文档内容
2022-2023 学年八年级下学期数学
期中质量检测卷 B 卷
（测试范围：第十六章---第十八章）
（考试时间120分钟 满分120分）
一．选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（2022秋•南安市期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．√14 B．√12 C．√8 D．
3
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、√14是最简二次根式，符合题意；
B、√12=√4×3=2√3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、√8=√4×2=2√2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
√1 √3
D、 = ，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
3 3
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（2023•青县校级模拟）直角△ABC中，∠B＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则边AB的长为（ ）
A．5cm B．7cm C．√7cm D．5cm或√7cm
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
由勾股定理得，AB=√AC2−BC2=√42−32=√7（cm），
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2022秋•榆阳区校级期末）以下列线段a、b、c的长为边，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝10，b＝8，c＝6
C．a＝1，b＝1，c=√2 D．a＝5，b＝12，c＝13
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A．由于52+42≠62，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B．由于82+62＝102，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．由于12+12=(√2) 2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．由于52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小
关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（2021秋•吉州区期末）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线CF滑动，
下列说法错误的是（ ）
A．四边形 ACDF 是平行四边形
B．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
C．当点E为 BC中点时，四边形ACDF是矩形
D．四边形ACDF不可能是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、正确．∵∠ACB＝∠EFD＝30°，
∴AC∥DF，
∵AC＝DF，
∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．
B、正确．B、E重合时，则FA＝FD，
∵四边形AFDC是平行四边形，
∴四边形AFDC是菱形，
C、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD＝90°，故错误．
D、正确．当四边相等时，∠AFD＝60°，∠FAC＝120°，
∴四边形AFDC不可能是正方形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定．正方形的判定等知识，解题的关键是
熟练掌握特殊四边形的判定方法．
5．（2022春•渑池县期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为32cm2和48cm2的两个小正方形，则余下
的阴影部分的面积为（ ）A．80cm2 B．78cm2 C．36√5cm2 D．32√6cm2
【分析】根据题意先求出大正方形的边长及面积，再根据大正方形的面积﹣两个小正方形的面积可求出
余下阴影部分的面积，进而得出答案．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为32cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是√32+√48=（4√2+4√3）cm，
余下阴影部分的面积是（4√2+4√3）2﹣32﹣48＝32√6（cm2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是解题关键．
6．（2022秋•铁西区校级期末）数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图 1所示的菱形
教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形
的边长为（ ）
A．8cm B．4√2cm C．16cm D．16√2cm
【分析】连接AC，根据菱形的性质可知AB＝BC，∠B＝60°，可判定△ABC是等边三角形，根据等边
三角形的性质可得AC＝AB＝BC＝16cm，故正方形的边长为16cm．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，
∵AC＝16cm，
∴AB＝BC＝16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
7．（2022秋•黔江区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角
的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右
墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（ ）
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理计算出AB的长，再在Rt△A′BD中由勾股定理计算出BD长，然
后可得CD的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√2．42+0．72=2.5（m），
∴A′B＝AB＝2.5米，
在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=√A′B2−A′D2=√2．52−1．52=2（m），
∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），
即小巷的宽为2.7米，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．（2022春•市中区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与
AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．40
【分析】先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，从而可得四边形AEBO是
矩形；根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴OA= AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
2
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB=√AB2−OA2=√52−42=3，
∴BD＝2OB＝6，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC•BD= ×8×6＝24．
2 2
故选：C．
【点评】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等
知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
9．（2023 春•代县月考）在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高 AD＝12，则边 BC 的长为
（ ）
A．4 B．14 C．4或14 D．8或14
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得 BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝CD﹣BD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
综上可得BC的长为14或4．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不
要漏解，难度一般．
10．（2022春•白水县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，
F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF
是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由菱形的性质得出△ABC、△ADC是等边三角形，得出AE＝OB，AF＝OD，得出AE＝AF，再
1
证明EF是△BCD的中位线，得出EF= BD＝OB，得出AE＝AF＝EF，得出（1）正确；由直角三角形
2
1 1
斜边上的中线性质得出OE= BC＝CE，OF= CD＝CF，得出OE＝OF＝CE＝CF，得出（2）正确；由
2 2
菱形的性质得出OF∥BC，再由AE⊥BC，得出（3）正确；证明AM＝BM，同理：AN＝ND，再证出
AM＝AN，得出（4）正确；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，OA＝OD= AC，OB＝OD= BD，AC⊥BD，
2 2
∴△ABC、△ADC是等边三角形，
∴OB是等边三角形ABC的高，
∵点E是BC的中点，
∴AE时等边三角形ABC的高，
∴AE＝OB，
同理：AF＝OD，
∴AE＝AF，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
1
∴EF= BD＝OB，EF∥BD，
2
∴AE＝AF＝EF，
即△AEF是等边三角形，
∴（1）正确；
∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，
1 1
∴OE= BC＝CE，OF= CD＝CF，
2 2
∴OE＝OF＝CE＝CF，
∴四边形CEOF是菱形，
∴（2）正确；
∵四边形CEOF是菱形，
∴OF∥BC，
∵AE⊥BC，∴OF⊥AE，
∴（3）正确；
∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，
∴AM＝BM，
同理：AN＝ND，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵EF∥BD，
∴∠AMN＝∠AEF＝60°，∠ANM＝∠AFE＝60°，
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴AM＝AN，
∴BM＝MN＝ND，
∴（4）正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中
位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•萧县期中）若最简二次根式√a+2与√2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为 ．
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二
次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+2＝2a﹣3，
解得：a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．
12．（2021秋•二道区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平
分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 ．【分析】由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝
∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后
由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的性质等知识，解答本题的
关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．
13．（2023春•德城区校级月考）若某三角形的三边长分别为 2，5，n，则化简√(3−n) 2+|8﹣n|的结果为
．
【分析】根据三角形三边关系定理求出3＜n＜7，再根据二次根式的性质和绝对值得出√(3−n) 2+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n，再合并同类项即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，
∴5﹣2＜n＜5+2，
∴3＜n＜7，
∴√(3−n) 2+|8﹣n|
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5，故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．
14．（2022春•柘城县期中）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝6cm，那么
HF的长为 ．
【分析】根据D、E、F分别是AB，AC的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得
1
AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF= AC，即可求解．
2
【解答】解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
1
∴HF= AC＝6cm．
2
故答案为：6cm．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，解答本题关键是性质定理的掌
握，难度一般．
15．（2022•杭州模拟）已知|2004﹣a|+√a−2005=a，则a﹣20042＝ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、绝对值的性质分析得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵√a−2005有意义，
∴a﹣2005≥0，
解得：a≥2005，
∴|2004﹣a|+√a−2005=a﹣2004+√a−2005=a，
故√a−2005=2004，
∴a﹣2005＝20042，
∴a﹣20042＝a﹣（a﹣2005）
＝a﹣a+2005＝2005．
故答案为：2005．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
16．（2022秋•惠来县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，P是AD上不与A和D重合的一个
动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．则PE+PF＝ ．
【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，可得S矩形ABCD ＝AB•AD＝5×12＝60，根
据勾股定理可得AC＝BD=√AB2+AD2=13，然后根据S△AOD ＝S△AOP +S△DOP ，进而可以求得答案．
【解答】解：连接OP，如图所示，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，
∴S矩形ABCD ＝AB•AD＝5×12＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD=√AB2+AD2=13，
1 13
∴S△AOD =
4
S矩形ABCD ＝15，OA＝OD =
2
，
1 1 1 1 13
∴S△AOD ＝S△AOP +S△DOP =
2
OA•PE +
2
OD•PF =
2
OA（PE+PF）=
2
×
2
（PE+PF）＝15，
60
∴PE+PF= ，
13
60
故答案为： ．
13
【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
17．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三
角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密
拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积 ．【分析】根据飞镖状图案的周长求出AB+AC的长，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的长，
进而确定出OA的长，求出三角形AOB面积，即可确定出所求．
【解答】解：根据题意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即AB+AC＝6，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝32+（3+AC）2，
解得：AC＝1，
∴OA＝3+1＝4，
1 1
∴S = OA⋅OB= ×3×4=6，
△AOB 2 2
∴该飞镖状图案的面积＝4S△AOB ＝24，
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
18．（2021•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于
直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，
B'D的长为 ．
【分析】连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD=√2AB＝2√2，BD平分∠ABC，BB'=√2BE=√2
，BB'平分∠ABC，可证点B，点B'，点D三点共线，即可求解．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=√2AB＝2√2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'=√2BE=√2，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'=√2，
故答案为：√2．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分共66分）
19．（每小题4分，共8分）（2022秋•青白江区期末）计算：
1 √2
（1）√3−27+|2−√3|−√9+( ) 2 ； （2）(√2+1) 2−( ) −1+(√2023−1) 0．
2 4
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式，负整数指数幂，零指数幂进行计算，即可解答．
1
【解答】解：（1）√3−27+|2−√3|−√9+( ) 2
2
1
=√3−27+2−√3−3+
4
111
=− ；
4
√2
（2）(√2+1) 2−( ) −1+(√2023−1) 0
4
＝3+2√2−2√2+1
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2n−m m2+n2−5n2 (m+2n) 2
20．（7分）先化简，再求值： ÷ ⋅ ，其中√m+1+(n−3) 2=0．
mn mn 2mn【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，再把m，n的值代入，再利用二次根式的混合运算法
则计算得出答案．
2n−m m2+n2−5n2 (m+2n) 2
【解答】解： ÷ ⋅
mn mn 2mn
2n−m m2+n2−5n2 m2+4n2+4mn
= ÷ ⋅
mn mn 2mn
2n−m mn (m+2n) 2
= ⋅ ⋅
mn m2−4n2 2mn
2n−m mn (m+2n) 2
= ⋅ ⋅
mn (m−2n)(m+2n) 2mn
m+2n
=− ，
2mn
∵√m+1+(n−3) 2=0，
∴m+1＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣1，n＝3．
m+2n
∴原式=−
2mn
−1+2×3 5
=− =
．
2×3×(−1) 6
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．（7分）（2022•灞桥区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延
长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）证△DEC≌△AEF（ASA），得出DC＝FA，进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
{∠DEC=∠AEF
在△DEC和△AEF中， DE=AE ，
∠EDC=∠EAF
∴△DEC≌△AEF（ASA），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌
握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（8分）（2022春•虞城县期中）已知x＝2+√3，y＝2−√3．
（1）求3x2+5xy+3y2的值．
√ x √ y
（2）求 + 的值．
y x
【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公
式把原式变形，代入计算即可
（2）根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝2+√3，y＝2−√3，
∴x+y＝（2+√3）+（2−√3）＝4，xy＝（2+√3）（2−√3）＝1，
（1）3x2+5xy+3y2＝3x2+6xy+3y2﹣xy
＝3（x+y）2﹣xy
＝3×42﹣1
＝47；
√ x √ y
（2） +
y x
√xy √xy
= +
y x
x+ y
=√xy•
xy
4
＝1×
1
＝4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键．
23．（8分）（2023春•九龙坡区校级月考）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地
ABC进行新的规划，如图，点D是BC边上的一点，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上．
经测量，AB＝26米，AD＝24米，BD＝10米，AC比DC长12米．
（1）求△ABD的面积；
（2）求小路DE的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理推知△ABD是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式作答；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝26米，AD＝24米，BD＝10米，
∴AB2＝BD2+AD2，
∴∠ADB＝90°，
∴S△ABD1
= •BD•AD
2
1
= ×10×24
2
＝120（米2）．
答：△ABD的面积是120米2；
（2）由（1）知，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AC比DC长12米，
∴AC＝CD+12．
由勾股定理知：CD2+AD2＝AC2，即CD2+242＝（CD+12）2．
∴CD＝18米．
∴AC＝30米
∵DE⊥AC，
1 1
∴S△ADC =
2
AD•CD =
2
AC•DE，
AD⋅DC 24×18 72
∴DE= = = （米），
AC 30 5
72
答：小路DE的长为 米．
5
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方
法，属于常考题型．
24．（8分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重
合），PO的延长线交BC于Q点．
（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．
（2）若AB＝6cm，AD＝8cm，P从点A出发．以1cm/秒的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t
秒，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
【分析】（1）依据矩形的性质和平行线的性质，通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所
以OP＝OQ，则四边形PBQD的对角线互相平分，故四边形PBQD为平行四边形．
（2）点P从点A出发运动t秒时，AP＝tcm，PD＝（4﹣t）cm．当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝（4﹣t）cm．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2＝PB2，即t2+32＝（4﹣t）2，由此可以求得
t的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
在△POD和△QOB中，
{∠PDO=∠QBO
OB=OD ，
∠POD=∠QOB
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ；
又∵OB＝OD
∴四边形PBQD为平行四边形；
（2）答：能成为菱形；
证明：t秒后AP＝t，PD＝8﹣t，
若四边形PBQD是菱形，
∴PD＝BP＝8﹣t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，
即62+t2＝（8﹣t）2，
7
解得：t= ．
4
7
即点P运动时间为 秒时，四边形PBQD是菱形．
4
【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的性质以及菱形的性质．凡是可以用平行四边形知识证明
的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
25．（8分）（2022秋•蒸湘区校级期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围
内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，
且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围
250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为25km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出 CD的长，
进而得出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB
∴300×400＝500×CD
300×400
∴CD= =240（km）
500
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED=√EC2−CD2=70（km），
∴EF＝140km
∵台风的速度为25km/h，
∴140÷25＝5.6（小时）
即台风影响该海港持续的时间为5.6小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利
用勾股定理解答．
26．（12分）（2022秋•武侯区校级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝
10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．
（1）若P为BC上一点．
①如图1，当点E落在边CD上时，求CE的长；
②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；
（2）如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．
【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；
②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP＝CP，BP＝PE，从而BP＝PC；
（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，则四边形 ABPE是正方形，得 PB＝AB＝10；当
∠ECP＝90°时，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC＝
90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．【解答】解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，
∵AE＝AB＝10，AD＝6，∠D＝90°，
∴DE=√AE2−AD2=√102−62=8，
∴CE＝DC﹣DE＝10﹣8＝2；
②BC＝2BP，理由如下：
∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，
∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，
∵CE∥AP，
∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，
∴∠PEC＝∠ECP，
∴EP＝CP，
∴BP＝BC，
∴BC＝2BP；
（2）∵△PEC是直角三角形，
当∠EPC＝90°时，
∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，
∴四边形ABPE是正方形，
∴PB＝AB＝10；
当∠ECP＝90°时，
则∠ECP＝∠B＝90°，
∴EC∥AB，
∵DC∥AB，
∴点E、D、C三点共线，
由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，
∴EC＝18，
设BP＝x，则PC＝x﹣6，
在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，
解得x＝30，
∴PB＝30；
当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，
综上：BP＝10或30．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学
会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
