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第18 章 平行四边形（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对角线相等
2．如图，菱形 的边长为2， 边在 轴上， ，对角线 、 相交于点 ，则
点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．平行四边形对角相等
C．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
4．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，则 的长度为
（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形 中，E、F为AC上一点， ， ，连接 、 ，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
6．小红用四根相同长度的木条制作了一个四边形学具（如图①），测得其对角线 的长为 ，
．根据四边形的不稳定性，她将其变成了另一个四边形学具（如图②），使 ，则
图②中对角线 的长为（ ）
A． B． C．6 D．
7．如图，在 中， ，将点C沿 折叠至点E，连接 ，当 从
变化过程中，四边形 恰为平行四边形时，此时四边形 的周长是（ ）
A． B．16 C．14 D．
8．如图，在菱形 中， ， ， 是 边上一动点，过点 分别作 于点 ，
于点 ，连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中， ， ， 是 上一个动点， 是 上一点 点 不与点
重合 ．连接 ，将 沿 翻折，使点 的对应点 落在边 上，连接 ，若 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．正方形 ， 如图放置， ， ， 相交于点P，Q为 边上一点，且
，则 的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，四边形 的对角线相交于点 ， ．请添加一个条件： ，使四边
形 是平行四边形（写出一种情况即可）．12．如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置
不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱
形，则∠A'CB= °
13．已知，矩形 ，点 在边 上，点 在边 上，连接 、 交于点 ．若 ，
， ， ．则 ．
14．房屋的屋梁设计成如图所示的形状，已知 ，点D、E、M、N分别是 、 、 、
的中点， ，则 ．
15．如图， 的对角线交于点O．点M，N，P，Q分别是 四条边上不重合的点．下列
条件能判定四边形 是平行四边形的有 （填序号）．
① ；② 均经过点O：③ 经过点O， ．16．我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”
的一组邻边长为 和 ，那么它的最大的内角为 度．
17．如图，已知 ，延长直角边 至点 ，使 ， 为直角边 上的点，且 ，
连接 ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 ．
18．将等腰直角三角形 沿 折叠，得到 ，连接 并延长于点 ，连接 ，过点 作
交 的延长线于点 ，若 ， ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 的平行线交 的延长
线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．20．（8分）如图，P是正方形 对角线 上一点，点E在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，试判断 的度数，并证明你的结论．
21．（10分）已知：如图， 中， ， ．
操作：过点 作 ，垂足为 ，在 的延长线上，求作一点 ，使点 到 两边的距离
相等，连接 ， 与 相交于点 ．
猜想：线段 与 之间的数量关系为：___________．
证明：22．（10分）如图（1）， 是 的边 上的中线，将 沿直线 翻折得到 ，连
接 ， ．
（1）求证： 是直角三角形．
（2）如图（2），若 ， ，求 的大小．
（3）若 是直角三角形， 是等边三角形，探究 与 的数量关系．
23．（10分）如图， 是等腰直角三角形， ， 与 关于 对称， 为边
上一点，连接 并延长交 于点 ，作 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）探究：当 为何值时，点 与点 关于 对称．24．（12分）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速
度为 ．过点 作 ，垂足为 ， 与 相交于点 ，连结 ．设运动时间为
．解答下列问题：
（1）求 的长度（用含 的代数式表示）；
（2）当 时，求 的值；
（3）设四边形 的而积为 ，求 与 之间的关系式；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．对于四边形
的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性
质的不同，即可解答．
解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩
形邻边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有
这个特征；故选：B．
2．B
【分析】根据菱形性质，求出 两点的坐标，再利用中点坐标公式即可得到点 的坐标．
解：过 作 轴于 ，如图所示：
菱形 的边长为2， 边在 轴上， ，
， ，
，
菱形 的对角线 、 相交于点 ，
点 的坐标是 ，即 ，
故选：B．
【点拨】本题考查图形与坐标，涉及菱形性质、等腰直角三角形性质、平面直角坐标系中中点坐标公
式等知识，熟练掌握菱形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形、菱形及正方形的判定，根据平行四边形的性质，矩
形、菱形及正方形的判定定理进行排除．
解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；故原说法正确；
B、平行四边形对角相等；故原说法正确；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确；
故选：C．
4．A
【分析】过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，根据矩形的判定可知四边形是矩形，再根据矩形的性质及勾股定理可知 ，最后利用勾股定理即可解答．
解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
故选 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质及判定，勾股定理，垂直的定义，掌握矩形的性质及判定是解题的关
键．
5．B
【分析】先证明 ，即可得出 ，再根据矩形的性质得出 ，
最后根据等边对等角即可求解．
解：∵ ，
∴ ，即 ，∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握矩形对边平行且相等，
等腰三角形“等边对等角”．
6．B
【分析】在图①中，证 是等边三角形，得出 ；在图2中，由勾股定理求出
即可．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和勾股定理的性质，属于中考常
考题型．
解：如图1，∵四根相同长度的木条制作了一个四边形学具
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在图2中，∵
∴菱形 是正方形，
∴ ， ，
∴ cm，
故选：B．
7．A
【分析】先由折叠的性质和平行四边形的性质证明 ，即可判定四边形 为矩形，再根据
勾股定理计算出 的长度，即可求解．
解：∵ 沿 折叠得到 ，∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴矩形 的周长 ，
故选：A．
【点拨】本题属于矩形与折叠类题目，考查了折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，
勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，连接 ，由菱形的
性质得 ， ， ，利用勾股定理可以求得 的长为 ，又因为
， ，可证四边形 为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得 ，当
时， 最短，再利用面积法求出 的长即可求解 的最小值，熟练掌握矩形的性质，正确作
出辅助线是解题的关键．
解：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
当 时， 值最小，
此时， ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
9．B
【分析】由折叠可知 ， ，设 则 在 中，
利用勾股定理可建立方程 ，解得 ，则 ， ，再根据等腰三角
形的性质得到 ，进而算出 ，设 则 在 中，利用
勾股定理可建立方程 ，解得 ，则 ，再利用三角形面积公式计算即可求解．
解：如图，过点 作 于点 ，
四边形 为矩形， ， ，
， ， ，
由折叠可知， ， ，
，
，
设 则
在 中， ，
，解得： ，
， ，
，
四边形 为矩形，
，
， ，
，
，
设 则
在 中， ，
，
解得： ，
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性
质以及勾股定理是解题的关键．
10．B
【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，利
用等腰直角三角形性质可得 ，由 ，可得 ， ，利用勾股定
理可得 ，再由三角形中位线定理可得 ，再证得 ，进而得出 是
的中线，即 ，由 ，即可求得答案．
解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ，延长 至E，使 ，连接 ， ，∵四边形 、 是正方形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即Q是 的中点，
又∵点O是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点O是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中
位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键．
11． （答案不唯一）
【解析】略
12．30
【分析】先证明 是等边三角形，得到 ，再由四边形 是矩形，得到
，则 ．
解：∵四边形OD'DC为菱形，
∴ ，
∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩
形的性质是解题的关键．
13．6
【分析】过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，证明 ，得出 是等腰直
角三角形，进而得出四边形 是平行四边形，即可求解．解：如图所示，过点 作 ，垂足为 ，交 于点H，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ,
∴
∴ , ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确的添加
辅助线是解题的关键．
14．12
【分析】根据等腰三角形的性质得到 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据三角形中位线
定理解答即可．
解： ， ，
，
在 中，点 是 的中点， ，，
点 、 分别是 、 的中点，
，
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
15． /
【分析①】②①②根①据平行四边形的性质结合已知条件，证明 ， ，可得
， ，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中
心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③．
解：∵四边形 是平行四边形
， ,
①
∴
∴
又
四边形 是平行四边形
故①正确
② 四边形 的对角线交于点 , 均经过点O：
四边形 是平行四边形
故②正确
③ 经过点O， ， 的位置未知，不能判断四边形 是平行四边形
故③不正确
故答案为：①②【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
16．135
【分析】由勾股定理求出AC＝2，得出∠B＝30°，求出∠BAD＝150°即可．
解：如图所示：
在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝ ，BC＝4时，∠BAD最大，由勾股定理得：
，
，
，
∵ ，
∴ ，
四边形ABCD为平行四边形，
，
．
故答案为：135．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、“优美平行四边形”、勾股定理、直角三角形的性质；熟练
掌握“优美平行四边形”的性质，求出∠B＝45°是解题的关键．
17．
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理等知识．连接 ，取 中点 ，连接 ， ，
由三角形中位线定理推出 ， ， ， ，再证明 ，根据勾股定
理即可求出 的长．
解：连接 ，取 中点 ，连接 ， ， 交 于点H．∵ ， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴在 中， ．
故答案为：
18．
【分析】过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ；
先证明四边形 为正方形，设 ，根据勾股定理可求得 的长度；可证得 ，
求得 的长度，进而可求得答案．
解：如图，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点
．
∵ ，
∴四边形 为矩形．根据轴对称图形的性质可知 ， ．
又 ，
∴ ．
又 ，
∴四边形 为正方形．
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
又四边形 为矩形，
∴四边形 为正方形．
∴ ．
设 ，则 ，在 中，得
．
解得： ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理以及解二元一次方
程．牢记全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理以及解二元一次方程的方法是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）可证四边形 是平行四边形以此求证；
（2）利用直角三角形30度角的性质即可求解．
解：（1）证明： 四边形 是矩形，
， ，
．
，
四边形 是平行四边形，
，
．
（2）解： 四边形 是矩形，
， ，
．
∴
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定、矩形的相关性质．熟记相关内容是解题关键．
20．（1）见分析；（2） ，见分析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形
的判定定理是解题的关键．
（1）根据正方形的性质四条边都相等可得 ，对角线平分一组对角线可得 ，
然后利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，然后等量代换
即可得证；
（2）根据全等三角形对应角相等可得 ，根据等边对等角可得 ，从而
得到 ，再根据 ，求出 ，然后根据四边形的内
角和定理求出 ，判断出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
解：（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2） ．理由如下：
连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
21．猜想 ，证明见分析【分析】根据题意可知点P在 的角平分线上，则 ，由此推出
，设 ，由平行线的性质可得
，如图所示，取 中点H，连接 ，则 ，根据等边对等
角得到 ，由三角形外角的性质得到 ，进而可证明
，得到 ，则 ．
解：猜想 ，证明如下：
∵点 到 两边的距离相等，
∴点P在 的角平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
如图所示，取 中点H，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义和角平分线
的判定，平行线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般是解题的关键．22．（1）证明见分析；（2） ；（3） 或 ，证明见分析
【分析】（1）根据折叠的性质得 ， ，利用中点求出 ，进而得
，然后根据三角形内角和得出结论；
（2）根据含 的直角三角形的性质，及中线性质，证 为等边三角形，在证 ，根
据折叠得 ；
（3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论．
解：（1） 沿直线 翻折得到 ，
，
是 的边 上的中线，
，
，
，
，
是直角三角形．
（2） ， ，
，
，
是 的边 上的中线，
，
，
为等边三角形，
沿直线 翻折得到 ，
， ，
，（3）①当 时，
是 的边 上的中线，
，
②如图，当 时
，
是等边三角形，
沿直线 翻折得到 ，
，
，
，
，
是 的边 上的中线，
，
；
③如图当 时，
，
是等边三角形，沿直线 翻折得到 ，
，
，
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜
边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三
角形是解决问题的关键．
23．（1）见分析；（2）当 时，点 与点 关于 对称．
【分析】（1）先证明四边形 是正方形，利用等角的余角相等，得到 ，推出
，即可证明 ；
（2）证明当点 与点 关于 对称时， ，由 ，推出 ，利用等腰
直角三角形的性质及勾股定理即可求解．
（1）解：∵ 是等腰直角三角形， ， 与 关于 对称，
∴ ，且 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 与 关于 对称，又点 与点 关于 对称，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等
三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（1） ；（2）t=1.5；（3） ；（4）
【分析】（1）先根据题意证明四边形 为矩形，然后根据矩形性质得出 ；
（2）先证明 ，根据 ，求出AH，即可求出BE，得出答案即可；
（3）根据题意用t表示出 ， ，分两种情况，点F在点
H左侧或点F在点H右侧，表示出S与t关系式即可；
（4）分四边形BEFH为平行四边形或四边形BEHF为平行四边形两种情况分别求出t的值即可．
（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
，
即DH的长度为 ．
（2）∵ ，
∴CE=AH，
根据解析（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，∴ ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ， ，
四边形 为矩形，
∴ ，
，
当点F在点H左侧时，如图所示：
，
；
当点F在点H右侧时，如图所示：，
；
综上分析可知， ．
（4）∵ ，
∴当 时，以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
当四边形BEFH为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t， ，
∴ ，解得： ；
当四边形BEHF为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t， ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ 舍去；
综上分析可知， ．
【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，平行四边形的性质，解题的关键是
注意进行分类讨论．
