文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝( )
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．(1，4} D．{﹣1，4}
2．若复数z满足(2﹣i)z＝i2023，则z=( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A． − i B．− − i C．− + i D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
1 1
3．如图，在平行四边形ABCD中，AE= AB,CF= CD，G为EF的中点，则⃗DG=( )
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
A． ⃗AB− ⃗AD B． ⃗AD− ⃗AB C． ⃗AB− ⃗AD D． ⃗AD− ⃗AB
2 2 2 2 3 3 3 3
4．已知椭圆 x2 y2 的左右焦点分别为F 、F ，P为椭圆上一点，∠F PF ＝60°，若坐标
C: + =1(a>b>0) 1 2 1 2
a2 b2
√3
原点O到PF 的距离为 a，则椭圆离心率为( )
1
6
√2 √6 √7 √3
A． B． C． D．
2 3 3 3
5．在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：x2+y2＝1上一动点，若直线l：kx﹣y﹣2k+3＝0上存在点Q，
满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是( )
A．( 12 ) B．( 12)
− ,0 −∞,− ∪(0,+∞)
5 5
C．[ 12 ] D．( 12]
− ,0 −∞,− ∪[0,+∞)
5 5
6．2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注．地震发生时会释放大量的
能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量 E(单位：焦耳)的常用对数与震级M
之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为6.3×1010焦耳，6级地震所释放的能量为6.3×1013焦耳，
则这次平原县发生的地震所释放的能量约为( )(参考数据：lg6.3≈0.8，100.05≈1.1)
A．8×1011焦耳 B．1.1×1011焦耳 C．8×1012焦耳 D．1.1×1013焦耳
7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小
质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A ，A 和A 表示由甲罐中取出的球是红球，白
1 2 3
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的
个数是( )
①事件A 与A 相互独立；
1 2
②A ，A ，A 是两两互斥的事件；
1 2 3
4
③P(B∣A )= ；
2 11
9
④P(B)= ；
22
4
⑤P(A ∣B)=
1 9
A．5 B．4 C．3 D．2
1 5
8．已知a=1−e−0.2，b=tan ，c=ln ，其中e为自然对数的底数，则( )
5 4
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随机抽取6位影迷对电影《长津湖》的评分，得到一组样本数据如下：92，93，95，95，97，98，则下
列关于该样本的说法中正确的有( )
A．均值为95 B．极差为6
C．方差为26 D．第80百分位数为97
√3
10．已知函数f(x)=sinxcosx−√3cos2x+ ，则下列说法正确的是( )
2
A． ( π)
f(x)=sin 2x−
3
B．函数f(x)的最小正周期为π5π
C．函数f(x)的对称轴方程为x=kπ+ (k∈Z)
12
π
D．函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移 个单位长度得到
6
11．已知函数 2x ，则所有正确的结论是( )
f(x)=
2x+1
A．函数f(x)是增函数 B．函数f(x)的值域为( 1)
0,
2
C．曲线y＝f(x)关于点( 1)对称 D．曲线y＝f(x)有且仅有两条斜率为1的切线
0,
2 5
12．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，点M在平面ABCD上，
且AM＝λAD(0＜λ＜1)，则( )
π
A．存在λ，使得直线PB与AM所成角为
6
B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C．当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为
4(λ2+1)2π
√2 √2+√6
D．若λ= ，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P﹣ABCD各面的交线长为 π
2 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必
要条件，那么D是C的 条件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一)
14．二项式(
2−
1)
(√x+1) 7
的展开式中含x2的系数为 ．
x
15．若x＝2是函数f(x)＝x2+2(a﹣2)x﹣4alnx的极大值点，则实数a的取值范围是 ．
16．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，点P为抛物线C外一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分
别为A，B，若PA⊥PB，则⃗AF⋅⃗BF+2⃗PF2的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列{a }的前三项与数列{b }的前三项对应相同，且 对
n n a +2a +22a +⋯+2r−1a =8n
1 2 3 n任意的n∈N*都成立，数列{b ﹣b }是等差数列．
n+1 n
(1)求数列{a }与{b }的通项公式；
n n
(2)证明：不存在k∈N*，使得b ﹣a ∈(0，1)．
k k
A−C B
18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos =2sin ．
2 2
(1)证明：a+c＝2b；
S
(2)若△ABC的面积为S，求 的最大值．
b2
19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四
边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．
(Ⅰ)证明：DE⊥平面PAC；
(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．20．（12分）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四
人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组
成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无
1 3
平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁的概率均为 ，甲胜丁的概率
2 5
2
为 ．
3
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．21．（12分）已知双曲线C上的所有点构成集合P={(x,y)∣ax2−b y2=1(a>0,b>0)}和集合
Q={(x,y)|00，b>0)}，坐标平面内任意点N(x ,y )，直线l:ax x−b y y=1称
0 0 0 0
为点N关于双曲线C的“相关直线”．
(1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；
|MA| |MB|
(3)若点N∈Q，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证： = ．
|AN| |BN|
22．（12分）已知函数 ．
f(x)=xea−x (x∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若方程 的两根互为相反数．
e2f(x+2)−x+2=0
①求实数a的值；
②若x＞0，且 n ，证明： n 1 ．
i ∑❑x =1(n⩾2) ∑❑f (x )⩽
i i √n e
i=1 i=1
