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第十六章 二次根式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列二次根式化简后，与 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式、同类二次根式
【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，
判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 ，与❑√3是同类二次根式，不合题意；
、 ，与❑√3不是同类二次根式，符合题意；
、 ，与❑√3是同类二次根式，不合题意；
、 ，与❑√3是同类二次根式，不合题意；
故选： ．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算
【分析】此题考查了二次根式的乘除法，以及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，
根据二次根式加法法则、乘法法则、除法法则依次计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；B、 ，故错误，不符合题意；
C、 ，故错误，不符合题意；
D、 ，正确，符合题意，
故选：D．
3．估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，先根据二次根式的混合运算法则计算，再估算
出 ，即可得解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴估计 的值应在6和7之间，
故选：C．
4．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，其中一定是二次根式的有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】求二次根式中的参数
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当 时， 不是二次根式；
②当 时， 不是二次根式；
③ 是二次根式；
④当 时， 不是二次根式；
⑤ 是二次根式；
⑥ 是二次根式．
故选B．
5．要使 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知， ，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，
解得， 且 ，
故选：C．
6．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为 和 的两个正方形，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计
算即可得解．
【详解】解：由图可得，阴影部分的长为 ，
阴影部分的宽为： ，
∴图中阴影部分的面积为 ，
故选：A．
7．把 的根号外的因式 适当地改变后移入根号内，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，得到 ，据
此利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：根据题意可得 ，得到 ，
那么
故选：A．
8．已知 ， ，则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据 ， 可得 ， ，再根据二次根式的性质可得 ， ，再利用二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
，
故选：B．
9．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得 ， ，再利用二次根式的性
质化简即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A．
10．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先求得 ，即 ，然后利用运算程序计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 、 、 、 、 、 中，是最简二次根式的是 ．
【答案】
【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式
【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不
含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可．
【详解】解： ，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
不是二次根式，
是最简二次根式；
故答案为： ．
12．已知 ，则 化简后为 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
13．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；
分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得： ，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．14．已知： ，m，n均为正整数，则 的最小值为 ．
【答案】5
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质及运算，先利用二次根式的性质将原等式变形为 ，
根据m，n均为正整数，可得 的最小值为1，此时m最小值为5，由此可得答案．
【详解】解：原式 ，
均为正整数，
的最小值为1，此时m最小值为5，
的最小值为 ．
故答案为：5．
15．已知实数x，y满足 ，则 ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可．
【详解】解：∵实数x，y满足 ，
∴ ，
∴ ，
∴x=2，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．16．对于任意两个正数a，b，定义运算※为： ，计算 的结果为
．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到 ，
，然后利用乘法公式展开后合并即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算下列各式：
(1) (2) ．
【答案】(1)(2)2
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，6
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等内容，先根据完全
平方公式，平方差公式进行展开化简得出 ，再把 整理得 ，然后代入计算，即可作
答．
【详解】解：
，∵ ，
∴ ，
把 代入 ，得出 ．
19．若2，5，n为三角形的三边长，化简
【答案】5
【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、化简绝对值
【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
根据三角形三边关系定理求出 ，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可．
【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长，
∴ ，即 ，
∴原式 ．
20．小明同学进行实数运算的过程如图所示．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
(1)第一步的化简中所依据的数学公式是 ___________ ；
(2)小明的计算过程，从第___________步开始出现错误，请你写出该算式的正确运算过程和结果．
【答案】(1)
(2)二；见解析
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据 进行解答即可；（2）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解
即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：∵除法没有分配律，
∴解题过程是从第二步开始错的，
．
故答案为：二．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．将边长分别为1， ， ， 的正方形的面积依次记作 ， ， ， ．
(1)计算： _____； ______； _____；
(2)若把边长为 的正方形面积记作 ，其中n是正整数，则从（1）中的计算结果，可猜出
_______；
(3)根据（1），（2），令 ， ， ， ， ，且 ，
求T的值．
【答案】(1) ， ，
(2)(3)
【知识点】整式的加减中的化简求值、二次根式的加减运算
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，整式的加减中的化简求值等知识点，利用所发现的规律正
确列式计算是解题的关键．
（1）直接列式计算即可得出答案；
（2）从（1）中的计算结果，即可猜出 的值，然后列式计算说明理由即可；
（3）将 ， ， ， ， 代入 进行化简，得到
，然后把 和 的值代入求值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）解：从（1）中的计算结果，可猜出 ，
理由如下：
，
故答案为： ；
（3）解：，
的值是 ．
22．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 的小数部分是 的小数部分是 ，求 的值．
【答案】(1)35
(2)
【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、分母有理化、已知字母的值，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练
掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）先将 进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得；
（2）先根据无理数的估算分别求出 的值，再代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵ ，
，
∴．
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
由（1）可知， ， ，
∴ ， ，
∵ 的小数部分是 的小数部分是 ，
∴ ， ，
∴
．
23．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：特例2：
特例3： ＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)见解析；
(4) ．
【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法把 ，再根据二次根式的乘法运算计算即可．
【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为： ，
故答案为： ；（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为： ，
故答案为： ；
（3）解： ，
等式左边 等式右边；
（4）解：
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．某中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式 的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将 转化为 的形式，根据 ．因为 ，
，所以 ______， ______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式 ；
【问题迁移】（3）若 ，解方程 ．
【答案】 ； ；
【知识点】利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键．（1）根据题目所给方法对 变形即可得解；
（2）根据题意结合所给方法对 变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；
（3）根据题目所给方法，得到 ，再利用二次根式
性质化简，得到 ，再解方程即可；
【详解】（1） ，
故答案为： ；
（2）
，
（3） ，
又 ，
∴ ，
上式 ，
，
故方程为 ，
解得： ．
25．阅读材料：像 ， 这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二
次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：
请你根据上述材料，解决如下问题：
(1) 的有理化因式是______， ______；
(2)比较大小： ______ （填>，<， 或 中的一种）
(3)计算：
(4)已知 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)1
【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式；
（1）根据有理化因式的定义即可解决问题；
（2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决
问题；
（3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘 ，最后算减法即可；
（4）根据题干所给示例进行计算即可．
【详解】（1）解： 的有理化因式是
故答案为： ； ．（2）解：∵ ，
∴
故答案为： ．
（3）解：
；
（4）∵
又∵
∴
