，若
∠APB=60°，且DE平分∠ADF．求证： PA+PC=√3PE；
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(3)如图3，在（2）的条件下，点Q为AP的中点，点M为平面内一动点，且AQ=MQ，连接PM，以PM
为边长作等边△PM M'，若BP=2，直接写出BM'的最小值．
1．（2023·浙江宁波·一模）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下
图，直线l∥l，点A，B在直线l 上，点C ，C ，C ，C 在直线l 上．△ABC，△ABC，△ABC，
1 2 2 1 2 3 4 1 1 2 3
△ABC 这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
4
【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝x，用含x
的代数式表示S ；
△ABC
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【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O
上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S =10√2，求⊙O的半径．
△CEF
2．（2023·陕西西安·模拟预测）在 ▱ABCD中，AB⊥AC，点E在边AD上，连接BE．
(1)如图1，AC交BE于点G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，请求出四边形
EGCD的面积；
(2)如图2，点F在对角线AC上，且AF=AB，连接BF，过点F作FH⊥BE于点H，连接AH，求证：
HF+√2AH=BH；
(3)如图3，线段PQ在线段BE上运动，点R在BC上，连接CQ，PR．若BE平分
∠ABC，∠DAC=30°，AB=√3，AC=BE=2PQ=3，BC=4BR．求线段CQ+PQ+PR的和的最
小值．
3．（2024·福建龙岩·二模）已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=6√2．
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探究一：如图（1），点D在BC上（点D不与点B，C重合），且BD=x．
①连接AD，当x=4时，AD= ______．
②在①的条件下，若以点A为旋转中心把线段AB逆时针旋转α(0°<α<360°)，旋转后点B的对应点为点
B'，连接DB'，设DB'为最大值为a，DB'的最小值为b，则a⋅b=______．
③如图（2），若把线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE，连接DE交AC于点F，求CF的最大值．
探究二：建立如图（3）所示的平面直角坐标系，把线段AB绕点A逆时针旋转45°得线段AM，再把线段
AM逆时针旋转90°得线段AN，MN交BC于点P，NC与BM的延长线交于点Q，请判断射线AP是否经
过点Q．
4．（2024·湖南邵阳·一模）如图，以边△ABC的边AB为直径作圆O，交BC于D，E在弧BD上，连接AE、
ED、DA，若∠DAC=∠AED．
(1)求证：AC为⊙O切线；
(2)求证：AC2=CD⋅BC；
(3)若点E是弧BD的中点，AE与BC交于点F，当BD=5，CD=4时，求DF的长．
5．（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD中，E、F
分别在边AB、BC上，且∠EDF=45°，连接EF，试探究AE、CF、EF之间的数量关系．解决这个
问题可将△ADE绕点D逆时针旋转90°到△CDH的位置（易得出点H在BC的延长线上），进一步证明
△≝¿与△DHF全等，即可解决问题．
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(1)如图1，正方形ABCD中，∠EDF=45°,AE=3,CF=2，则EF=______；
(2)如图2，正方形ABCD中，若∠EDF=30°，过点E作EM∥BC交DF于M点，请计算AE+CF与EM
的比值，写出解答过程；
(3)如图3，若∠EDF=60°，正方形ABCD的边长AB=8，试探究△≝¿面积的最小值．
1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在A´B上取一点E，连接AE，DE．过
点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积．
2．（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
CB √5−1
如图①，点C把线段AB分成两部分，如果 = ≈0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
AC 2
（1）特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径MN、AI；
②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；
③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE；
则五边形ABCDE为正五边形．
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在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割
有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金
分割点，请利用题中的条件，求cos72°的值．
3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点
D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
1
(2)若DE=2，tan∠BAC= ，求AD的长；
2
(3)在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
4．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角
∠APB的大小为__________度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在A´C上（点P不与点
A、C重合），连结PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连结
BE，通过证明△PBC≌△EBA，可推得PBE是等边三角形，进而得证．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE=PC，连结BE，
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
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∴∠BAP+∠BCP=180°．
∵∠BAP+∠BAE=180°，
∴∠BCP=∠BAE．
∵△ABC是等边三角形．
∴BA=BC，
∴△PBC≌△EBA(SAS)
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在
PB
AC的两侧，连结PA、PB、PC．若PB=2√2PA，则 的值为__________．
PC
5．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为A´C的中点，连接
ON交AC于点H．
(1)如图①，求证BC=2OH；
(2)如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB=DC，求证OD∥AC；
(3)如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G．DG=CH，过点F作
FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF:DF=3:2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作
TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR=CM，AT=4√2，求AB的长．
30 30
