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第16 章 二次根式（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．代数式 中x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．12 D．18
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．将 ， ， 用不等号连接起来为（ ）
A． B． C． D．
7．在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．
C． cm， cm， cm D． cm， cm，5cm
8．当x＜0时，化简|x|＋ 的结果是（ ）
A．－1 B．1 C．1－2x D．2x－1
9．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1， ，则⊙A的直径长为（ )A． B． C． D．
10．若0<x<1，则 等于（ ）
A． B．－ C．－2x D．2x
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12． 的一个有理化因式是 ．
13．二次根式 与最简二次根式 可以合并，则
14．比较大小： ．
15．计算： = ．
16．当 时，化简 ．
17．已知3 ＝16，m＝4 ，则m的取值范围是 ．
18．如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分
的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：(1) (2) ．
20．（8分）在学习了二次根式 的性质后，小新同学用相关知识解决了下面这道
题．
化简求值： ，其中
他的做法为：解：原式
当 时，原式
小新同学的做法正确吗？若正确请说明理由，若不正确请把正确过程写出来．
21．（10分）已知， ， ．求值：
(1) ； (2) ．
22．（10分）先化简，再求值： ，其中 ， .23．（10分）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方
式，在长方形木板①上截出两块面积分别为18 和 的正方形木板A、B．
（1）图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ；
（2）图①中阴影部分的面积为 ；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为 的两个正方
形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
24．（12分）
观察下面的式子．
， ， ，…， ．
（1）计算： ， ；
（2）计算 的值；
（3）计算： （用n的代数式表示）．参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题
的关键．
【详解】解：∵二次根式的被开方数是非负数，
∴
∴ ，
故选：A．
2．C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二
次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、 是最简二次根式，不符合题意；
B、 是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，符合题意；
D、 是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它
们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行解答即可判断，掌握同类二次根式的定
义是解题的关键．
【详解】解： 、 与 是同类二次根式，符合题意；
、 与 不是同类二次根式，不合题意；
、 ，与 不是同类二次根式，不合题意；
、 与 不是同类二次根式，不合题意；
故选： ．
4．B【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出
的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
，
，
，
故选B．
5．D
【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
6．B
【分析】先利用计算器估算出三个无理数的值，再进行比较即可得出答案．
【详解】解：∵ ，且 ，∴ ；
故选：B
【点拨】本题考查的是无理数大小的估算及实数的大小的比较，能熟记实数的大小比较法则以及幂的乘方
是解此题的关键．
7．C
【分析】根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：A. ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B. ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C. ，能组成三角形，故本选项符合题意；
D. ，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边是解题的关键．
8．C
【分析】根据二次根式的性质 =|a|解题．
【详解】原式=|x|+ =|x|+ =|x|+|x-1|
∵x＜0
∴原式=-x+1-x
=1-2x．故选C．
【点拨】关键是要弄清二次根式的性质： =|a|，再根据x的范围去绝对值．
9．C
【分析】根据已知条件可以求出线段AB的长度，然后根据直径等于2倍的半径，即可解答．
【详解】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为1和 ，
∴AB＝ ﹣1，∵⊙A的直径为2AB＝2 ﹣2．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次根式的运算、实数与数轴，解本题关键是求两点间的距离用大数减去小数，圆
的直径等于2倍的半径．
10．D
【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质，结合0<x<1，进行化简，即可得到答案．
【详解】∵0<x<1，
∴ ＞0， ＜0，
∴ =
=
= +
=2x，
故选D
【点拨】本题主要考查二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握 ，是解题的关键．
11． /
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握 是解本题的关键，本题判断 ，再化简即可．
【详解】解： ，
故答案为：
12． （答案不唯一）
【分析】本题考查了二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理
化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号
和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【详解】解： ，
∴ 的一个有理化因式是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．
【分析】本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，先把 化简成最简二次根式，再根据同类二次根
式的定义得出 ，即可得答案．熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键．
【详解】∵二次根式 与最简二次根式 可以合并， ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将 化
成 ，根据无理数的估算、二次根式的化简可得 ，由此即可得．
【详解】解： ，
∵ ，
，即 ，
故答案为： ．
15． /
【分析】先把原式写成 ，然后再运用积的乘方法则的逆用运算即可．
【详解】解： ，．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法和乘方运算，灵活运用积的乘方和同底数幂的乘法法则是解答本题的
关键．
16．
【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得 ，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式
的除法即可得．
【详解】由二次根式的定义得： ，
，
，
又 除法运算的除数不能为0，
，
，
则故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
17．﹣12≤m≤
【分析】根据非负数的性质，可得 的取值范围，根据被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越
大，可得答案．
【详解】由3 +4 =16，得 = ，
≥0，
解得 ≤4，又 ≥0，
∴0≤ ≤4．
m=4 =4× -3 = ，
即m= ，
当 =0时，m = ，
最大
当 =4时，m =-12，
最小
m的取值范围是-12≤m≤ ，
故答案为-12≤m≤ ．
【点拨】本题考查了二次根式的加减，利用被减数一定时，减数越大差越小，减数越小差越大是解题关键，
又利用了二次根时的性质：被开方数是非负数．
18．72【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质．直接利用二次根式的性质得出两个小正方形
的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为27和48，
∴大正方形边长为： ，
∴大正方形面积为 ，
∴留下的阴影部分面积和为：
故答案为：72．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式计算二次根式，然后计算加减法即可；
（2）先计算二次根式的除法及乘法，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．不正确，见解析【分析】先利用二次根式的性质化简，再代入数据求解即可．
【详解】解：小新同学的做法不正确．
正确过程为：
解：
，
当 时，原式 ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题关键
21．(1)
(2)3
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟练掌握完全平方公式，二次根式的
乘法，平方差公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式计算求解即可；
（2）先通分，然后代值，利用平方差公式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
；
（2）解：由题意知，
．22． ；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，把除法转化为乘法，约分化简，再代入求值．
【详解】解：
；
把 ， 代入上式得，
原式 ．
23．(1) ，
(2)
(3)不能截出，理由见详解
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为 的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进
行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为 ，正方形木板B的面积为 ，
∴正方形木板A的边长为 ，正方形木板B的边长为 ，
故答案为： ， ；（2）解：∵正方形木板A的边长为 ，正方形木板B的边长为 ，
∴阴影部分宽为 ，
∴阴影部分面积为 ，
故答案为：6；
（3）解：不能截出；
理由： ， ，
∴两个正方形木板放在一起的宽为 ，长为 ．
由（2）可得长方形木板的长为 ，宽为 ．
∵ ，但 ，
∴不能截出．
24．(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出 、 的值，再求出算术平方根即可；
（2）根据（1）的结果进行拆项，再进行合并即可得到答案；
（3）根据（1）的结果进行拆项得出 ，求出答案即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
∵ ，∴ ；
故答案为： ， ；
（2）∵ ，
∴ ；
同理得： ， ，
∴原式
；
（3）∵ ，
∴
∴
，．
【点拨】本题考查二次根式的化简和数字类规律，掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本方法是解题
的关键．
