文档内容
第十六章 二次根式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，根据二次根式的定义，逐项判
断即可求解．
【详解】解：A、 ，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不符合题意；
B、 是二次根式，符合题意；
C、 ，若 时， 无意义，不符合题意；
D、 被开方数小于0，无意义，不符合题意；
故选：B．
2．使二次根式 有意义的 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式 ，即可得
出结论．
【详解】解：由题意得， ，
解得， ，
故x的值可以为 ，
故选：D．3．已知二次根式 ，当 时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把 代入 进行计算即可．
【详解】解：当 时， ，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：根据加减乘除法则逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，该选项是错误的；
B、 与 不是同类项，故选项是错误的；
C、 ，故选项是错误的；
D、 ，故选项是正确的；
故选：D
5．已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
所以根据题意得 解出a的值即可．
【详解】解： 最简二次根式 与 是同类二次根式，故选B．
【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，
属于基础题．
6．估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的
估算即可．
【详解】解：
，
，
，即 ，
的值应在4和5之间．
故选：A．
7．下列语句中，正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若a为任意实数，则 D．若a为任意实数，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质， ，据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴若 ，则 ，故A正确；若 ，则 ，
∴ ，故B错误；
，故C错误；
，故D错误；
故选：A
8．若 ，则 化简后的结果是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ， 有意义可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出 是解题的关键．
9．在长方形 中无重叠地放入面积分别为 和 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边
长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为 和 ，
∴它们的边长分别为 ， ，
∴ ， ，
∴空白部分的面积
故选：A．
10．若 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，即 ，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决
本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据 计算，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．若 是最简二次根式，则 的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：当 时， 是最简二次根式，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．
13．比较大小： （填“>”“=”或“<”） ．
【答案】>
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的
关键．
先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．若 有意义，则实数 的取值范围是 ．【答案】 且
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为0”以
及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
15．定义关于“ ”的新运算：当 时， ；当 时， ，其他运算符号的意义
不变．按上述定义，计算： ．
【答案】3
【分析】利用题中的新定义化简，计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
则原式 ，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九临公式”：如果一个三角形
的三边长分别为 ，则三角形的面积 ．依据上述公式，若一个三角形的
三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ．【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的应用，理解题意将边长代入正确求值是解答本题的关键．根
据题中给出的“秦九临公式”，把三边长直接带入进行求解即可．
【详解】解：根据 ， 的三边长分别为5，6，7，
，
故答案为： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．将下列二次根式化成最简二次根式：
(1) ；
(2) ；
(3) （ ， ， ）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次根式的性质化简求解；
（2）利用二次根式的性质化简求解；
（3）利用二次根式的性质化简求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键．
18．计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简各二次根式，然后再进行合并即可；
（2）先计算二次根式的乘法和除法，再算加法即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
19．已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
(1)求x的值；
(2)求 与 的乘积．
【答案】(1)9；
(2)5．
【分析】（1）根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解： 是最简二次根式，且与 可以合并，
∵
，
∴解得 ；（2）解：当 时， ．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相
关知识是解题的关键．
20．已知 ， ，求下列各式的值．
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用已知得出 ， 的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
（2） ．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的
思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．定义：若两个二次根式a，b满足 ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与 是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若 与 是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)(2)-2
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；
（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．
【详解】（1）∵a与 是关于4的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ 与 是关于2的共轭二次根式，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．
22．若 ，化简 ，某同学的解答过程如下图．
(1)该同学的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：当 时， ________；
当 时， ________；
(2)写出原题正确的解答过程；
(3)若实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】(1)二， ，(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求解；
（2）根据二次根式的性质，绝对值的性质即可求解；
（3）根据数轴的特点判定 的符号、大小，再结合二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：该同学的解答从第二步开始出现错误，
二次根式的性质为 ，
故答案为：二， ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
（3）解：由数轴可得， ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质化简，掌握 是解题的关键．
23．观察下列等式：
第一个等式： ；
第二个等式： ；
第三个等式： ；
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第四个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为： ，
故答案为： ；
（2）猜想的第n个等式为： ，
验证：
所写等式正确．
【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问
题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．像 ， ……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两
数和（差）的平方公式进行化简：
如： ；
再如： ．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简： ；
(2)若 ，且 ， ， 均为正整数，则 的值为______．
【答案】(1)(2)6或9
【分析】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
（1）将被开方数写成完全平方式，再化简；
（2）变形已知等式得 ，建立 ， ， 的方程组求解．
【详解】（1）解：
；
（2）∵ ，
即： ，
∴ ，
∵ ， ， 均为正整数，
∴ 或 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
故答案为：6或9．
25．观察下列计算：；……
则：
(1) __________； __________；
(2)从计算结果找出规律；____________；
(3)利用这一规律计算：
的值．
【答案】(1) ，
(2) （ 是正整数）
(3)2023
【分析】本题考查的是阅读理解题，规律型问题：
（1）根据所给式子，观察可得答案；
（2）观察所给的式子，分子分母同时乘以分母中两项的差即可得；
（3）利用得到的规律进行求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，故答案为： （ 是正整数）；
（3）解：
．
