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第17 章 勾股定理（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四组数中，勾股数是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，3 C． D． ， ，
2．如图， ，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）
A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
3．直角三角形的两边长分别为 和 ，则第三条边长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或10
4．三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）．
A． B．
C． D．
5．如图所示， 中， 于 ，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，连接BD，若
AC=3，DE=1，则线段BD的长为（ ）A．2 B．2 C．4 D．5
7．如图，已知四边形 中， ，则这块图形的面
积为（ ）
A．96 B．78 C．108 D．120
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线 ， ， 上，
且 ， 之间的距离为2， ， 之间的距离为3 ，则 的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
9．如图，P是等边三角形 内的一点，连接 ， ， ，以 为边作 ，且
， ， ， ，连接 ．连接 ，则下列结论：① 是直角三角形；②
是等边三角形；③ ；④ ．其中正确的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则
BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，数轴上点P表示的数是 ，点M表示的数是1， 轴，且 ，若以点P为圆心，
的长为半径画弧交数轴的正半轴于 ，则点B表示的数为 ．
12． ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ．
13．△如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．
以AB、AC、BC 为边分别向外画正方形，面积分别为S 、S 、S ，那么S 、S 、S 之间的数量关系为 ．
1 2 3 1 2 314．如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，则
．
15．折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，
中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图， 尺，
尺，则 的高为 尺．
16．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，
梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面
的距离 为1.5米，则小巷的宽为 米．
17．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点 镶有一圈金属丝，
已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm．18．如图，在 中， ， ， ， 、 分别是 的内角和外角角平分
线，且相交于点 ，则 的面积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知 ， ，
（1）求证∶ ；
（2）若 平分 ， ，求 的长度20．（8分）1876年，美国总统加菲尔德利用下图验证了勾股定理．
（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：
方法1：________；方法2：________．
（2）利用“等面积法”，推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证．
21．（10分）如图，已知在 中， ， ， ，点D，E分别在边 ，
上，连结 ， ．将 沿 翻折，将 沿 翻折，翻折后，点B，C分别落在点 ，
处，且边 与 在同一直线上，连结 ．
（1）求证： 是直角三角形；
（2）当 为何值时， 是以 为腰的等腰三角形．22．（10分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年一班
数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 ，再在笔直的车道
上确定点 ，使 与 垂直，测得 长等于21米，在 上点 的同侧取点 ，使
．
（1）求 的长（精确到0.1米，参考数据： ）；
（2）已知本路段对校车限速40千米/小时，若测的某辆校车从 到 用时3秒，这辆校车是否超速？
说明理由．
23．（10分）如图1，在 中， ， ，点 为 内任意一动点，
（1）当 时，求 的度数；
（2）当点 满足 时，
①求 的度数；
②如图2，取 的中点 ，连接 ，试求 ， ， 之间的数量关系并说明理由．24．（12分）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片 中， ， ，将 沿 折叠，使点A与点B重合，
折痕和 交于点E， ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点C落在 处， 交 于E，若
， ，求 的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片 中， ， ，点E为射线 上一个动点，把 沿直
线 折叠，当点A的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长（注：长方形的对边平行
且相等）．参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股数，欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等
于最长边的平方即可．
解：A、因为 ，所以它们是勾股数，故本选项符合题意；
B、因为 ，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
C、因为 不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；
D、因为 ，但 ， ， 不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题
意．
故选：A．2．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，求出 ，然后再求出40°的余
角即可解答．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
由题意得： ，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到
．
3．D
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长
边 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即 是斜边或直角边的两种情况，
然后利用勾股定理求解．
解：设第三边为 ，
①当 是直角边，则 ，解得： ，
②当 是斜边，则 ，解得 ．
∴第三边长为 或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意
讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
4．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断．
解：A. ，设 ，
则 ， ，故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意；
B. ，即 ，故能判断是直角三角形，不符合题意；
C. ，即 ，故能判断是直角三角形，不符合题意；
D. ，设 ，则 ， ，
，故能判断是直角三角形，不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．B
【分析】由于CD⊥AB，CD为Rt△ADC和Rt△BCD的公共边，在这两三角形中利用勾股定理可求出BD
的长．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2，
∴AC2-AD2=BC2-BD2，
∵AD=2BD，AC=5，BC=4，
∴52-（2BD）2=42-BD2
解得：BD= ．
故选B．
【点拨】仔细分析题目是解题的关键，本题中有一直角边为公共边，只要充分利用这一点及勾股定理，
则容易解题．
6．A
【分析】根据旋转的性质可知： ， ，应用勾股定理求出 的长，又由旋转的性
质可知： ，再由勾股定理即可求出 的长.
解：由旋转的性质可知： ， ，
在 中， ， ， ，
勾股定理得： ，又旋转角为 ，
，
在 中， ，
即： 的长为 .
故选： .
【点拨】本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转的性质判定 的形状
与边 、 的长.
7．A
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，连接 ，根据勾股定理得到 的长，然后
根据勾股定理的逆定理，可以判断出 的形状，然后根据 即可得到四边形 的面积．
解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴四边形 的面积 ．
即这块四边形空地的面积是96．
故选：A．
8．A
【分析】过A、C点作l 的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理
3
求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.解：如图所示，过A作AD⊥l 于D，过C作CE⊥l 于E，
3 3
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得 ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造
直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
9．C
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定及全等三角形的判定与性质，熟练
掌握以上知识点是解题的关键．
连接 ，证明 为正三角形．得出 ， ，根据等边三角形的性质
利用 判定 ，得出 ， ，证出 ，得出，则可得出结论．
解：连接 ，
， ，
为正三角形．
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 中， ，
是直角三角形，
，
，
，
若 ，则 ，
由题意可知， ，
故①②③正确，故选：C．
10．B
【分析】过点 作 ，由勾股定理得， ，继而证明当 在同一条直线上，
且 时， 的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等 ，在
中，由勾股定理解得 的长即可解题.
解： ∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点 作 ，
由勾股定理得，
当 在同一条直线上，且 时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为 ，
故选：B.【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键.
11． /
【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理，先利用勾股定理求得 ，再根据数轴上两点之间的
距离求解即可．
解：∵点P表示的数是 ，点M表示的数是1，
∴ ，又 轴，且 ，
∴ ，则 ，
∴点B表示的数为 ，
故答案为：
12．1∶ ∶2
【分析】根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x，则AB=2x，再利用勾股定理
求AC的长即可得解.
解：已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
设BC=x，则AB=2x，
∴AC= = x，
则BC∶AC∶AB=1∶ ∶2.故答案为1∶ ∶2.
【点拨】本题主要考查了30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其
知识点.
13．S +S ＝S ．
1 2 3
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再
分别用a、b、c表示S 、S 、S 的值，由勾股定理即可得出S 、S 、S 之间的数量关系．
1 2 3 1 2 3
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S =c2，S =b2，S =a2，
1 2 3
∵△ABC是直角三角形，
∴b2+c2=a2，即S +S =S ．
1 2 3
故答案为S +S =S ．
1 2 3
【点拨】本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边
作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
14．45
【分析】先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明 是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形
的性质求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
故答案为：45．
【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得
是等腰直角三角形是解答的关键．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到关于
的方程，求出 的长．解： 尺， 尺，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
16．2.7
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在 中利用勾股定理计算出BD长，
然后可得CD的长．
解：在Rt△ABC中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故答案为：2.7．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
17．13
【分析】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解
即可．
解：如图所示，将三棱柱沿 展开，其展开图如图：
∴ ，
∴这图金属丝的长度至少为 ，
故答案为：13．
18．5【分析】过点D作 ，由勾股定理可以求出 的长，由角平分线的性
质可得 ，利用三角形的面积和差关系可求出 的长，即可求解．
解：如图，过点D作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 、 分别是 的内角和外角角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：5．
【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，利用面积的和差关系列出等式是解题的关键．
19．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由 ， 得出 ，则 ，又
，从而 ，则可证明 ．
（2）由角平分线的性质得 ，结合平行线性质可得 ，则有 ，
再结合同角的余角相等得 ，则有 ，利用勾股定理即可求得答案．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，解
题的关键是角度的代换．
20．（1） ； ；（2）见分析
【分析】（1）因为梯形的上底为a，下底为b，高为 ，则它的面积可表示为 ；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即 ；
（2）由（1）可得 ，即可．
（1）解：由题得：梯形面积为 ；
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即 ；
故答案为： ；
（2）解：由（1）得： ，
即 ．
【点拨】本题主要查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键．21．（1）见分析；（2） 或
【分析】本题考查图形的折叠、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用折叠
的性质，根据题意建立方程．
（1）根据折叠的性质可得 ， ，再根据平角的性质可得
，从而推算出 ，最终得到 ；
（2）根据 和 两种情况展开讨论，当 ，设 可得 ,根据折
叠的性质得 ,再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当 ，可得 是
的中点，设 ， ,可得 ，根据折叠的性质得 ，建立方程解方程即可
得到答案．
解：（1）证明：根据题意得 ， ，
，
，
，
即 ，
是直角三角形；
（2）①当 时，设 ，
得 ，
，
，
在 中 ，
，
∴ ；
②当 时，
，
是 的中点，
，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴当 或 时， 是以 为腰的等腰三角形．
22．（1） 的长为 米；（2）这辆校车在 路段不超速．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．
（1）分别在 与 中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求得
与 的长，从而求得 的长；
（2）由从A到B用时3秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校
车是否超速．
（1）解：由题意得， ，
∵ ， ， 米，
∴在 中， （米）， （米），
在 中， ， ，即 ，
（米），
则 （米）；
（2）解：不超速，理由如下：
∵汽车从A到B用时3秒，
∴速度为 （米/秒），
（千米/时），∴该车速度为 千米/小时，
∵ ，
∴这辆校车在 路段不超速．
23．（1） ；（2）① ② ，理由见分析
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后求出 和 的度
数，利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）①作 且使 ，连接 、 ，则有 ，然后推导出
，然后得到 ，进而计算解题；②延长 至 ，使 ，连接 ，得
到 ，然后得到 ， ，再证明 ，根据①中的
即可得到结论．
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：①作 且使 ，连接 、 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
② ，理由为：
由①知 ，
∴ ，
∴ 在一条直线上，
延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的
内角和定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．（1 ；（2 ；（3） 的长为 或10
【分析】（1）求出 ，再由折叠的性质得 ，然后由勾股定理求出 的
长即可；
（2）由长方形的性质得 ， ， ，再证 ，得 ，设
，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况，①当点 在长方形内部时，由折叠的性质得 ， ，再由勾股定
理得 ，设 ，则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点 在长方形外部时，折叠的性质得 ， ，同①得 ，设 ，
则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1） ， ，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的长为 ；
（2） 四边形 是长方形，
， ， ，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；（3）解： 四边形 是长方形，
， ，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，
则 ，
分两种情况：
①如图 ，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，
， ，
由折叠的性质得： ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
②如图 ，当点 在长方形外部时，由折叠的性质得： ， ，
同①得： ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 的长为 ；
5
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为 或 ．
2
【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、
线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股
定理是解题的关键，属于中考常考题型．
