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第17 章 勾股定理（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A． ， ， B．5，12，13 C．3，4，5 D．7，24，25
2．在平面直角坐标系中，点 在第三象限，点 到 轴的距离为3，到原点的距离为5，则点 的坐
标为 （ ）
A． B． C． D．
3．以 的顶点 为圆心，大于二分之一 为半径画弧与 分别交于两点，分别以这两点
为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧， ， ， ，那么
的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长 ，高 的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽
为 ，则共需购买红地毯（ ）
A． B． C． D．
5．如图（1）是一把折叠椅实物图，支架 与 交于点 ， ．如图（2）是椅子打开时的
侧面示意图（忽略材料的厚度），椅面 与地面水平线 平行， ， ， ，那么折叠后椅子比完全打开时高（ ） ．
A． B． C． D．
6．如图，AD是 的中线，过点B作AD的垂线，垂足记作点E，连接CE，若 ， ，
，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．早在公元前100年，我国古算书《周髀算经》就记载了历史上第一个把数与形联系起来的定理——
勾股定理．如图，分别以 的各边为边在 的上方作正方形．已知 （m为大于0的常数），
，若图中的两个阴影三角形全等，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若 恰为等腰直角三角形，则 点坐标不可
能是（ ）．A． B． C． D．
9．如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点 处有一
小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到 处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为 ，高为
，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） ．
A．10 B．50 C．10 D．70
10．如图， 的平分线 与 邻补角的平分线 相交于点 ， 平分 于点 ，
， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图， 的顶点 ， ， 在边长为1的正方形网格的格点上，则 边上的高是 ．
12．如图，四边形ABCD的对角线 交于点O．若 ， ， ，则．
13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等
于 ．
14．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的点，测得BC =25m，
AC=15m，则A，B两点间的距离是 m．
15．如图，一个长方体建筑物的长、宽、高分别为3米、1米和6米，为了美观，现要在该建筑物上
缠绕灯线以便安装小彩灯，灯线的绕法是从下底面的顶点 开始经过四个侧面绕到上底面的顶点 ，如果
缠绕的圈数是 ，那么用在该建筑物上的灯线最短需要 米．
16．如图所示，在 的网格，依次连接 、 、 、 形成一个正方形，若以网格的底端所在直线
建立数轴，每个小方格的边长为单位长度1，原点距离点 一个单位长度．用圆规在点 左侧的数轴上截取 ，则点 所代表的实数是 .
17．如图， 是等边三角形， 为 的中点，点 是点 关于直线 的对称点，连接 ，
， 交 于点 ．
（1）若 ，则 ；
（2）若点 在线段 上，连接 ， ，则 的最小值等于 的长度．（用图中的某
一条线段表示）
18．如图， 是等边三角形， 是等腰三角形，且 ， ，点 为直
线 上一点， ，将 绕点 按逆时针方向旋转一周，当 时，请直接写出 的长
.
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求 的度数.20．（8分）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 ，
重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于点 ， 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求 的值；
（3）若 ．求 的面积．
21．（10分）如图，在 中， ， ，D为 边上一点， ，交 的
延长线于点E．
（1）若 ，①直接写出 的度数；
②已知 ，求线段 的长；
（2）若点D在线段 上移动，是否存在一个常数k，使 恒成立？若存在，请求
出常数k；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，点 在线段 上（不与点 ，
A重合），连接 ，将 沿 折叠得到 ，延长 交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）当点 位于不同位置时， 的周长是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周
长．
（3）设 ， ，直接写出当点A， 的距离最小时， 的值．
23．（10分）已知：如图，线段 、点 是线段 上方一动点，且 ，线段 和线段关于直线 对称，过点 作 ，与线段 的延长线交于点 ，点 和点 关于直线 对称，作
射线 交 于点 ，交 于点 .
（1）当 ， 时，求 的长.
（2）请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明.
（3）当线段 的长取最大值时， 的值为__________.
24．（12分）【问题提出】
（1）如图1， 和 都是等边三角形，连接
①求证：
②若 ，求 的长．
【问题拓展】
（2）如图2， 和 都是等边三角形，连接 ，若
，求 的面积参考答案：
1．A
【分析】本题考查了勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的
定义是解题的关键．
根据判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方，
逐一判断即可．
解：A、 ，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确；
B、 ，是勾股数，故选项不符合题意；
C、 ，是勾股数，故选项不符合题意；
D、 ，是勾股数，故选项不符合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标
的绝对值是解题的关键．先根据勾股定理求出点 到y轴的距离为4，根据第三象限点的横坐标是负数，
纵坐标是负数即可求解．
解：∵点 到 轴的距离为3，到原点的距离为5，∴点 到y轴的距离为 ，
∵点P在第三象限，
∴点P的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点P的坐标为 ．
故选D．
3．C
【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可
得 ，利用勾股定理和 角的直角三角形的性质求出 的长，再根据含30度角的直角三角形
的性质可得答案．
解：在 中，
∴
∴
∴在 中，
∴
∴
∴ ，
∴ ；
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．首先利
用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
解：根据题意，图中直角三角形一直角边为 ，斜边为 ，
根据勾股定理，可得另一直角边长为 ，
则需购买红地毯的长为 ，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为 ，
所以共需购买红地毯 ．
故选：A．5．D
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求得
cm，再根据勾股定理求得完全打开时的高度，相减即可求解．
解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴
∵
∴ 是等边三角形，则
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∵
∴
∴ cm
在 中， cm
∴
故选：D．
6．B
【分析】过点C作 ，交射线 于点G．证明 得到，再运用勾股定理计算即可．
解：过点C作 ，交射线 于点G．
∴ ， ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ 的周长为 ，
故选B．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的意义，勾股定理，熟练掌握三角形全等的证明，
灵活用勾股定理是解题的关键．7．D
【分析】先证明 ，再由两个阴影三角形全等即可求出 的长，由
求出 的长，即可求出答案．
解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
两个阴影三角形全等，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
8．A
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．
解：由题意得 ，
A、∵ ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；
B、 ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
C、 ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；
D、 ， ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三
角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．
9．B
【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
解：分两种情况：（其它情况与之重复）
①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接 ，在 中， ， ，
根据勾股定理得： ；
②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接 ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得： ；
蚂蚁爬行的最短距离为50 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解
本题的关键．
10．B
【分析】延长 交 于F，过点E作 于H，利用角平分线的定义和角的数量关系并利用"
"证明 得到 设 ，则 ， ，在
和 中根据勾股定理列关于x和y的方程组，解出y，即可得到 的长．
解：延长 交 于F，过点E作 于H，如图：∵ 平分 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
在 中，
∴
∵ BD平分
∴
∵ ，
∴
∴
设 ，则 ，∴
解得：
∴
故答案为：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
角平分线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．
11．
【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知 ，且
其边上的高为 ，即可求出 ．由勾股定理可求出 ，设 边上的高为x，结合三角形面
积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可．
解：由图可知 ，且其边上的高为 ，
∴ ．
由图可知 ，
设 边上的高为x，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 边上的高是 ．
故答案为： ．
12．21
【分析】根据勾股定理即可解答．
解： ， ， ，在 中， ，
在 中， ，
又 在 中， ，
在 中， ，
．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
13．69
【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2
及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2−AD2，
CD2＝AC2−AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，
MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，
∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2），
＝132−102，
＝69．
故答案为：69．【点拨】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出
MC2和MB2．
14．20
【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．
解： ， ， ，
，
即 ， 两点间的距离是 ．
故答案为：20．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查最短路径问题，画出展开图，运用勾股定理求解即可．
解：如图，
米， 米，
由勾股定理得， （米）；
故答案为： ．
16． 或
【分析】本题考查了实数与数轴．由勾股定理求出 的长，即可得出 的长，然后分情况讨论：当
原点 在点 左边一个单位长度时，计算出 的长，即可得出点 所代表的实数；当原点 在点 右边
一个单位长度时，计算出 的长，即可得出点 所代表的实数．
解：由勾股定理得， ，
当原点 在点 左边一个单位长度时，如图，，
，
，
，
点 在原点左边，
点 所代表的实数是 ；
当原点 在点 右边一个单位长度时，如图，
，
，
，
，
点 在原点左边，
点 所代表的实数是 ；
综上，点 所代表的实数是 或 ；
故答案为： 或 ．17．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建
线段和的最小值时点的位置是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得答案；
（2）如图，记 与 的交点为 ，连接 ， ， ，记 与 的交点为 ，由点 是点
关于直线 的对称点，可得当 与点 关于直线 的对称时，此时 最短，且 ．
解：（1）∵ 是等边三角形， 为 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图，记 与 的交点为 ，连接 ， ， ，记 与 的交点为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 是点 关于直线 的对称点，
∴当 与点 关于直线 的对称时，
∴ ， ，
∴ ，
此时 最短，且 ，
故答案为： ，
18． /
【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识，分两种情况讨论，
结合图形，灵活应用各性质是解题的关键．
解：①如图，过点 作 交 于点 ，延长 交 于点 ，∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是等边三角形， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
②如图： ，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
又∵ ,
∴ ,
∵ 是等边三角形，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,∴ ,
又∵ ,
∴ ,
又∴ , ,
∴ ,
∴ ．
故答案为： 或
19．
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出 、 、 ，得到 ，
，再结合勾股定理逆定理判断 为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
解：由题知， ，
，
，
， ，
， 为直角三角形，即 ，
．
20．（1）证明详见分析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到 ，即可证明出 是等腰三角形；
（2）连接 ，根据 代数求解即可；
（3）设 ，则 ， ，在 中根据勾股定理求出 ，然后利用三角形
面积公式求解即可．
解：（1）证明： 把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在点 处，
又 长方形 ，
，
，是等腰三角形
（2）如图所示，连接 ，
，
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键
是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
21．（1）① ；② ；（2）存在，见分析
【分析】本题考查三角形内角和，等腰三角形性质及判定，勾股定理．
（1）①根据题意利用三角形内角和和等腰三角形性质即可得到本题答案；②过点 作 ，设
，用含 的代数式分别将 表示出来，再利用勾股定理表示出 ，再利用面积求出
的值，即可求出本题答案；
（2）过点 作 ，根据条件求出 ，证明 是等腰直角三角形，然后结合勾股定理即可求解．
解：（1）①解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②解：过点 作 ，设 ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中应用勾股定理：
∵ ，
∴ ，即： ，整理得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：存在常数 ，理由如下：
过点 作 ，
，
∵ ，∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：存在一个常数k，使 恒成立．
22．（1）见分析；（2） 的周长不变； ；（3）
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）根据折叠得出 ，得出 ，根据 ，得出 ，根据
求出结果即可；
（3）点D在以C为圆心，以 为半径的圆上，连接 ，得出当D在 上时， 最小，根据等腰
三角形的判定和性质，求出 ， ，最后求出 即可．
解：（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
根据折叠可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
（2）解： 的周长不变；
根据折叠可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
（3）解：∵ ，
∴点D在以C为圆心，以 为半径的圆上，
∴连接 ，当D在 上时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图
形，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，数形结合．
23．（1） ；（2） ，证明见详解；（3）
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段
垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅
助线是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得 ，由平行线的性质可得 ，从而得到
，由等角对等边可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由勾股定理计算出
，即可得解；
（2）由轴对称的性质可得 是线段 的垂直平分线，从而得到 ，证明
，得出 ，即可得证；
（3）当 时， 的值最大，即 的值最大，由 可得此时 的长达到最大值，设
，则 ，证明 为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出 ，即可得出答案．
（1）解： 线段 ， 关于直线 对称，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，即 ，
；
（2）解： ，
证明： 点 关于直线 的对称点为 ，
是线段 的垂直平分线，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解： 点 关于直线 的对称点为 ，
是线段 的垂直平分线，
，
，
，
如图，作 于 ，线段 ， 关于直线 对称，
，
， ，
，
当 时， 的值最大，即 的值最大，由 可得此时 的长达到最大值，
如图，当 时，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
线段 ， 关于直线 对称，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）可得 ，，
，
故答案为： ．
24．（1）①证明见分析；② ；（2）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形
的性质与判定：
（1）①利用 即可证明 ；②过点C作 于F，由等边三角形的性质得到
，则 ，求出 ，则由全等
三角形的性质得到 ，即可证明B、D、E三点共线，在 中，
，则 ；
（2）类似证明 ；得到 ，求出 ，则
；如图所示，过点A、E分别作 的垂线，垂足为G、H，则 ，
，可得 ，根据 ，可得
，据此计算求解即可．
解：（1）①∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，过点C作 于F，
∵ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴B、D、E三点共线，
在 中， ，
∴ ；
（2）∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，过点A、E分别作 的垂线，垂足为G、H，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴
，
∴ ．
